2026高二数学寒假复习讲义：直线与圆中的最值（范围）问题（原卷版）

专题04直线与圆中的最值（范围）问题

内容导航

圈串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

Q复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

「题型1根据有交点判断斜率或较斜角的取值范围

知识点01与直线有关的最值问题

-题型2点到直线距离问题的最值

超型3圆上点到定点距*的最值

期里4园上点到直线的距离的最值

题型5将军饮马求|泅|±*B|的最值

题型6构造阿氏国来解决k|Rq2|P8|的最值问题

迷里7与圆的弦长有关的最值与范围

题型8与圆的切线长有关的最值与楚困

知识点03代数式的几何意义——KS9代数式的几何息义求最佰与范围

重难知短

田知识点1:与直线有关的最值问题

1、根据直线有交点来确定直线斜率

画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置.，宜观判断倾斜角的大致范围。

找临界：确定倾斜角变化的边界〔通常是垂直或水平位置）。

转化求解：若已知的是斜率k的范围，则根据k=tana的单调性求解。在（0。,90。）和（90。，180。）上，tana分

别单调递增。若己知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，再转化

为倾斜角范围。

注意：时刻检查是否存在斜率不存在（a=900）的情况，并判断它是否包含在范围内。

2、两点间距离与点到直线的距离的最值

在求距离最值问题上，我们从几何角度出发，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线

段最短”这两个最基本的几何公理。

知识点2：与圆有关的最值问题

1

1、圆上的点到定点的距离的最值问题

圆二的点到定点的距离最短跟最长的均是过圆心的直线与圆交点的位置

2、圆上的点到直线距离的最值问题

圆二到直线距离最短的距离为过圆心与宜线垂直的线PA|的长度

3、将军饮马求距离最值

当定点分布在动点所在软迹的两侧时，可以构造对称，运用将军饮马来求距离的最值。

A、B在直线同侧时，|AP+|BP|的最小值|AP|-|BP|的最大值

4、圆的弦长的最值问题

过某定点A的直线与圆相交，截得的弦长，在过圆心时最长，在被直径垂直平分时最短。

5、圆的切线长的最值问题

过直线上的动点P做圆的切线长，根据勾股定理，可以由PC（动点与圆心连线），半径AC长来决定。由

2

于半径不变，所以PA根据PC的变化而变化。PC在垂直直线时最短，这时候PA也是最短的切线长。

知识点3：代数式的几何意义

1、与距离公式有关的代数式^^一0)2+(y一")2离

2、与斜率有关的代数式之

x-a

3、与圆有关的Q—Q)2+(y一匕)2=八

4、与点到直线的距离有关的代数式转

(3必考题型

【题型1根据有交点判断斜率或倾斜角的取值范围】

高妙技法

将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率k或倾斜角。的不等式(或方程)，

然后通过求解这个不等式(或方程)来确定范围。

1.(25-26高二上•广西玉林月考)直线/过点？(1,0),且与以4(2,1),可0,石)为端点的线段有公共点，则

直线/的斜率范围是()

A.[一百1B.(-a>,-x/3]u[l,+a?)

C.卜8,一D.

2.(25-26高二上・贵州•期末)设点力(2,-3),5(-3,-2),直线/过点尸(U)且与线段43相交,则/的斜率1

的取值范围()

3333

A.k>-^k<-4B.-<^<4C.-4<k<-D.k>4^k<一一

4444

3.(25-26高二上•广东潮州・月考)已知点题-1,1)、8(1,2)、C(O,-1),过点C的直线/与线段48有公共

点，则直线/的斜率A的取值范围是()

A.(-2,3)B.(-2,0)u(0,3)

C.(-8,-2卜[3,+8)D.(-<»,-2]U(3,4oo)

4.(25-26高二上•江苏常州•月考)已知直线/：(〃?+2)x+(〃Ll)y+〃?-l=0,若直线/与连接彳(1,-2),8(2,1)

两点的线段总有公共点，则/的倾斜角范闱为.

【题型2点到直线距离问题的最值】

高妙技法

找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。

找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。

3

根据点到直线的垂线是距离最短来解决问题。

1.（25-26高二上•吉林长春・月考）已知点4（1,2）,直线/：（4+2）x+（l—；l）y+2/l+7=0（/leR）,直线/随

着丸取值变化而发生变化过程中，力到/的距离的最大值为（）

A.3B.x/ioC.y/2D.5

2.（25-26高二上•湖南永州•期中）已知定点“（1,5）和直线/：（l+m）x-y-2〃z+l=O（〃?eR）,则点M到直

线/的距离d的最大值为（）

A.2石B.273C.V?D.石

3.（25-26高二上•湖北武汉•期中）已知直线/过定点（0,〃。，点火4,3）到直线/的距离的最大值为5,则实

数用=（）

A.0或6B.-1或7C.6D.7

4.（25-26高二上•重庆•期中）点尸（T2）到直线/:（1+2为X+U+2））T-3/1=0（/IGR）的距离的最大值

为（）

A.x/ioB.&C.3&D.V5

【题型3圆上点到定点距离的最值】

高妙技法

圆二点到定点距离最大最小的线均为过圆心跟定点的直线。

I.（25-26高二上•湖南长沙•月考）已知圆M:（x—2y+（j，+y=9,点尸（T3）,点。是圆M上的一个动

点，则线段归。|的最大值为（）

A.2B.6C.8D.1（）

2.（25・26高二上•北京•月考）在平面直角坐标系中,已知点«-2,0）,8（-2,2）,若点尸为圆C:/+产=1上

的动点，则|通-2两的最大值为（）

A.3B.V13C.2石+2D.272+1

3.（25-26高二上•江苏盐城•期中）点尸（-3,1）在动直线加x+川-〃=0上的投影为点若点N（3,3）,

那么阿M的最小值为.

4.（25・26高三上•贵州遵义•月考）2000多年前,我国的思想家墨子给出圆的概念:“一中同长也”.意思

是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希曙数学家欧几里得给圆下定义要早100年.已

知点4（7,2）,照|=后,若M（3,4）,则|PM|的最大值为（）

A.旧B.3石C.2x/5D.4石

【题型4圆上点到直线的距离的最值】

高妙技法

4

圆二点到定点距离最大最小的线均为过圆心跟定点的直线。

1.（25-26高二上•江西上饶•月考）长度为2的线段的两个端点分别在x轴及>轴上运动，则线段4?的

中点到直线3・4尸10=0距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（25-26高二上咛夏・月考）在平面直角坐标系中，三点力（-1,0）,5（1,0）,C（0,7）,动点。满足犒=拒，

则点P到直线/C距离的最小值为（）

A24及口1472「80472

A.-------B.------C.-----nD.-----

5555

3.（25-26高二上•福建福州•期中）已知m€R,直线小"〃-y-3〃?+l=0与直线£x+〃9-3皿-1=0相交

于点P，则P到直线x+V=0的距离d的取值范围是（）

A.[贬，2夜]B.[收，3旬C.[«3闾D.[V3,2x/3）

4.（多选）（25-26高二上•江西南昌期中）已知点P（cos0,sin。）（6eR）,直线/：x+/^-4=0,下列

结论正确的是（）

A./恒过定点（4,0）B.\OP\=\（O为坐标原点）

C.。到直线/的距离有最小值，最小值为0D.P到直线/的距离有最大值，最大值为4

【题型5将军饮马求|P4|±|PB|的最值】

高妙技法

动点与两定点的距离和或距离差的最值（如|P*±|PB|）,若两定点分布在动点轨迹线的同侧，通常可

以做对称，根据将军饮马来求最值。

1.（25-26高二上•江西宜春•月考圮知直线/：%+"1=0和点力（-2,1）,3（-1,-2）,尸是/上一点，则|―|+|尸8|

的最小值为.

2.（25-26高二上・江西•月考）已知直线/：y=l,圆C:（x++J+=1,点夕在直线/上运动，。是圆C

上一动点，点/Q,o）,则|产力|+|「。|的最小值为（）

A.V13-1B.而+1C.2>/3-1D.26+1

3.（25-26高二_L•浙江•期中）已知动点M在直线上x+y-l-0±,动点N在直线LA+y+l-0±,记

线段A/N的中点为尸，圆G：（x-l）2+（y-l）2=l,圆g：（x-4）?+（^+l）2=1,A,8分别是圆。，G上

的动点.则|以|+|尸3|的最小值为（）

s6

A.3B.—C.V14-3D.9-3

2

4.（25-26高二上•重庆九龙坡•期中）已知两点4（-2,0）,8（1,0）,如果点“满足|—|=2附8],点期为圆

5

U(X—1)2+37)2=；上一动点，点户为y轴上一动点，则pw+|/w|的最小值为.

【题型6构造阿氏圆来解决A|P4|±|PB|的最值问题】

高妙技法

当遇到求k|P川±|PB|(kH1)时，需要通过构造阿氏圆来转化其中的24或P8,使得两线段的系数一致，

然后再根据将军饮马来求两距离和或差的最值

1.(25-26高二上•四川成都•期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山

大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点M与两定点。，

P的距离之比憬卜4(%>0/工1)，那么点M的轨迹是圆.已知动点例与定点。(〃?,0)和定点《-别的

距离之比为2,动点M的轨迹方程为一+/=].若点力在直线产_3x+4上，则+的最小值

为•

2.(25-26高三上•安徽・月考)阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧儿里得、阿基米德被称为亚历山大

时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现:平面内到两个定点44的距离之比为定值44>0,且义工I)的点的轨迹

是圆，此圆被称为点4和4相关的阿波罗尼斯圆,现已知点4和2相关的阿波罗尼斯圆为圆=%

其中点4(-4,0)，且点P在该圆上，点。在圆.“：(x-5『+(y-g)2=4上，则2|P。|+四|的最小值为()

A.16B.8C.12D.6

(C\2Q

3.(25-26高二上•湖北•期中)已知点力(一2,0),圆N:x—?+丁在圆N上求一点人使得

、2J4

的值最小，则点p的坐标是.

4.(25-26高二上•广东广州•期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山

大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一

书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点4B的距离之比为乂2>0,2^1),

则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点“与两定点^(-2,0),8(2,0)的距离之比为6时的阿波罗尼斯

圆为(A6『+J，2=32.我们来研究与此相关的一个问题：已知同O：x、V=4上的动点河和定点4(7,0),

8(1,1),则21A划+|M8|的最小值为()

A.2+x/10B.⑨C.V26D.屈

【题型7与圆的弦长有关的最值与范围】

高妙技法

通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。

1、当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度

6

当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线的长度可求得。

1.（25-26高二上・山东临沂•期中）已知圆C:（x-4『+炉=9,直线/：，=%（x-5）+2,当圆。截直线/所得

的弦48最短时，%的值为（）

A.2B.YC.—D.-2

22

2.（多选）（25-26高二上•安徽池州•期中）已知直线/：依-尸2〃=0,圆C:（x+l）2+（p-2『=8,则下列

说法正确的是（）

A.直线/过定点（-2,0）

B.直线/与圆C恒相交

4

C.直线/被圆C截得的弦长为4时，=

D.直线/被圆C截得的弦长最短时，直线/的方程为x+2y+2=0

3.（25-26高二上•河北邢台・期中）当直线/：x+（2/〃+l）y+4/〃-4=0被圆O：/+y2=9所截得的弦长最短

时，实数机=.

4.（25-26高二上•河北张家口•期中）当直线/：x+（2/〃+l）y+4加+4=0被圆。：./+/=9所截得的弦长最

短时，实数〃?=.

【题型8与圆的切线长有关的最值与范围】

高妙技法

根据切线、动点与圆心的连线，与径构造的勾股定理，讨论切线长的最值可以由动点与圆心的连线的长

的最值来决定。

1.（25-26高二上•黑龙江哈尔滨•月考）已知点尸在"+1）2+3-4）2=9上,过点尸作圆。：（》-5）2+（），-4）2=1

的两条切线，切点分别为44,则四边形E4c'8面积的最大值为（）

A.4万B.3亚C.3币D.4/7

2.（多选）（25-26高二上•安徽期中）己知圆M:（x-2）2+（,”2尸=4,直线/:2x-y-7=0,过/上的动

点P作圆M的切线P4P8,切点分别为48,则（）

A.圆M上的点到/的距离最大值为2+不

B.附|的最小值为G

C.sin/JPA的最大值为1

D.|P"H阴的最小值为4

3.（多选）（25・26高二上•安徽芜湖•期中）己知圆G过点［（-1』），8（3』）,“1,3）,动点夕直线/:2/y+2=0

上任意一点，过P向圆G引两条切线，切点分别为为",N,记cos/W/W的最小值为巩sin/M/W的最大

值为〃.下列说法正确的是（）

7

A.圆G的标准方程为C1：（x-l）2+（y_］）2=4

B.

C.四边形M/WG的面枳范围为［2百,+oo）

D.当G尸_u时，四边形MPNG的外接圆与圆G的交点所在的直线为2x+y+l=。

4.（多选）（25-26高二上•广东广州•期中）已知圆M:（X+4）2+/=4直线/:x+y-2=0,点尸在直线/上

运动，直线尸力,依分别与圆M相切于点力，B,则下列选项中正确的是（）.

A.四边形P的面积最小值为2旧

B.最短时，弦48长为平

C.|4|最短时，弦44所在直线方程为3x+3y+8=0

D.直线48过定点|（一~1—02、

【题型9代数式的几何意义求最值与范围】

高妙技法

将代数式转化为几何意义，然后进行数形结合来求最值。

1、若遇到带平方跟开方的，联想到两点间的距离公式，把它构造成两个点。

2、遇到跟x、y有关的代数式，可以联想到点到直线的距离，西平行直线的距离公式

熟悉圆的方程、直线方程，把代数式转化成圆上点或者直线上点，将代数问题转化为儿何问题。

I.（25-26高二上・江苏泰州・月考）若实数4,N满足（x-2『+V=3,则.的范围是（）

A.（-石,G）B.

C.（-QO,-X/3）U（V3,+OO）D.（-00,-VT|u［收收）

2.（多选）（25-26高二上•山东•月考）已知实数》/满足方程4x+l=0,则下列说法正确的是（）

A.点（xj）到点（2,0）的距离为定值

B.，的最大值为百

C.—2+—_］）2的最大值为石

D.x+y的最大值为2+痴

3.（多选）（25-26高二上•广东•月考）已知实数满足曲线C的方程/+/一2》-2=0,则下列选项正

确的是（）

A./+/-4的最小值是-24

8

B.六的最大值是2+而

C.|x-y+3|的最小值是2a-G

D.过点（0,3）作曲线C的切线，则切线方程为x-Jip+2=0

4.（多选）（25-26高二上•河南新乡•月考）已知实数满足『+/-4〃-437=0,则（）

A.3+名的最小值为。

434

B.44+6网的最小值为3-2及

C.如1的最小值为止也

a+b14

D.当机£（0,+8）时，“4—2而『+（〃+〃?）2+何+1］的最小直为加5-1

O复习提升

1.（24-25高二上•天津南开•期中）若过点的直线/与直线》=-2x+3的交点位于第一象限，则直线

/斜率的范围是.

2.（2025高二上•江苏南京•专题练习）过点尸（0,-1）作直线/,使得直线/和连接点8（2,1）,力（1,-2）的线段

总有公共点，则直线/的倾斜角。的取值范围是.

3.（2025高二上•江苏南京•专题练习）过点尸（1,0）的直线/交圆C：（一1『+3+2『=9于48两点，若

CQLAB,垂足为0,则点。到直线》+歹-2=0的最大距离为.

4.（多选）（25-26高二上・福建芾田,期中）已知圆C:（x+2f+/=4和直线/：侬-二小+1=0,则（）

A.直线/恒过定点B./截圆所得弦长的最大值为2

C./截圆所得弦长取最小值时机=-1D.。上动点M至!/的距离的最大值为2+力

5.（25-26高二上•湖北•期中）设点尸为圆/+丁=4上的动点，”（1,0）,以0,3）,则3四|+-8|的最小值为

（）

A.30B.5C.2MD.4

6.（25-26高二上•山东聊城期中）己知/（0」）,以2,1）,*1,0）三点，动点。满足苏.丽=0,若用7=g即，

则线段。河（。为原点）长度的最大值为（）

A.B.2^11C.D.

22