小学数学三年级下册：用连乘策略解决实际问题的导学案

小学数学三年级下册：用连乘策略解决实际问题的导学案

  一、设计理念与理论依据

  本导学案的设计秉持“以学生发展为本”的核心教育理念，深度融合《义务教育数学课程标准（2022年版）》所倡导的“三会”核心素养导向——即引导学生“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。具体到本课时“用连乘解决问题”，我们旨在超越传统应用题教学的机械训练模式，将学习过程构建为一个完整的数学建模与问题解决的探究循环。我们借鉴了建构主义学习理论，认为知识不是被动接受的，而是学习者在具体情境中，通过主动的探索、发现和意义建构而获得的。因此，教学设计将创设具有真实性、挑战性和结构开放性的问题情境，驱动学生调用已有的乘法和一步乘法问题解决经验，在合作探究中自发地建构起“连乘”数学模型。

  同时，我们引入“问题解决”（ProblemSolving）的现代数学教育观，不仅关注学生获得“连乘”这一运算技能，更强调培养其分析问题、表征问题、制定计划、执行计划和反思监控的元认知能力。通过设计多样化的实际问题，鼓励学生从不同角度寻找信息关联，尝试一题多解，并理解不同解法的内在联系（即乘法结合律的初步渗透），从而发展思维的灵活性与深刻性。跨学科视野的融入体现在问题情境的设计上，我们将链接科学调查（如数据收集）、校园生活（如物资调配）、简单经济（如成本计算）等主题，让学生体会数学作为一门通用语言和工具，在理解与改造世界中的广泛应用价值，促进其综合素养的提升。

  二、学情分析

  本课教学对象为小学三年级下学期的学生。经过前期的学习，他们在知识与能力、认知与心理层面具有以下特点：

  知识基础方面，学生已经熟练掌握了表内乘法和两位数乘一位数的笔算方法，具备了扎实的乘法运算技能。在问题解决领域，他们已经历了“用一步乘法解决实际问题”的学习，能够识别诸如“每份数×份数=总数”的基本数量关系，并具备初步的从情境图中提取数学信息、提出数学问题的能力。这为学习两步计算的连乘问题奠定了必要的基石。

  认知与思维特点方面，三年级学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们能够理解较为复杂的数量关系，但往往需要直观操作、几何表象或情境模拟的支撑。在解决多步问题时，他们容易关注零散信息，而缺乏对信息间整体性、结构性关联的洞察，常常出现“见数就乘”或“见数就加”的思维定势。因此，教学需着力引导学生学会“中间问题”，即第一步计算所得到的结果在整体问题解决中的桥梁作用。

  潜在困难与误区预判：其一，信息筛选困难。面对蕴含多个数学信息（包括冗余信息）的复合情境，学生可能无法准确识别出解决问题所必需的信息组。其二，数量关系分析断裂。学生可能分别看出两个一步乘法的关系，但难以将这两个关系有机串联，形成连贯的“连乘”结构。其三，单位使用混淆。在分步解答中，对每一步算式的意义及所得结果的单位理解不清，是常见的错误点。其四，算法单一化。多数学生可能仅能发现一种解题思路，缺乏从不同维度对问题进行剖析的意识和能力。

  基于以上分析，本课将通过结构化的问题情境设计、直观化的思维工具（如点子图、矩形面积模型）支撑以及小组合作中的思维碰撞，搭建适切的“脚手架”，帮助学生顺利跨越认知节点，实现思维层次的跃升。

  三、学习目标

  依据课程标准、教材内容及学情分析，制定如下三维学习目标：

  1.知识与技能目标：在具体的生活情境中，经历发现、提出并分析“连乘”实际问题的全过程。学会从多角度寻找信息间的关联，掌握用两步连乘（乘法、乘法）解决实际问题的基本方法，能够正确列出综合算式并进行计算和作答。理解每一步计算的现实意义。

  2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流、对比归纳等活动，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。经历用图形、符号、语言等多种方式表征数量关系的过程，初步形成数学建模的意识。体验解决问题的策略多样性，培养思维的灵活性和批判性。

  3.情感态度与价值观目标：在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和应用数学的信心。通过小组合作学习，培养乐于交流、敢于质疑、严谨求实的科学态度。在“一题多解”和“优化选择”中，初步体会数学的简洁美与逻辑力量。

  四、教学重难点

  教学重点：学会分析实际问题中的数量关系，掌握用两步连乘解决问题的方法，能够清晰表述解题思路。

  教学难点：1.从整体上把握复杂情境中的数量关系结构，学会提出并解决“中间问题”。2.理解不同解题思路的内在联系，根据实际情况选择合理、简洁的解题策略。

  五、教学准备

  教师准备：1.多媒体课件，内含核心问题情境动画、动态示意图、点子图生成工具、分层练习题组。2.实物教具：若干个透明小盒子（内装糖果模型）、大型点子图张贴板、磁贴卡片（用于张贴信息和算式）。3.设计并打印“探究学习单”和“课堂练习单”。

  学生准备：1.常规学具：铅笔、尺子、橡皮。2.思维准备：预习简单的连乘生活实例，回顾一步乘法问题的解决方法。

  六、教学过程

  （一）情境激趣，提出问题（预计用时：8分钟）

  1.创设真实情境，激活已有经验。

  课件动态呈现学校“阳光农场”丰收的场景：农场里有3排种植架，每排种植架上有4个种植盆。画面聚焦于一个种植盆，里面结了5个西红柿。

  教师引导：“同学们，我们学校的‘阳光农场’喜获丰收！仔细观察，你发现了哪些数学信息？”

  预期学生提取信息：有3排种植架，每排有4个盆，每个盆结了5个西红柿。

  教师将关键信息以磁贴卡片形式张贴于黑板：“3排”、“每排4盆”、“每盆5个西红柿”。

  2.基于信息，鼓励提出数学问题。

  教师提问：“根据这些信息，你能提出什么数学问题呢？”

  预期学生可能提出一步计算的问题，如：“一排有多少个种植盆？”（3×4？此处需要纠正，应是每排4盆，一排就是4盆）或“一个种植盆的西红柿能分给几个同学？”等。教师需引导学生关注整体数量。

  学生很可能提出核心问题：“一共有多少个西红柿？”

  教师将核心问题“一共有多少个西红柿？”张贴于信息卡片上方。

  3.对比辨析，明确课题。

  教师追问：“这个问题，和我们以前学过的用一步乘法解决的问题一样吗？哪里不一样？”

  引导学生发现：要直接求出西红柿的总数，无法用一步乘法直接解决，因为已知条件之间不是简单的“每份数”和“份数”的关系，而是存在着两层关系。从而自然引出课题：今天我们就一起来研究这类需要用两步计算，而且是连续用乘法来解决的问题——用连乘的方法解决问题。

  （二）合作探究，构建模型（预计用时：22分钟）

  这是本节课的核心环节，旨在让学生亲身经历解决问题的完整过程，并初步构建连乘模型。

  1.独立思考，尝试解决。

  教师分发“探究学习单（一）”，上面印有农场情境图和问题。要求学生：（1）用你喜欢的方式（画图、文字、算式等）表达你的想法。（2）试着列出算式并计算。（3）想一想每一步算式求的是什么？给学生充足的独立思考时间（约5分钟），教师巡视，捕捉不同层次学生的思维火花和典型困难。

  2.小组交流，分享策略。

  学生4人一组进行交流。要求：（1）轮流说一说自己的解题方法。（2）讨论不同的方法之间有什么联系。（3）准备小组汇报。教师深入小组，倾听讨论，进行针对性指导，并物色具有不同解题思路的小组进行全班展示。

  3.全班展评，多维建构。

  邀请不同策略的小组上台展示，教师引导全班互动质疑、补充评价。预设学生会出现以下几种典型解法：

  解法一：先算一共有多少个种植盆，再算一共有多少个西红柿。

  思路：3排×每排4盆=12个盆（中间问题：种植盆的总数）

  12个盆×每盆5个=60个西红柿（综合算式：3×4×5）

  支持策略：学生可能用画示意图（画出3排，每排4个方框代表盆，再在每个方框里画5个圈）或列举法（盆数：4+4+4=12）来说明。

  解法二：先算一排种植架能收多少个西红柿，再算3排一共多少个。

  思路：每排4盆×每盆5个=20个西红柿（中间问题：一排的西红柿数）

  20个×3排=60个西红柿（综合算式：4×5×3）

  支持策略：学生可能用语言描述或画线段图来表示先聚焦于“一排”。

  解法三：先算一列（假设按垂直方向看）的西红柿数，再算所有列。此思路较难自发产生，教师可视情况作为拓展引导。

  思路：每列3盆（每排一个盆构成一列）×每盆5个=15个西红柿（中间问题：一列的西红柿数）

  15个×4列（因为每排有4盆，即有4列）=60个西红柿（综合算式：3×5×4）

  4.深度对话，沟通联系。

  教师组织关键性讨论：

  讨论点一：“这几种方法有什么相同点和不同点？”

  引导学生发现：相同点——都是用了两步乘法计算，最终结果相同；都要解决一个“中间问题”（盆的总数、一排的西红柿数、一列的西红柿数）。不同点——思考的角度不同，第一步解决的“中间问题”不同。

  讨论点二：“这几种不同的算式，求的都是西红柿的总数。你能用生活中的例子或图形来解释为什么3×4×5、4×5×3、3×5×4结果都相等吗？”

  此问题旨在初步渗透乘法结合律的直观理解。教师可借助课件动态演示：将西红柿的排列想象成一个长方体（长4盆，宽3排，高5层西红柿），从不同方向（前面、侧面、上面）去数它的总数，方法不同，但总数不变。或者用大型点子图，将点子排列成3行4列，每点代表5个西红柿，从行或列的角度进行圈画解释。

  讨论点三：“在解决这个问题时，我们经历了怎样的步骤？”

  师生共同梳理解决问题的一般步骤，形成思维导图张贴于黑板：①阅读与理解（找出已知信息和问题）→②分析与解答（画图理解、确定思路、分步/综合列式、计算）→③回顾与反思（检查计算、验证结果、对比不同方法）。

  5.抽象概括，建立模型。

  教师提问：“观察我们今天解决的这个问题，和我们以前学的一步乘法问题（如：每盆5个，6盆一共几个？）相比，数量关系上有什么新的特点？”

  引导学生概括：这类问题涉及三个相关联的量，要求总量，需要连续用两次乘法。信息之间像“链条”一样环环相扣。我们可以把这种问题的结构抽象为：总数=A组的数量×每A组包含的B组数量×每B组包含的单个数量。这种模型就是“连乘模型”。

  （三）分层应用，内化提升（预计用时：12分钟）

  设计有梯度的练习，从模仿到变式，再到简单拓展，巩固模型，发展思维。

  层次一：基础巩固（模仿建模）。

  出示问题1（图文结合）：一个快递站有2摞快递箱，每摞有5层，每层放6个快递。一共有多少个快递？

  要求学生：（1）独立完成。（2）同桌互说解题思路和每一步算式的意义。（3）鼓励用两种方法解答。此题结构与例题高度相似，意在巩固基本方法。

  层次二：变式练习（信息呈现形式变化）。

  出示问题2（纯文字叙述）：小明每天读2个故事，每个故事有8页，每页大约有100个字。照这样计算，他一周（7天）能读大约多少个字？

  此题信息量稍增，且需要学生注意“一周7天”这个条件，并自主判断“每页字数”这个信息的用途。旨在训练学生从文字中筛选、组织信息的能力，并应用连乘模型。可引导学生讨论：这里的“A组”、“B组”、“单个”分别指什么？（天、故事、页，最后是字数？）需要几步连乘？（天数×每天故事数×每个故事页数×每页字数？）这里可能出现三步连乘的雏形，教师可适度引导，但不作全体要求，重点仍是两步。

  层次三：策略优化（开放性选择）。

  出示问题3（情境图）：超市货架。图显示：有4个货架，每个货架有3层。旁边文字信息：每层可以放15桶矿泉水。另有一个信息卡片单独呈现：每桶矿泉水有12瓶。

  教师提问：“根据这些信息，你能提出一个用连乘解决的问题吗？”

  学生可能提出：“一共能放多少桶矿泉水？”（4×3×15）“一共有多少瓶矿泉水？”（4×3×15×12或先算桶数再乘12）。

  重点讨论：“如果要解决‘一共有多少瓶矿泉水’，你有几种方法？哪种方法更简便？”引导学生对比“先算总桶数，再算总瓶数”（两步）和直接用四步连乘。体会在解决复杂问题时，先求出一个有实际意义的“中间量”（如总桶数），可以使思路更清晰，有时也便于检查。

  （四）联系生活，拓展延伸（预计用时：5分钟）

  1.寻找生活中的连乘。

  教师提问：“生活中，还有哪些情况可以用连乘的方法来解决？请你举个例子说给同桌听。”

  学生可能会想到：计算全校人数（班级数×每班组数×每组人数）、计算鸡蛋总数（盒数×每盒托盘数×每托盘鸡蛋数）、计算书本总数（书架数×每书架层数×每层本数）等。

  2.跨学科小链接。

  简要展示一个科学小调查中的数据：为了研究校园里一片树叶的生长，一位同学测量了5棵树，每棵树选了4根枝条，每根枝条数了10片叶子，记录了每片叶子的长度。要计算一共测量了多少片叶子，就可以用连乘。让学生体会数学工具在其他学科研究中的应用。

  3.思维挑战（选做，供学有余力学生课后思考）。

  出示一道条件隐晦或需要逆向思考的题目：学校给三年级同学发练习本，每人发4本，正好发完。已知三年级有3个班，每班人数相等。如果从信息“一共发了240本练习本”出发，你能求出什么？怎么求？（逆向推导：总本数÷每人本数=总人数；总人数÷班数=每班人数）。这为后续学习连除问题埋下伏笔。

  （五）回顾总结，反思评价（预计用时：3分钟）

  1.知识梳理。

  教师引导学生以“通过今天的学习，我明白了……”为开头进行总结。学生可能会总结：学会了用两步连乘解决问题；知道了要先找出中间问题；学会了画图帮助理解；发现同一个问题可能有不同的解决方法等。

  2.方法反思。

  提问：“在解决连乘问题时，你觉得最关键的一步是什么？”（分析数量关系，找准中间问题）“你最喜欢哪种分析问题的方法？”（画图、列表、从问题出发想等）

  3.自我评价。

  发放简单的课堂自评表（可简化为举手反馈或表情反馈）：（1）我能听懂连乘问题的解决方法。（2）我能独立解决一个简单的连乘问题。（3）我能在小组中积极分享自己的想法。（4）我发现了数学与生活的更多联系。

  教师进行鼓励性总结，强调解决问题时思路的多样性和逻辑的严谨性，并布置课后作业。

  七、板书设计

  板书设计力求体现教学重点、思维过程和知识结构，做到清晰、美观、有启发性。

  （黑板中央偏上）主题：用连乘策略解决实际问题

  （左侧）信息区：

  已知：3排种植架

  每排4盆

  每盆5个西红柿

  问题：一共有多少个西红柿？

  （中部）探究区（思维过程可视化）：

  方法一：先算总盆数方法二：先算一排的西红柿数

  3×4=12（个）…盆的总数4×5=20（个）…一排的个数

  12×5=60（个）20×3=60（个）

  综合：3×4×5=60（个）综合：4×5×3=60（个）

  （箭头连接，并标注：中间问题）

  （右侧）模型区（提炼与总结）：

  解决问题的步骤：

  1.阅读与理解→2.分析与解答→3.回顾与反思

  连乘模型：

  总量=A的数量×每A含B的数量×每B含单个数量

  （底部）关键词：观察信息、寻找关系、提出中间问题、一题多解、验证。

  八、作业设计

  作业设计遵循“基础性、拓展性、实践性”相结合的原则。

  A.必做题（夯实基础）：

  1.教材对应练习中的基础题2-3道。要求步骤清晰，写出每一步算式的意义。

  2.请根据算式“6×5×4”编一道生活中的连乘应用题，并画图表示你的题意。

  B.选做题（提升能力）：

  1.一栋大楼有8层，每层有12个房间，每个房间安装4盏节能灯。这栋大楼一共安装了多少盏灯？（用两种方法解答）

  2.挑战题：运动会上，同学们进行队列表演。排成了一个6行8列的方阵。后来为了变换队形，老师要求每相邻的2行、2列同学组成一个小方阵（共4人）。请问一共能组成多少个小方阵？（提示：先画图观察行和列上分别能分出几个“2”）

  C.实践探究题（链接生活）：

  做一个小调查：了解一下你家的书柜、超市的货架或小区的信箱布置。记录下类似“几个大层、每层几格、每格放多少”这样的数据，提出一个用连乘解决的数学问题，并尝试解答。可以将你的发现和计算过程制作成一张数学小报。

  九、教学反思与特色说明

  （本部分为教学设计者的预设性反思，旨在阐明本设计的创新之处与实施要点）

  1.思维可视化工具的系统运用：本设计摒弃了单纯依靠语言分析数量关系的传统做法，将画示意图（点子图、矩形模型）、列表、线段图等多种表征方式作为学生理解抽象数量关系的“脚手架”。特别是在沟通不同算法联系时，引入三维空间想象或矩阵点子图，将抽象的算式与直观的几何表象相结合，深化了对连乘本质和乘法结合律的直观感悟，有效促进了学生数形结合思想的发展。

  2.“问题解决”过程的完整性与元认知