湖南省衡阳市衡南县2025年中考第二次模拟考试数学试题（解析版）

湖南省衡阳市衡南县2025年中考第二次模拟考试数学试题

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.-2的绝对值是（）

A.-iB.1C.2D.±2

【答案】C

【解析】【解答】解：:|一2|=2,

••・一2的绝对值是2,

故答案为：C.

【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，。的绝对值是0,据此直接得到答案.

2.下列运算正确的是（）

A.a2+a2=a6B.6a2—2a2=3a2

C.a2-a4=a6D.（2a2）3=6a6

【答案】C

【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2,故此选项不符合题意；

B、6a2-2a2=4a2,故此选项不符合题意；

C、。2.小=。6,故此选项符合题意；

D、（202）3=84,故此选项不符合题意；

故选：C.

【分析】根据合并同类项，同底数离相乘，积的乘方法则逐项判断解答即可.

3.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆B.等腰三角形C.平行四边形D.菱形

【答案】B

【解析】【解答】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；

C、平夕亍四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、菱形是轴对称图形，也是中心史称图形，故此选项错误.

故答案为：B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的性质求解.

4.若式子号在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）

第1页

A.x<0B.x<0C.x>0D.x>0

【答案】C

【解析】【解答】解：•・•式子学在实数范围内有意义，

.*.x>0且%=0,

解得x>0.

故选：C.

【分析】利用二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为零进行解题即可.

5.“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一

体，储油量达60000立方米.将60000用科学记数法表示为（）

A.6x103B.60x103C.0.6x105D.6x104

【答案】D

【解析】【解答】解：60000=6xl04,

故选：D.

【分析】科学记数法的表现形式为ax10八的形式，其中1<|a|<10,n为所有整数位的个数减1.

6.将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2,弧长为粤，则扇形的圆心角大小为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【解析】【解答】解：设扇形的圆心角大小为n。，

•・•扇形的半径为2,弧长为竽，

・ZIK-2_4K

•,面=丁

解得：n=120,

・•・扇形的圆心角大小为120°,

故答案为：D.

【分析】设扇形的圆心角大小为n。，根据弧长公式1=瑞，其中，是弧长，九是圆心角度数，r是扇形半径,

据此即可求解.

7.如图，在。。中，弦的长为8,圆心O至必8的距离OE=4,则O0的半径长为（）

第2页

B.4V2C.5D.5V2

【答案】B

【解析】【解答】解：•••在OO中，弦力B的长为8,圆心O到/W的距离0E=4,

：.0E1ABfAE=^AB=4,

在Rt△40E中，0A=yJOE2+AE2=V42+42=4V2»

故选：B.

【分析】先根据垂径定理得到4E长，然后利用勾股定理求出0A长解题.

8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A夕U是位似图形，位似中心为点。.若点A（-3,1）的对应点为

/（一6,2），则点B（—2,4）的对应点炉的坐标为（

A.(-4,8)B.(8,-4)C.(-8,4)D.(4,-8)

【答案】A

【解析】【解答】解:•••△48。与4片8'。'是位似图形，点4（一3,1）的对应点为力'（一6,2），

・•・△48（'与448c的位似比为2,

・••点8（-2,4）的对应点力的坐标为（-2x2,4x2）,即（一4,8）,

故选:A.

【分析】根据点4、4的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点炉的坐标.

9.如图，4C为。。的直径，点B,D在O。上，4480=60。，CD=2,则力。的长为（）

D

A

O

B

第3页

A.2B.2V2C.2V3D.4

【答案】C

【解析】【解答】解：・.・AC为。。的直径,

:.(ADC=90°,

V/tt)=脑，Z,ABD=60°,

・••乙48=Z-ABD=60°,

.\zDi4C=90o-60o=30°,

VCD=2,

：.AC=2CD=4,

•'»AD=V42-22=2\/3,

故答案为：C.

【分析】先求出乙。4c=90。-60。=30。，利用含30。角的直角三角形的性质可得AC=2CO=4,最后利用

勾股定理求出AD的长即可.

10.如图，已知二次函数、=。/+8%+。（。工0）的图象与*轴相交于点4（一3,0）,8（1,0）,则下列结论正确

的个数是（）

@abc<0

②3b+200

③对任意实数m,am?+匕加之。一匕均成立

④若点（一4,为），弓号2）在抛物线上，则为〈为

B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】【解答】解：由图象可得：勉物线开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴于负半轴,

Aa>0,x=-^<0,c<°'

：.b>0,

:.abc<0，故①正确;

二次函数y=ar2+hr+c（a*0）的图象与x轴相交于点4（—2,0）,

；・二次函数的对称轴为直线％=j1=—1,a+b+c=0①，9a—3b+c=0②,

第4页

由①+②得：10a-2b+2c=0,

••bq

・无=一而二一1'

:.b=2Q,

/.5b-2b4-2c=0,即3b+2c=0,故②错误；

当工=一1时，二次函数有最小值Q-匕+C,

由图象可得，对任意实数m,am24-bm+c>a-d+c,

，对任意实数m,am2+bm>a-b均成立，故③正确；

，•,点(―4,yJ,G，y2)在抛物线上，且4—(—1)|>—1—»

••yx>y2»故④错误；

综上所述，正确的有①③，共2个，

故答案为：B.

【分析】①由抛物线的开口向上知Q>0,由抛物线顶点坐标的大体位置知对称轴在y左侧，即a、b同号,

由抛物线与y轴交点的位置知c<0,所以Qbc<0；

②由抛物线与x轴的交点坐标为4(一3,0)和8(1,0)知，对称轴为x=一段=号i=-1,即b=2a或Q=

乙W乙

与；则当％二—3时，y=9Q—3b+c=幻+c=0,所以3b+2c=0；

乙1乙

(3)因为抛物线开口向上，所以二次函数有最小值，即当％=—1时，y=Q—b+c最小，因此对于任意实数

有am2+bm+c>a-b+c,即am2+bm>a-b成立；

@因为抛物线的对称轴为％=-1,所以一1—(一4)=3>2—(-1)=今即离对称轴距离越大函数值越

大，所以%>y2.

二、填空题(共8小题，每小题3分，满分24分)

11.分解因式：7n2-4=.

【答案】(m+2)(m-2)

【解析】【解答】解：m2-4=(m+2)(m-2).

故答案为：(m+2)(m・2).

【分析】直接利用平方差公式aZb2=(a+b)(a-b)进行因式分解.

12.若次一2。-5=0,贝IJ2Q2-4Q+1=.

【答案】II

【解析】【解答】解：Va2-2a-5=O,

a2-2a=5,

；・2az/a+1=2(a2-2a)+1=2x5+1=11.

故答案为：11.

第5页

【分析】由已知等式得a?-2a=5,然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.

13.计算：V27-2V3=;

【答案】V3

【解析】【解答】解：V27—2V5=3V3—2V3=V3.

故答案为：V3.

【分析】利用二次根式的减法计算即可.

14.如图，48是。。的内接正n边形的一边，点C在。。上，2(78=18。，则九=.

【答案】10

【解析】【解答】解:v^ACB=18%

乙40B=2/-ACB=2x18°=36°,

•••n=360°4-36°=10,

故答案为：10.

【分析】根据圆周角定理求得乙4。6=36。，再根据“正n边形的边数九=360。+中心角”解答即可.

15.如图是跷跷板示意图，支柱OM经过49的中点O,OM与地面CQ垂直于点M,OM=40cm,当跷跷板的

一端A着地时，另一端B离地面的高度为cm.

【答案】80

【解析】【解答】解：过点B作BN1CD于N,

「OM1CD,

：.OM||BN,

・•・△AOM"ABN,

第6页

.OM_AO

••丽一殖

'：A0=OB,OM=40cm,

.40_1

,,丽=2，

:・BN=80cm,

，另一端B离地面的高度为80cm.

故答案为：80.

【分析】过点B作BN_LCD于N,由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得OMVBN,得由平

行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AOMsaABN,进而根据相似三角

形的对应边成比例建立方程，求解得出BN的值.

16.如图，正方形48CD的对角线4C,8。相交于点O,点E是。A的中点，点F是0。上一点.连接E/.若

4”£。=45。，则盖的值为

【答案】|

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是正方形,Z.FEO=45°,

：.WAD=乙FEO=45。，AD=BC,

丁乙4。。=乙EOF,

△OEFOAD,

.EF_0E

••而一而’

•・•点E是。力的中点，

.0E_1

t，OA=2,

.EF_EF_1

,•而二町=2'

故答案为：1

【分析】根据正方形的性质得到/。40=乙FEO=45°,AD=BC,结合乙4。0=4E。/7可证明△OEF八

OAD,然后根据相似三角形对应边成比例得筋=需=：即=J

17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).以。40c为边作矩形

OABC,若将矩形。48c绕点O顺时针旋转90。，得到矩形。AB'C',则点8'的坐标为.

第7页

Af-------18，

8|---------------C

AOC~~5

【答案】(2,4)

【解析】【解答】解：•・,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2),

•'-OA=4,OC=2,

•・•四边形。48c是矩形，

-'-AB=OC=2,乙ABC=90°，

•・•将矩形。ABC绕点O顺时针旋转90。，得到矩形04'夕C',

・・・0A=04=4,AE=AB=2,乙。4夕=90°,

轴,

，点8,的坐标为(2,4),

故答案为：(2,4).

【分析】先由矩形的性质可得48=0。=2,乙ABC=90。，根据旋转得到0%=。4=4,A'B'=AB=2,

/。49=90°,然后得到点B，的坐标解题.

18.观察下列等式:

则Si。的值为

【答案】J20

11711113

++---1++-+--1+

-962X39-2

4161

1

3X

1111

112

*=++--=-N

1X22

1一第8页

1111111

S2=1+T^2+1+2^3=2+T_2+2_3=3-3,

53=1+笳+1+网+1+网=3+厂2+2-/4-4二4-4

]_n(n4-2)

•0=(n+1)—n+1-n+l

・・.当九=1。时，有酊。=吟辞^罟，

故答案为：号.

【分析】本题考查了数字的规律的探究，先求出h+i+]=i+6,-171=1+与，

\41X2yJ492X3

111

+-1+从而得Si，Sz，S3的值，进而得到规律：5〃=隼苧，然后将九=10代入进行求解

9-3X4

16

1+

即屯

三、解答题(本大题共8小题，满分66分)

1一2

19.计算：(2024-7T)°+|V3-2|+tan60°-Q)•

【答案】解：原式=1+2-遮+8一4

=-1.

【解析】【分析】先根据零指数累、绝对值的意义、特殊的三角函数值、负整数指数轼进行化简，然后进行加

减运算即可.

20.如图，Z.C=Z-D=90°,Z.CBA=/-DAB.

(1)求证：△4BC三△84。；

(2)若NOA8=70。，则4G48=°.

【答案】(1)证明：在△A8C和△840中，

Z.C=Z.D=90°

Z-CBA=DAB,

AB=BA

ABCB40(AAS)

(2)20

【解析】【解答】(2)解：•••=70°,(D=90°,

•••乙DBA=90°-70°=20。，

由(1)知△ABC"BAD,

...乙CAB=Z-DBA=20°,

第9页

故答案为：20.

【分析】(1)直接利用AAS得到两二角形全等即可；

(2)根据三角形内角和定理得到/DIM的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可.

(1)证明：在△4BC和△B4O中，

Z.C=Z-D=90°

^CBA=DAB,

AB=BA

:心ABC三△840(AAS)；

(2)解：VZ-DAB=70°,ZD=90°,

••."84=90。-70。=20。，

由(1)知△ABCBAD,

/-CAB=匕DBA=20°,

故答案为：20.

21.刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之

际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2

件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要120()元.

(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？

(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最

多能购买A种湘绣作品多少件？

【答案】(1)解：设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元.

根据题意，得

+2y=700

U+3y=1200'

(x=300,

解得OAA

(>1=200.

答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元.

(2)解：设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品(200-a)件.

根据题总，得300a+200(200-Q)$50000,

解得QW100.

答：最多能购买100件A种湘绣作品.

【解析】【分析】(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据题意列关于x,y的

二元一次方程组解题即可；

(2)设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品(200-a)件，根据“总费用=单价x数量”列关于a的一

兀一次小等式，求出a的最大整数解即可.

(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元.

第10页

根据题意，得

(x+2y=700

(2x+3y=1200'

r=300,

解得

>=200.

答：A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元.

（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品（200—a）件.

根据题意，得300a+200(200-a)工50000,

解得aV100.

答：最多能购买100件A种湘绣作品.

22.2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“若上组合体“）成功着陆在月球背面.某校

综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从力

点垂直下降到8点，再垂直下降到着陆点C,从8点测得地面。点的俯角为36.87。，40=17米，80=10米.

（2）若模拟装置从4点以每秒2米的速度匀速下降到8点，求模拟装置从力点下降到8点的时间.（参考数

据：sin36.87°«0.60,cos36.87°«0.80,tan36.87°«0.75)

【答案】（1）解：如图，过点8作6E||交于点E,

由题意可知,Z.DBE=36.87°,

•••乙BDC=36.87°,

在△8CD中，2c=90°,80=10米,

CD

•­,cus乙BDC=丽，

:•CD=BD-cos36.87°®10x0.80«8米,

第11页

即CO的长约为8米：

(2)解：•・・AD=17米，。。=8米,

22

AAC=VAD-CD=15米，

在△BCO中，z<=90。，8。=10米，

vsinzSDC=器，

•••BC=BD-sin36.87。«10x0.60«6米，

AB=AC-BC=15-6=9米，

•••模拟装置从4点以每秒2米的速度匀速下降到8点，

.••模拟装置从4点下降到8点的时间为9+2=4.5秒，

即模拟装置从4点下降到8点的时间为4.5秒.

【解析】【分析】(1)过点8作BE||CO交40于点E,利用余弦的定义求出CD的长即可；

(2)根据勾股定理求出4C长，然后根据正弦的定义求出8c的长，利用线段的和差得到4B的长，根据“时间二

路程♦时间”计算解题.

(1)解：如图，过点B作BEIICD交40于点E,

由题意可知,Z.DBE=36.87°,

•••乙BDC=36.87°,

在△BCD中，ZC=90°,80=10米，

CD

cosZ-BDC=丽，

.%CD=BD-cos36.87°«10x0.80«8米，

即CD的长约为8米；

(2)解：•••力0=17米，CD=8米，

:.AC=y/AD2-CD2=15米，

在△BCD中，zC=90°,BD=10米,

BC

vsinz.3DC=

•••BC=BD-sin36.87°«10x0.60x6米,

第12页

:.AB=AC-BC=15-6=9米，

•••模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到。点,

模拟装置从A点下降到8点的时间为9+2=4.5秒,

即模拟装置.从4点下降到B点的时间为4.5秒.

23.为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机拍取了m名学生

进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷.将调查结果绘制成如卜.统计图，请你根据图中所提

供的信息解答下列问题.

喜爱四项球类运动人数喜爱四项球类运动人数

、人数条形统计图扇形统计图

90

80

70

60

50

40

30

20

10

（1）求血=，并补全条形统计图.

（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？

（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队.请用画树状图或列表的方

法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率.

【答案】（1）解：m=44+22%=200（名），

喜欢乒乓球的人数；200—44—16—88=52（名），

补全统计图：

喜爱四项球类运动人数条形统计图

90

80

70

60

50

40

30

20

10

堂别

篮球足球乒乓球羽毛球A

故答案为：200；

（2）解：1200x益=312（名），

答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名:

（3）解：画树状图得：

第13页

开始

甲乙丙丁

/1\小/N/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

♦,•一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，

・••恰好选中甲、乙两名同学的概率为/=£

1Zo

【解析】【分析】（I）利用喜爱篮球的人数除以占比即可求出m,然后用总数减去其它组的人数求出喜欢乒乓

球的人数，补全条形统计图即可；

（2）用1200乘以最喜爱乒乓球的学生的人数占比解答即可；

（3）画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题.

（1）解：m=44+22%=200（名），

喜欢乒乓球的人数；200-44-16-88=52（名），

补全统计图：

喜爱四项球类运动人数条形统计图

90

80

70

60

50

40

30

20

10

篮球足球乒乓球羽毛球

故答案为：200；

（2）解：1200x盖=312（名），

答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名;

（3）解：画树状图得：

开始

甲乙丙丁

小/N/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•••一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，

・・.恰好选中甲、乙两名同学的概率为4=幺

izo

24.如图，48,CO为0。的直径，点E在的上，连接点G在80的延长线上，AB=AG.^EAD

第14页

乙EDB=45°.

AC

/\/

G'

E

（1）求证：4G与O。相切；

（2）若BG=4V5,sinz.DAE=/求DE的长.

【答案】（1）证明：・••△ED8,4区48所对的弧是同弧

:.乙EDB=Z.EAB>

•••^EAD+Z-EDB=45°,

•••^EAD+Z-EAB=45°,

即484。=45°,

48为直径，

.・.^ADB=90°,

Z-B=180°一乙ADB一Z.DAB=45°,

vAB-AG»

:.乙B=Z.G=45°»

•••Z.GAB=90°,

•••4G与。。相切.

（2）解：连接CE

•••所对的弧是同弧，

:.Z.DAE=Z.DCE»

vDC为直径，

•••乙DEC=90°,

在RtaDEC中，sinZ-DCE=sin^DAE=1

•••BG=4V5,=45°,Z.BAG=90%

第15页

AB=^BG=2^10=DC^

DE=DCsin^DAE=2x/10x|=^2.

oJ

【解析】【分析】(1)根据圆周角定理、直径随队的圆周角是直角得到NG4B=90。，即可证得到结论；

⑵连接CE,即可得至的4”=5出404£=卜盖，然后得到AB=DC,根据正弦计算解答即可.

(1)解：•.•”08,4及48所对的弧是同弧

:.乙EDB=Z.EAB,

•••LEAD+乙EDB=45°,

...AEAD+Z.EAB=45°,

即4=45°,

•••48为直径，

•••Z-ADB=90°,

•••乙B=180°-4ADB-4DAB=45°,

AB=AGy

:.Z.B=Z.G=45°,

:./.GAB=90°,

•••4G与。。相切.

(2)解：连接CE

•••N£ME,NOCE所对的弧是同弧，

Z.DAE=Z.DCE,

•••OC为直径，

乙DEC=90°,

1DF

在R£ZkDEC中，sinZ-DCE=sinz.DAE=

•••BG=4底乙B=45°,^BAG=90%

:.AB=^BG=2yf^=DC,

乙

•••DE=DCsinZ-DAE=ZvTlOx1=雪旦

25.如图，抛物线、=。/+6%+39/0)与*轴交于点4(一3,0)和8(1,0),与y轴交于点C.连接AC和

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BC,点P在抛物线上运动，连接力尸，8P和CP.

备用图

(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；

(2)点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中(点P与点A,C不重合)，作点P关于x轴的对称点

Pl，连接力P1，"1，记△ACP1的面积为S1，记的面积为另，若满足S1=3S2，求的面积；

(3)在(2)的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q,使得ZCPQ=45。？若存在，求出点Q的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：将点4(一3,0)和8(1,0)代入抛物线可得：匕3,

IU—Q十。十J

解得

则抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3,

Vy=-x2—2x+3=—(x+l)2+4,

・•・该抛物线的顶点坐标为：(-1,4).

2

(2)解：*：y=-x-2x+3t，点C(0,3),

设点P(m,-巾2-2m+3),则点Pi(?n,m2+2m-3),

设直线AC的解析式为：y=kx+b,

则｛0=；3\+4解得：'

；・直线4c的表iA式为：y=x+3,则点+3),

同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y=(-m-3)x+m+3,

如图：连接PPi交力C于点E,设直线P8交y轴于点D,则点D(0,m+3),

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113

则XPEXX3X+32(zm2m+

==一

2-1•2--2k--

同理可得：S?=xCDx—Xp)=2(3——3)(1—m)=@Si=32(一-m+6)，

；q(3-m-3)(1-m)=；x,(-祖2_巾+6),解得：m=V5(舍去)或一百

.••点P(—值，2百)，

.・.△4BP的面积为:xxyp=1x(1+3)x2V3=4g.

(3)W：存在，理由如下：由(2)知，P(-V3,2V3)；

由点C、P的坐标得，PC=372-76，

当点Q在点C的上方时，则，CPQ=45°,

由点C、P的坐标得，tan4PCQ=2—V5,

如图：过点Q作Q41PC于点H,

■:乙CPQ=45°

：.PH=QH,

设C4=x,

・••绍=2—百，即郎=2-6，解得：Q〃=（2—百）%,

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：.PH=QH=(2-V3)x

/.PC=3V2-V6=PH+CH=(2-V3)x+x,解得：x=V2：

.・.CH=x=V2,QH=V2(2-⑹，

:・CQ=y/CH2+QH2=2V3-2,

・・・OQ=3+2百-2=2V5+1,

・•・即点Q(0,275+1)；

当点Q(Q')在点C下方时，

同理可得：CQ1=6-2>/3,

・••点Q’(O,2再一3);

综上，Q(0,2g+1)或(0,2遍一3).

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数表达式，化成顶点式得到顶点坐标;

(2)先求出直线AC的解析式，设点P(m,-m2-27九+3),则点P](7n,7n2+2/n-3),点E(7n,m+3),然

后表示即可得到关于的方程，求出值即可;

S,S2,mm

(3)当点Q在点C的上方时，则，CPQ=45。，利用正切求出CQ长，即可求解；点Q(Q')在点C下方时，同

理可解.

⑴解:将点4(-3,0)和8(30)代入抛物线可得:

0=9"3b+3，解得:｛£二

0=Q+b+3

则抛物线的表达式为：y=-X2-2X+3,

Vy=-X2-2X+3=-(x+l)2+4,

・••该抛物线的顶点坐标为：(-1,4).

(2)解：Vy=-x2—2%+3»

・••点C(0,3),

设点P(m,-mz-2m+3),则点Pi(m,m2+2m-3),

设直线AC的解析式为：y=kx+b,

则｛°=3一工b,解得：｛忆:

・,・直线4c的表达式为:y=%+3,则点E(m,m+3),

同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y=(-m-3)x+m+3,

如图：连接PPi交AC于点E,设直线P8交y轴于点D,则点D(0,m+3),

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113

则XPEXX3X+32(zm2m+

==一

2-1•2--2k--

同理可得：S?=xCDx—Xp)=2(3——3)(1—m)=@Si=32(一-m+6)，

；q(3-m-3)(1-m)=；x,(-祖2_巾+6),解得：m=V5(舍去)或一百

.••点P(—值，2百)，

.・.△4BP的面积为:xxyp=1x(1+3)x2V3=4g.

(3)解：存在，理由如下：

由(2)知，P(-75,2百)；

由点C、P的坐标得，PC=3V2-V6，

当点Q在点C的上方时，则NCPQ=45°,

由点C、P的坐标得，tan乙PCQ=2-H，

如图：过点Q作Q〃_LPC于点H,

■:乙CPQ=45°

：.PH=QH,

设CH=%,

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:端=2-6,即铝=2-6，解得：QH=（2-V3）x,

:・PH=QH=（2->/3）x

：.PC=3V2-V6=PH+CH=（2-\/3）x4-x,解得：x=或：

***CH=x=y/2,QH=y/2（2—V3）»

:・CQ=y/CH24-QH2=2V3-2,

・・・0Q=3+275-2=275+1,

・•・艮|J点Q（0,2百+1）；

当点Q（Q'）在点C下方时，

同理可得：CQ1=6-2V3，

••・点。（0,26_3）;

综上，（?（0,2百+1）或（0,275-3）.

26.在△48C中，AC=BC,/4CB=120。，点D是48上一个动点（点D不与A,B重合），以点D为中

心，将线段DC顺时针旋转120。得到线DE.

（1）如图1,当乙46=15。时，求4BDE的度数；

（2）如图2,连接BE,当0。V/ACO<90。时，乙48E的大小是否发生变化？如果不变求，乙48E的度

数；如果变化，请说明理由；

（3）如图3,点M在CD上，且CM:MO=3:2,以点C为中心，将线CM逆时针转120。得到线段CN,

连接EN,若4C=4,求线段EN的取值范围.

【答案】（1）解：'：AC=BC,^ACB=120°,

1800-Z-ACB1800-120

Z.A=乙B==30°,

22

'：Z-ACD=15°,

：.^BDC=^ACD+z/l=30°+15°=45°,

•・•以点。为中心，将线段DC顺时针旋转120。得到线OE,

:.乙CDE=120°,

:•乙BDE=Z.CDE-Z.BDC=120°-45°=75°；

（2）解：乙48E的大小不发生变化，^LABE=30°,理由如下:

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如图，连接CE交8。于点。,

图2

,/以点。为中心，将线段0C顺时针旋转120。得到线0E,

：.^CDE=120°,CD=DE,

180°-zCDE180°-120°

工乙DCO=乙DEO==30%

22

由（1）得乙48c=30°,

Z.DEO=乙ARC,

又•；（BOC=乙EOD,

△BOC〜XEOD,

.OC_OB

•.砒=挑'

.OC_OD

,tOB=OE，

■:乙COD=乙BOE,

△CODs匕BOE,

：,Z-OBE=Z-DCO=30°,即44BE=30。；

（3）解：如图，连接CE,过点C作CH148于H,过点。作OG_LCE于G,

由（1）得乙4=CB=30°,

9：CHLABfAC=4,

；・CH=^AC=2，

•・•以点。为中心，将线段。C顺时针旋转120。得到线OE,以点C为中心，将线段CM逆时针转120。得到线段

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CN,

：.^LCDE=Z.MCN=120°,CD=CE,CM=CN,

设CD=DE=5x,

'：CM\MD=3:2,

・"M=CN=^CD=3x,

VzCDE=120°,CD=CE,

180°-^CDE180°-120°

，乙DCO=乙DEO==30%

VDG1CE,

•-DG=\CD=|x.CE=2CG,

在/?£4。06中，由勾股定理得CG='CD?_DG?=呼

:・CE=5岳，

VzDCE=30°,Z.DCN=120%

/.zFC/V=120o-30o=90°,

在RMECN中，由勾股定理得EW=C*+C*,

2

••EN2=（55/3x）+（3x）2_84%2,

解得：EN=2&Wx或EN=-2V21X（舍去），

丁点。是48上一个动点（点。不与A,B重合），

：.CH<CD<AC,