微专题4：构方程解翻折-勾股定理在矩形折叠中的应用（八年级下册）

微专题4：构方程，解翻折——勾股定理在矩形折叠中的应用（八年级下册）

一、教学内容分析

（一）教材与课标解读

本节内容隶属于人教版八年级下册第十七章《勾股定理》，是承接勾股定理基础知识后的一节专题微课。勾股定理作为几何学中最重要的定理之一，是数形结合思想的典范。翻折（折叠）问题则是轴对称变换在实际问题中的具体体现，它将动态变换与静态计算紧密结合。新课标强调要让学生在真实情境中发现问题、提出问题、分析问题并解决问题，发展模型观念与应用意识。本节课正是基于此理念，将勾股定理与图形的轴对称性质深度融合，引导学生掌握解决翻折问题的通性通法，即通过“轴对称”找全等，通过“全等”得等边等角，通过“等量关系”建方程，最终用勾股定理解方程。这不仅是知识的应用，更是几何问题代数化这一核心数学思想的重要实践。

（二）教学内容定位

本微专题的核心内容是探究在平面几何图形（特别是矩形）中，利用勾股定理解决因翻折而产生的线段计算问题。翻折的本质是轴对称变换，变换前后图形全等，对应边相等，对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分。在矩形背景下，由于存在大量的直角，翻折后极易构造出新的直角三角形。因此，本专题的核心任务就是引导学生识别这些隐含的直角三角形，利用勾股定理建立方程，从而求解未知线段的长度。这一过程集中体现了“等量代换”、“方程思想”和“转化思想”。

（三）知识体系构建

本节内容在知识体系中起着承上启下的关键作用。

承上：它是对第一章《三角形》、第十二章《全等三角形》、第十三章《轴对称》以及本章《勾股定理》知识的综合运用。

启下：它为后续学习相似三角形、解直角三角形、二次函数中的动点问题以及几何综合压轴题奠定了重要的解题策略基础。

二、学情分析

（一）知识储备

学生已经掌握了三角形的全等与性质、轴对称变换的基本特征、矩形的性质以及勾股定理的内容与应用。这为他们在翻折问题中寻找等量关系、构造直角三角形提供了理论依据。

（二）能力现状

八年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。

优势：学生对折纸等生活现象有直观感受，对轴对称的“全等性”有朴素认知。

难点：【难点】【非常重要】学生往往难以将静态的折叠结果与动态的折叠过程联系起来，空间想象能力不足，无法准确找出翻折后图形中隐含的等量关系和新的直角三角形。【难点】面对复杂的图形，学生容易被无关线段干扰，无法抽离出基本几何模型。【难点】对于需要设未知数列方程求解的问题，部分学生对“设哪个量为未知数”、“如何用含未知数的式子表示其他边长”感到困惑。

（三）核心素养障碍

学生在数学建模和逻辑推理上存在短板，表现为“只见树木不见森林”，无法将翻折问题转化为数学方程模型。因此，本节课的关键在于通过“动手操作”降低思维难度，通过“模型归纳”提升认知层次。

三、核心素养目标

（一）知识与技能

【基础】理解翻折变换的实质是轴对称变换，掌握翻折前后图形全等的性质。能够在复杂的矩形翻折图形中，准确找出全等三角形，并识别出求解线段所需的直角三角形。掌握运用勾股定理建立方程求解线段长度的一般方法。

（二）过程与方法

【重要】经历“观察—操作—猜想—验证—归纳”的数学活动过程，通过动手折纸实验，从动态变换中捕捉不变的几何关系。学会运用方程思想、转化思想与数形结合思想解决几何计算问题。通过分类讨论，体会思考问题的严谨性与全面性。

（三）情感态度与价值观

让学生在解决折叠问题的过程中，体验从困惑到豁然开朗的成就感，增强学习数学的兴趣和自信心。感受数学来源于生活（如折纸、翻折门窗）又服务于生活，体会数学的对称美与逻辑美。

四、教学重难点

（一）教学重点

【重点】【高频考点】掌握利用勾股定理解决矩形翻折问题的基本策略：根据翻折性质找出相等线段和角，在直角三角形中利用勾股定理列方程。

（二）教学难点

【难点】【非常重要】准确地在复杂图形中寻找或构造出包含所求线段且已知两边关系的直角三角形。理解并应用分类讨论思想解决无图或动点翻折问题。

五、教学实施过程

（一）课前导入：实验操作，唤醒经验

上课伊始，教师给每位学生分发一张矩形的纸片。首先，引导学生进行一个简单的折叠：将矩形纸片的一个角折叠，使顶点落在对边上。教师提问：“同学们，在你折叠的过程中，折痕两边的图形是什么关系？折叠前后有哪些量是没有发生变化的？”学生动手操作后，很容易得出“全等”的结论，并指出对应边相等、对应角相等。教师进一步追问：“折痕相当于我们学过的哪种几何变换？”学生回顾起“轴对称”。教师由此引出课题：翻折问题就是轴对称问题，而今天我们将借助直角三角形的“利器”——勾股定理，来破解翻折中的线段长度之谜。此环节通过直观操作唤醒学生对轴对称性质的记忆，为后续的定量分析奠定感性基础，同时也极大地激发了学生的探究兴趣。

（二）模型建构：单点折叠，初步建模

【重要】【核心环节】

1.问题呈现：教师利用多媒体展示教材或经典例题中的基础模型。例如：在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，将矩形的一角沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE与BC交于点F。求BF的长度。

2.师生共析：教师引导学生按“折前—折后”的顺序分析。

第一步，找全等：由折叠知，△ABD≌△EBD。

第二步，找等量：得AB=EB=8，AD=ED=10，∠A=∠BED=90°，∠ABD=∠EBD。

第三步，找关联：因为AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC，进而等量代换得∠EBD=∠DBC=∠ADB，所以△BFD是等腰三角形，即BF=DF。

第四步，设未知：求BF，可设BF=DF=x，则FC=BC-BF=10-x。

第五步，构直角：在Rt△EFC中，EF=ED-DF=10-x，EC=DC-EB=8-8=0？不对，此处发现E、C、B共线？此模型若选择不当易产生误导。为了更精准，此处建议更换为标准且无歧义的模型。

3.模型优化与讲解（以矩形顶点折叠到对边上为例）：在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AD边上的点F处。求EC的长。

分析：由折叠知△ABE≌△AFE，则AF=AB=6，FE=BE。设EC=x，则BE=BC-EC=10-x，故FE=10-x。在Rt△FEC中，FC=AD-AF=10-6=4。由勾股定理得：FE²=FC²+EC²，即(10-x)²=4²+x²。

解方程：100-20x+x²=16+x²→84=20x→x=4.2。

【非常重要】此步骤教师必须板书示范，重点强调“设元”和“表示”的过程，展示如何将几何问题转化为代数方程。这是本节课的核心技能点。

（三）变式探究：内折外折，深化理解

【难点突破】【高频考点】

1.问题变式：将上述折叠方式改变，仍将矩形一角折叠，但使点B落在矩形内部（或外部）。例如：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在矩形内部，且B′恰好落在某特殊位置（如在对角线AC上）。求BE的长。

2.小组合作探究：学生分组讨论，尝试画出草图，并找出解题思路。

3.汇报展示：请小组代表上台展示本组思路。学生可能发现，虽然B′位置变了，但解题的“魂”没变：①△ABE≌△AB′E；②AB′=AB=6，BE=B′E；③依然需要在某直角三角形中使用勾股定理。关键在于找到包含B′E和已知量的直角三角形。

4.教师精讲：以B′落在对角线AC上为例。在Rt△ABC中，由勾股易得AC=10。由折叠知AB′=6，则B′C=4。设BE=B′E=x，则EC=8-x。在Rt△EB′C中，由勾股定理得：(8-x)²=x²+4²。解方程即可求得x。

5.方法提炼：教师引导学生总结——无论折叠后点落在何处，解题的通法是“折得全等得等边，所求线段设为元，等量代换表其余，直角三角勾股算”。【重要】此环节让学生体会到解题方法的普适性，实现了从“一道题”到“一类题”的跨越。

（四）拓展提升：双折与分类讨论

【热点】【难点】【非常重要】

1.问题情境：引入动态因素或分类讨论。例如：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点为B′。当△CEB′是直角三角形时，求BE的长。

2.审题分析：此题最大的特点是“无图”且△CEB′是直角三角形，但未指明哪个角是直角。这就引发了分类讨论的必要性。

3.分类探究：

第一类：当∠EB′C=90°时。

引导学生推理：由折叠知∠AB′E=∠B=90°，若∠EB′C=90°，则A、B′、C三点共线。此时，在Rt△ABC中，可求AC=10。设BE=x，则B′E=x，EC=8-x，B′C=AC-AB′=10-6=4。在Rt△EB′C中，利用勾股定理：x²+4²=(8-x)²，解得x=3。

第二类：当∠B′EC=90°时。

引导学生分析：此时∠AEB=∠AEB′=45°，则△ABE是等腰直角三角形，BE=AB=6。

第三类：当∠B′CE=90°时。

讨论：此种情况是否存在？若∠B′CE=90°，则B′落在CD边上，但根据折叠性质，B′到A的距离为6，而AD=8，此种情况存在吗？需要计算验证或由几何画板演示，得出结论一般情况下不存在。

4.【重要】总结提炼：教师强调，解决此类“无图”或“动点”翻折问题，必须养成分类讨论的习惯。分类的依据往往是不确定的角或边，讨论时要结合折叠性质画出每一种可能的情形，再分别用勾股定理列方程求解。这就是数学严谨性的体现。

（五）课堂小结：思想升华

1.知识层面：回顾利用勾股定理解决翻折问题的核心步骤——“一折找全等，二折得等量，三设未知数，四构勾股方程，五解方程验根”。

2.思想层面：【非常重要】再次强调本节课渗透的数学思想：转化思想（将翻折问题转化为直角三角形问题）、方程思想（用代数方法解决几何问题）、数形结合思想（图形分析与代数计算相结合）、分类讨论思想（应对不确定性问题）。

3.学习反思：请学生谈谈自己在本节课中遇到的困难和解决困难的钥匙是什么。

（六）分层作业与课后延伸

1.基础巩固（必做）：完成学案中的基础题，内容为单次折叠直接求值的题目。

2.拓展提升（选做）：寻找生活中或资料中涉及两次折叠的问题，尝试用今天所学方法解决。

3.探究思考（思考）：