运算一致性视域下“三位数乘两位数”结构化教学导学案

运算一致性视域下“三位数乘两位数”结构化教学导学案

一、课标定位与核心素养锚点

本课隶属于小学四年级数学“数与代数”领域，是小学阶段整数乘法笔算的收官之作。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段“数与运算”主题要求，本课教学需超越单纯技能训练，直指运算本质的一致性：乘法是相同计数单位累加运算的简便表达。本设计以西南大学版四年级上册教材为载体，将课程理念转化为可操作的课堂实践，锚定以下核心素养生长点：

【核心素养】数感、运算能力、推理意识、模型意识。

【课标具体化】引导学生依托已有知识经验（两位数乘两位数、三位数乘一位数），自主迁移建构三位数乘两位数的算法；在“分—算—合”的笔算程序中，感悟乘法运算的通理通法，理解“位值制”是竖式记录的根本依据；在真实问题解决中，抽象出“速度×时间=路程”等基本数量关系，实现从“算得对”到“懂得理”再到“用得好”的素养进阶。

二、教材与学情立体分析

（一）教材逻辑解码

西南大学版教材在本课编排上呈现出鲜明的“结构关联”特征。例1以“书店购书（每套145本，买12套）”这一简单行程问题雏形为情境，直接呈现竖式结果（145×12=1740）而隐去详细计算步骤，这一留白设计意在迫使学生调用两位数乘两位数的程序经验完成算理迁移-6。教材同步嵌入估算、口算、笔算及计算器验算，体现算法多样化的课程理念。例2分层推进末尾有0（160×30）与中间有0（106×30）的特殊情形，构建完整的整数乘法笔算知识网络。值得注意的是，本单元不仅是整数乘法的终点，更是后续小数乘法学习的认知支点——无论因数位数如何变化，“逐位相乘、数位对齐、累加求和”的规则具有高度一致性。

【非常重要·学科本质】运算一致性。本课教学不能仅停留于“会算”，必须揭示不同位数乘法在算理上的同构性：145×12的本质是“（145×2）＋（145×10）”，而145×2是计数单位“一”的累加，145×10是计数单位“十”的累加，最终合并为新的计数单位集合。

（二）学情精准画像

1.知识经验基线：学生已熟练掌握两位数乘两位数的分解计算（如32×21=32×20+32×1），理解竖式中“第二部分积末位左移一位”的规则；能进行三位数乘一位数的一次进位与连续进位计算。

2.认知冲突焦点：【难点·高频错因】当因数位数增至三位乘两位时，学生易机械记忆“左移一位”却不理解移位根源。典型错误表现为：用十位上的1去乘145时，将积145的末位对着个位，导致实际计算的是145×1而非145×10-1-9。此外，中间有0的乘法易出现“漏乘”（如408×15，0不参与运算）；末尾有0的简便写法易出现“积末尾0个数确定错误”-4-9。

3.思维特征：四年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的“关键飞跃期”。对纯文字算理表述接受度低，但对可视化工具（点子图、面积模型、计数单位方格）及身体参与的活动（如手指定位法）反应积极。因此，本课必须为算理理解提供“思维脚手架”，而非直接灌输法则。

三、学习目标与评估证据

（一）三维递进式目标

4.理解层（观念建构）：通过迁移两位数乘两位数的笔算经验，独立探索三位数乘两位数的竖式写法，能结合情境或学具解释“第二部分积末位对齐十位”的计数单位原理，初步感悟整数乘法运算的一致性。

5.技能层（熟练应用）：能正确、规范地笔算一般情况的三位数乘两位数（含连续进位）；掌握因数末尾有0的简便竖式写法及积末尾0个数的确定规则；掌握因数中间有0的规范对位与计算规则。计算正确率达到95%以上。

6.迁移层（问题解决）：能根据具体情境（行程、购物、工程等）准确提炼数量关系并列式解答；能自觉运用估算检验结果的合理性；能通过观察、猜想、验证，探索一个因数是11的乘法速算规律，发展推理意识。

（二）嵌入式评估证据

7.表现性任务：课堂中“算法发布会”——学生以“小讲师”身份口述竖式计算步骤与理由。

8.建构性反应：在“错例会诊”环节，能精准指出病灶并修正。

9.常规检测：分层作业单当堂完成度及正确率统计。

四、核心学习任务与量规设计

【核心任务】“我是运算研究员”——以课题组名义接受挑战任务：为一年级小朋友编写“三位数乘两位数不跳步、不对错”的避坑指南。

【量规要点】能清晰归纳计算三部曲；能用儿童化的语言解释“为什么十位相乘要对齐十位”；能举出三种不同类型的易错题并示范正确解法。

五、教学实施过程（深度学习进阶五阶式）

（一）唤醒与联结：从“旧知图式”中生长问题

活动1：计算热身与结构梳理

教师呈现两组复习题：24×12=132×3=并要求学生不计算，仅回顾“笔算时脑子里在想什么”。

学生回顾：24×12是先算24×2=48，再算24×10=240，48+24个位对个位、十位对十位，其实是2个24和10个24合起来；132×3是3个132，用3分别乘2、30、100。

【重要】教师板书核心问题链：“两位数乘两位数为什么要分成两步？十位上的1乘24得24，为什么24的末位要写在十位上？”引导学生复述：因为1在十位上，表示1个十，乘24得到24个十，末位自然对齐十位。

活动2：引发认知冲突

课件动态演示：将24×12中的24变胖为145，12保持不变。新的算式145×12出现在屏幕上。

师：算式长高了，变成了三位数乘两位数。还是求12个145是多少。不着急动笔，猜一猜，它会遵循我们刚才说的规则吗？你认为最难的地方会是哪儿？

【设计意图】通过结构关联的“算式变形”，使学生意识到新问题并非从天而降，而是旧知的自然延伸，激发“我能用老办法解决新问题”的效能感，同时精准预判难点——十位相乘的对位问题。

（二）探究与建构：在“算法自创”中逼近算理

活动3：独立尝试，暴露原始思维

学生利用研学单独立尝试列竖式计算145×12。教师巡视，刻意收集三类典型样本：

A类（正确型）：第二部分积145的末位对准十位，最终和1740。

B类（错位型）：第二部分积145直接对齐个位，得到290+145=435（实际只加了145个一，而非145个十）。

C类（半分解型）：先算145×2=290，再算145×10=1450，最后用290+1450=1740（但竖式格式不规范，写成两个横式相加）。

【非常重要·思维可视化】教师不急于评判对错，而是将三类样本匿名呈现在黑板上，发起“算法听证会”：你认为哪一种想法最有道理？你看懂了他的计算顺序吗？引导学生从“结果合理性”与“过程逻辑性”双重视角辨析。

活动4：多元表征，突破数位对齐核心难点

针对B类错位型，教师发起深度追问：“这位同学也是先算2乘145得290，再算1乘145得145。为什么他的145加在290后面，结果只有四百多？问题出在哪？”

学生小组讨论后，有学生指出：1在十位上，其实是10，145×10=1450，不能写成145。

此时教师适时切入核心问题：怎么在竖式中把“1450”这个真实大小表现出来，同时又写得简洁？

【难点攻克·教学支架】教师引入“计数单位拼贴卡”学具：将145拆分为1个百、4个十、5个一。两位数12拆为1个十和2个一。用实物投影演示：

先取2个一分别乘145——得到290个一；

再取1个十乘145——得到145个十。145个十怎么写？在计数器上，十位的档上拨145个珠子？太多了，我们只需在十位写5、百位写4、千位写1。

此时，学生在竖式中寻找这个“1450”的影子。教师顺势将竖式中B类样本的“145”用红色粉笔在末尾添上隐含的0，变成“1450”，并追问：如果我把这个0写出来，竖式就变成了四位数加三位数，好像不太对齐。那我不写这个0，怎么让别人知道这是1450呢？

学生顿悟：只要把145的末位5对准十位，就等于告诉别人，这里的145代表的是145个十！

【重要·口诀提炼】此时师生共同总结核心法则：“用哪一位去乘，积的末位就对准哪一位”。教师板书并用符号标注：个位乘→末位对个位；十位乘→末位对十位。

活动5：算法规范化与模型建立

教师邀请A类样本学生作为“小讲师”，一边演示标准竖式步骤，一边口述计算流程：

第一步：个位乘。用12的个位2去乘145，二五一十，写0进1；二四得八加进位1得9；一二得二。得到290，末位对准个位。

第二步：十位乘。用12的十位1去乘145。一五得五，这个5应该写在哪？（学生在教师引导下坚定回答：写在十位上！）一四得四，写在百位；一一得一，写在千位。得到145，其实脑子里想的是1450。

第三步：求和。290+1450=1740。

全体学生跟随“小讲师”空书竖式，同桌互说计算过程。教师板书规范竖式，并用箭头标注两个部分积的来源与意义。

【热点·易错预警】教师在此环节同步嵌入“手指定位法”微技能：计算十位乘时，用左手食指按在竖式中两位数的十位上，右手书写积时，确保最末一位对齐左手食指所指的位置。将抽象的数位对齐转化为身体记忆。

（三）深化与辨析：在“变式与错例”中锤炼技能

活动6：结构迁移，尝试不同数位顺序

教师呈现算式：126×18。不同于145×12，此题涉及连续进位（个位6×8=48，进4；十位2×8+4=20，进2；百位1×8+2=10）以及十位乘的进位。

学生独立完成，教师重点巡视“十位乘的进位书写”——18的十位1乘126得126，末位6对齐十位。进位的处理与个位乘规则一致。

【重要·进阶对比】教师引导学生观察：145×12与126×18，虽然数字变了，但计算流程一模一样。这说明什么？学生归纳：无论三位数是什么，两位数是什么，我们总是分成“个位乘”和“十位乘”两步，再把结果加起来。

活动7：错例会诊——从错误中学习

教师集中呈现源自真实作业的典型错题（改编自-9及教学积累）：

病例一：246×38，竖式中第二部分积的1738写成1738，实为误将2×8算入十位乘步骤。

病例二：345×13，个位乘3×5=15，进位1遗漏，导致个位积错误。

病例三：360×46，采用简便写法时，先算36×46，但忘记在积末尾添上因数中省略的那个0。

病例四：103×50，竖式中50的5乘103时，0乘3得0这一步被跳过，导致结果仅为650。

【高频考点·专题突破】将全班分为四个“专家诊疗组”，每组认领一个病例。任务清单：第一，诊断错在哪里，用红笔圈出病灶；第二，分析病因，用“因为……所以……”句式解释错误根源；第三，给出正确示范并总结避坑指南。

小组汇报时，教师重点强化以下共识：

末尾有0的乘法：先把0前面的数相乘，再看两个因数末尾一共有几个0，就在乘得的数末尾添几个0。[非常重要]注意是“一共”有几个0，不能只看其中一个。

中间有0的乘法：0也是数字，必须参与运算。0乘任何数都得0，这一位要写0占位，不能跳过。

进位标记：满几十就向前一位进几，进位数要写小字标注，避免遗忘。

（四）应用与建模：在“真实情境”中发展量感

活动8：行程问题模型初建

课件呈现西南大学版教材典型情境：一列特快列车每小时行145千米，从重庆出发到上海需要12小时。重庆到上海的铁路大约多少千米？

学生列式145×12=1740（千米）。教师追问：如果列车提速，每小时行160千米，同样的时间能多行多少千米？

学生列式160×12，并主动选择末尾有0的简便算法：16×12=192，再添一个0得1920。1920-1740=180千米。

【一般·模型抽象】引导学生回顾：刚才我们用的数量关系是什么？学生：速度×时间=路程。教师板书关系式，并让学生用速度单位复述：145千米/时，12时，路程1740千米。

活动9：跨学科融合与数据意识

教师提供三组真实数据：

资料A：我国“复兴号”高铁设计时速350千米，连续运行18小时，理论行驶距离是多少？

资料B：地球绕太阳公转的速度约是30千米/秒，转15秒，能走多远？

资料C：某短视频平台爆款视频平均每秒被播放408次，30秒内被播放多少次？

学生任选一题列式计算，并在小组内交流：计算时你用了什么技巧？（如末尾0的处理、估算检验）计算结果让你对“速度”有什么新的感受？

【设计意图】将数学计算与科普、时讯结合，使枯燥的大数计算充满惊奇感，同时渗透爱国主义教育与科技自信。

（五）拓展与挑战：在“规律探索”中走向智慧

活动10：11的倍数速算探秘（选学·思维爬坡）

教师呈现挑战性问题：不列竖式，你能直接说出121×11等于多少吗？

学生借助教材练习七第12题的提示-6，尝试发现规律：一个因数是11，另一个因数是三位数，积可以写成“两边一拉，中间相加”。

教师演示：121×11，把121的百位1和个位1写在积的两端（1和1），中间位是2+1=3，十位是1+2=3？不对，需要修正。实际规律应为：百位1；百位+十位=1+2=3；十位+个位=2+1=3；个位1。得到1331。

学生验证竖式，确认正确。接着尝试158×11：百位1；1+5=6；5+8=13（写3进1，所以百位变成1+1=2）；个位8。得到1738。该活动不要求全班掌握，但为学有余力者提供思维体操。

六、板书系统设计（结构化概要）

左侧区域：核心例题区

145×12=1740

145

×12

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290……145×2（2个145）

145……145×10（10个145），末位对十位

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1740

中间区域：核心法则区

用哪一位去乘，积的末位就对准哪一位。

→个位乘→末位对个位

→十位乘→末位对十位