一模常考选填压轴题（12大考点）解析版-2025-2026学年九年级数学上学期（沪教版）

一模常考选填压轴题（12大考点）

考点归纳

考点01根据特殊三角形求解

考点02根据相似三角形求解

考点03根据平行关系求解

考点04根据数量关系求解

考点05角度问题

考点06翻折问题

考点07新定义题

考点08重心性质的综合应用

考点09相似三角形选择题综合辨析

考点10圆一根据位置关系求参数或其范围

考点11圆一圆中的动态几何问题

考点12圆一圆的综合应用

考点专练

考点01根据特殊三角形求解

1.：2025・上海•二模）如图，ZUBC中，Z^CB=90°,4C=6,,4。=8.点。在边C8上，将dCQ沿着力。

翻折至△彳CO的位置，射线CD交线段于点E.当是等腰三角形时，△力。£的面积为.

【答案】16石-32或（

【分析】当DE=BE时,过点£•作EFJ.BO于人过点。作。G18E于G,利用勾股定理可得力8=10,

43

解直角三角形得到sinB=,cos〃=M；设8〃=3x,BD=6x,则CO=AC—4。=6—6x；可求出昭二5x,

EF=4x,AE=l0-5x；由折叠的性质可得力C'=4C=8,CD=CD=6-6x,ZC=ZC=90°,则

C,E=C,D-DE=6-\\x.由勾股定理得（10—5x『=g2+（6—llxf,解方程可推出月。=2,AE=y,贝lj

1/62

Q1'（J

DG=BDsinB=~,即可得到S）.=Z）G=三；当=时，过点D作DH上BETH,设

523

BD=BE=5y,则CO=8C-4。=6—5y,AE=AB-BE=\0-6y；解直角三角形得到

DH=BDsinB=4ytBH=BDcosB=3y,则HE=BE-BH=2y,由勾股定理得

DE=y/DH2+EH2=245y»类似可得（lO—Sy）?=8?+（6—5y—2与丫，解得yJ"；"或y=0（舍去）,

再根据5&f小=3力£。〃计算求解即可；可证明NZ)E8=N8+2NA4O>/8,则。£工，据此可得答案.

【详解】解：如图1所示，当DE=BE时,过点、E作EF上BD于F,过点。作。G18E于G,

C

•.•在△48C中，ZJCT=90°,BC=6,AC=8,

-AB=y]AC2+BC2=10»

AC4BC3

:.sinB一,cos4

~AB5~AB~~5

•:DE=BE,EFtBD,

BD=2BF,

设6/=3x,BD=6x,^CD=BC-BD=6-6x；

BF

在RtZ^BfiT7中，BE=------=5x,

cosB

；.EF=BEsmB=4x,AE=AB-BE=10-5x；

由折叠的性质可得4C'=/C=8,CD=CD=6-6x,NC'=NC=90。，

.'.CE=CD-DE=6-\\x；

在Rt^AC'E中，由勾股定理得AE2=AC-+C'E2,

.•.（i0-5x）2=82+（6-ilx）2,

解得x=g或x=0（舍去），

25

BD=2,J£=y,

8

在力G中，DG=BD^nB=~,

1_20

：&cADE=34E‘DG=r；

2/62

如图2所示，当BD=BE时,过点。作。〃_L4E于〃，设BD=BE=5y,

在中，DH=BDsinB=4y,BH=BD-cosB=3y,

：.HE=BE-BH=2y,

在RlZXOE”中，由勾股定理得Z)E=JQ〃2+E，2=2⑥，,

由折叠的性质可得4。'=力。=&CD=CD=6-5y,ZC=ZC=90°,

••.CE=CD-DE=6-5y-20,

在RtZ\4C'E中，由勾股定理得力£2=力。，2+。工2,

.••(10-5^)2=82+(6-5y-25/5^)\

解得尸川一；石或y=0(舍去)，

S〉ADE~5，E,DH

=1-(10-5y)-4y

=20.y-10/

=20x小拽7Ox］吐吗

5I5J

=1675-32;

由折叠的性质可得^ADC=ZADE,

•••/DEB=ZBAD+ZADE,ZADC=NB+NBAD,

:.NDEB=NB+2/BAD>NB,

:.DEHDB；

20

综上所述，ZUO七的面枳为1&/5—32或3■.

on

故答案为：16#>-32或7.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，解直角三角形，利用分类讨论的思

3/62

想求解是解题的关键.

4

2.（21-22九年级下•上海浦东新•期中）如图，在梯形N8CO中，AD^BC,AB=CD=5,sin5=-,点、E是

J

腰C。上的一点且。。=4。£,当是直角三角形时，则边的长为.

AD

【分析】以点4为原点，4c所在的直线为x轴，构建平面直角坐标系，分别过点4D,£作力少18c于点

F,DG工BC于点G,E卜LLBC于点H,得四边形力QGb为矩形，易得4F=DG=4,BF=CG=3,根据HL证

CEEHCH

RtMBFwRt丛DCG,得BF=CG,再证△CE"〜△COG,W—=—=—，由CQ=4Q£,得EH=3,

ADDGCG

93

CH=1设点。（x,4）,则点E（x+：,3）,当是直角三角形时，分情况讨论求解即可.

44

【详解】解：如图，以点8为原点，〃。所在的直线为x轴，构建平面直角坐标系，

•MDIIAC,AB=CD=5,

•••梯形48co为等腰梯形，

分别过点力，D,E作AELBC于点F,QG18C于点G,EHtBC于点、H,

：.Z.AFC=Z-DGB=Z.FAD=90°,

•••四边形">G尸为矩形，

:.AD=FG,AF=DG,

又AB=CD,

:.RiAABF三RiADCG（HL）,

••.BF=CG,

4

-：AB=CD=5s\nB=-,

t5

.­.JF-DG-4,

由勾股定理，得8P=CG=3,

•：DG上BC于点G,EH1BC于息H,

:•乙DGC=^EHC=90。,

.•.△C£〃〜△CQG,

CEEHCH

"7D~~DG~~CG,

•心=ADE,

4/62

EHCH3

二---=----=—，

434

9

•••EH=3,CH=一，

4

3

设点。(x,4),则点EG+-,3),

4

.4

vsin^=—,

5

乙琼90°,

当4E=90。时，则力£2+4^2=£夕2,

33

•••(x+--3)2+12+52=(x+-)2+9,

44

解得产蔡，

『番3=普|

当/4后/1=90。时，则AE2+EB1=AB~，

33

(x+--3)2+12+(x+-)2+9=52,

44

解得x尸三也L或打=土质(舍)

4~4

.3=3+2万.3=2历-9,

44

故答案为：［或哗2

124

D

D

:

n

A

BGHCX

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，平行线间距

离处处相等，注意直角三角形要分情况讨论，建立平面直角坐标系解决问题是关键.

3.（2024•上海杨浦•模拟预测）如图，正方形44。。中，48=4,£为边4。的中点，点产在力£上，过点/

作分别交边力4、DC于点、M、N.连接产C,如果△EVC是以CN为底边的等腰三角形，那么

FC=

5/62

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通

过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.延长力E0c交于点4,过点尸作FHLCD于H,易证

△48£gA4CE（AAS）,得出力8=HC=4；利用勾股定理求出力E的长，进而得出sinN4.利用互余角的三

角函数的关系，得出cos/2,在RtZMTZN和中利用cos/2的值列出方程，即可求得结论.

【详解】解：延长力后，QC交于点4,过点广作FHLCD于H.

AB=BC=4,AB//CD,

Z1=.

在一8E和△4CE1中，

Zl=NA'

Z.AEB=NA'EC.

BE=EC

.,.△ABE知ACE(AAS).

.•.48=HC=4.

•・•£为边8c的中点，

：.BE=EC=-BC=2.

2

-AE=>IAB2+BE2=275•

6/62

...sinZ1=^=V5.

AE5

sinZ.A'=^-

5

VAE1MN,

ZA,FN=90°.

.•.4'+N2=900.

二ccsZ2=sinZ.A'--

5

,:FN=FC,FHLCN,

:.NH=CH=>CN.

2

设M7=x,则NC=2x.

.♦.4N=4C+NC=4+2x.

在中，cosZ2=—=—

FN5

•••FN=45x.

在RS4尸N中，cosZ2=—=—,

A'N5

,&_y/5

••--------------.

4+2x5

4

...x=一

3

:.FC=FN=&=*M.

故答案为：jV5.

考点02根据相似三角形求解

4.（2025•上海闵行一模）在等腰△/IBC中，AB=AC,4。是边8c上的高，将线段力。绕着点。逆时针

FF3DF

旋转，点力旋转到点E£。与边46交于点尸，且三：=?，如果△/!修与△。心相似，那么多的值

DF2AB

为■

【答案】巫

4

【分析】过点。作。G_L/1Ef-点G,交力87点〃，先判断出/£4尸得△力"s△OA尸，由相似三角

形的性质得丝二丝，结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得由相似三角

7/62

形的性质得竺=上头="，设E/=3a,DF=2a,则4Q=DE=5。，—=—DHBF2a

—，一=—，整

AFFDADAF2a5a3aAF

2

理律力/=AFBF=6a»化筒省色£=土二=2,设FH=2b,BF=3b,可得7b3=4/,即

BF6a23

可求解.

【详解】解：过点。作。GJ_4£于点G,交4B于点H,

NE4F+NB4Dv90°,

vADIBC,AB=AC,

ZB+ZBAD=90°,

/BAD=/CAD,

AEAF<Z.B,

•SFD=NAFE,与△。尸8相似,

:."EFSADBF,

;.NE=/B,

EF=AF

BF~DF'

.BFDF

"'EF~^F'

由旋转得：DE=AD、

ZE=/DAG,

NFDH=Z.ADG,

...NO力G+N8XO=90。，

ZDAG+ZCAD=90°,

NC4E=90。,

NCAE=/DGE=附,

DG//AC,

ZBAD=Z.CAD=ZADG,

NBDH=ZC,

...£B=ZBDH,

8/62

4FDH=/BAD,

/.BH=DH,

AH=DH=BH=-AB,

2

ZDFH=Z.AFD,

:HDFHS“FD,

DFFHDH

,~AF~~FD~^D'

FE3

,~DF=2'

..•设Eb=3a,DF=2a,

则力。=QE=5a,

.2aFHDH

一方一五一-^-'

BF_2a

3aAF

AFFH=4a2,

AF-BF=6a2»

.FH4/2

一而一才一5'

:.议FH=2b,BF=3b,

;.BH=FH+BF=5b,

:.AB=2BH=10b,

DH=AH=5b,

AF=AH+FH=lb,

•••:b-2b=46,

解得：a=^-b（负值已舍），

2

0呵L

.AD5a后,

,下一丽-~10b~~

故答案为：巫.

4

【点睛】本题考查r旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形

的性质进行求解是解题的关键.

5.（2024・上海杨涌•三模）如图，已知在△48。中，AD1BC,垂足为点。，BD=AD,tanC=3,点£、

户分别在边力8和力C上，分割成两个小三角形，。/将RtzX/4C。分割成两个小三角形，如

9/62

果RtAJCD分割成的两个小三角形与Rt^ABD分割成的两个小三角形分别相似，那么—的值是

【分析】设〃，根据题意可得ND48=NQ84=45。，AD=3a,AB=J□力？+心=3区,意而确定DF

平分ZADC,即NADF=NCDF=45°,

设NE=x，则4^=3也/—X，分两种情况：①当//。E=/。4，时；②当N8OE=/D4/时，分别求解即

可.

【详解】解：设CZ)=%

•.•在△/BC中，AD1BC,BD=AD,tanC=3,

AHjn

.-.3=tanC=——=——,NADB=/ADC=9。。,ND4B=NDB4=45。，

CDa

AD=3a,

BD—AD=3a,

AB=>]BD2+AD2=小(3力+(3"=3"z，

••・。£将分割成两个小三角形，。尸将为△力。。分割成两个小三角形，RS/1C。分割成的两个小

三角形与Rt△力6。分割成的两个小三角形分别相似，

Rl△4C。分割成的两个小三角形都有一个角为45。，

.♦.。/平分/4。。，即N4O/=/8尸=45°,

设/E=x，则8£=3&"x，

①当乙=/时，

.・.DE//AC,

:*AD=NFDA=45。,

:.AE〃DF，

•••四边形产是平行四边形，

DF=AE=x,

vZADE=NDAF,ZEAD=Z.FDA=45°,

:.^ADE^/XDAF,

•••ZAED=/DFA,

:"ED=ZDFC,

10/62

•••NEBD=ZFDC=45°,

i.△EBDsRFDC、

EBBD

FDDC

x

解得…手。

经检验，］=述4是原方程的解且符合题意,

4

・•.AEW

4

逑

/.AE_~^~a_\；

AB~3况~4

②当N3OE=ND4/时,

•.•ADBE=/ADF=45。，

△BDEs/XDAF,

:./BED=/DFA,

BEBD3ar

DFDA5a

:.ZAED=NDFC,

•；ZEAD=NFDC=45。,

:.h.AED〜△DFC,

AEAD

'~DF~~DC'

x3a

3\[2a-xa'

解得：x=°五a,

4

经检验，％=述。是原方程的解且符合题意,

4

11/62

39&

••AE=----u9

4

972

：.AE3；

AB~3况-4

综上所述，差AF的值是1:或7:.

AB44

故答案为：例.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，等边对等角，平行四边形的判定

和性质等知识点.掌握锐角三角函数的意义及相似三角形的判定和性质是解题的关键.

考点03根据平行关系求解

2

6.12025・上海•模拟预测)如图，在RR/1C8中，/4C8=9(T,4C=2,lan8=5.点。、上分别在边力C、CB

上，连接。E,ACDE=3G.将ACOE绕边的中点。旋转得到三角形△尸G”,点尸、G、H分别和点

C、。、£对应.若尸G和△48。一直角边平行，且△R7H的一个顶点在边力8上，则C£t的长为.

6石-6成18石-12

【答案】

【分析】本题考查图形的旋转，利用图形旋转的性质，结合直线平行的性质，三角函数等即可求解.先求

出8C的长度.①当FG〃BC,G任AB卜时，设FG和交于N,尸G和/C交于/>.设CE=FH=k,表

jpPG

示出其他边长，根据几何关系表示出4P，PG,利用“4AC得到大=*,代入即可求出比即CE的长;

ACCo

ADnr

②当/G〃4C,尸在48上时，E和G重合，。和〃重合，四边形C0•。是矩形，根据。尸〃4C得嘿=芸

ACCB

即可求解.

2

【详解】在M△4CB中，44cB=90、AC=2,tanB=-,

3

12/62

AC22

tanDn===—

BCBC3

:.BC=3.

①当/G〃8C,G在48上时，设FG和。E交于N,"G和力。交于尸，如图:

,:FG〃BC,BC1AC,

：.FGYAC,

・••ACDE绕边DE的中点O旋转了90°,

HGA.DE,

由旋转的性质，若设CE=FH=k,

则CO="G=JJk，DE=Gif=2k,OE=OD=OG=O/f=k,

在RtzXOGN中，ZOGN=30。,/NOG=90°,

"OGk2r-

•・NG=--------=­；=•=------Kv3.

cos30°V?3»ON=­k>

—3

2

C⑸即3也

:.DN=OD-ON1----k=---------k,

33

在RtaDPN中，4DN=30。，

：.PN=-DN=^^-k,DP=—DN=

262232

立二1”二1里左，

■-CP=CD-DP=>/3k-

22

ai，

-AP=AC-CP=2-^^-kPG=PN+NG=^^-k+—k=^^-k.

2632

PG//BC,

竽喑即,解得女=巫心

2

5

25

3罕

②当FGHAC,尸在AS上时.，如图:

13/62

A

-FG//CD,FG=CD,

四边形CE/*是平行四边形，

X-.ZC=90°,

四边形CEFO是矩形.

若议CE=DF=k,

贝|JCO=M=®,AD=AC-CD=2-y[3k，

ti]DF//BC,得当=竺，即2二向

ACCB23

故答案为：w或电2

7.（2023•上海虹口•模）如图，在。中，AB-AC-5,tan8=g,点M在边3。上，BM—3、点N

是射线比1上一动点，连接MN,将△8WN沿直线翻折，点8落在点"处，联结8'C,如果？C〃48,

那么8N的长是—.

【答案】6

【分析】本题主要考查了三角形折叠与解直角三角形，过屈点侑MG_L*C,FM±AB,_LAC垂足分

39

别为尸、G、H,由44=4。=5,tanB=-,求出4/=3,BH-CH-4,FM=BM-sinZ.B=—,

45

1Q

「WG=CMsinN8C8'=3,得出/、M、*三点在同一直线上，进而可得FN=FB',tanNFBR=1,再求

5

14/62

FM12

出8尸=------=—,由BN=BF+FN=6解题.

tanZ.B5

【详解】解：过必点作MGJ_ZTC,FM1AB,力〃_L8C垂足分别为尸、G、H,

设AH=3xt

3

vtanB=-,AHIBC

4

：.BH=CH=4x

'：AB=AC=5,AH2+BH-=AB'>

••.(”)2+(4X)2=52,解得X=l,

.\AH=3,BH=CH=4,

.3

sinBD=—,

5

•••FC"AB,

："B=NBCB',

vW=3,

••.CM=5,

39

:.FM=sinN8=3x2=—，

55

3

MG=CMsinNBCB'=5x-=3,

5

•:MB=MB'=3,

=即"与G点重合，

•••尸、〃、8'三点在同一直线上，

924

.•.FB'=FM+MG=-+3=—,

55

由折叠可知：4FB'N=4B,

.-.F/V=W-tanZraW=—x-=—,

545

DL五M9312

•?BF=--------==——.

tanNB545

15/62

:.BN=BF+FN=—+—=6,

55

故答案为6

【点睛】本题涉及了解三角形、折叠性质、等腰三角形性质、勾股定理等，解题关键是通过计算点M到*C

的距离等于8时得出尸、M、9三点在同一直线上.

考点04根据数量关系求解

8.(25-26九年级上•上海嘉定•期中)如图，在等腰直角△48。口，ZC=90°,力。=4,点。为射线。上

一动点，以4。为腰且在力。的右恻作等腰直角4。9=90。，射线44与射线产。交于点E,连接

BF.若AB=2BE,则CD的长为.

【答案】CZ)=3+V17

【分析】分点。在C8上和点。在C8延长线上两种情况进行分类讨论，利用相似三角形的性质及勾股定理

建立方程，解方程即可得答案.

【详解】解：当点。在线段5。上时，

•.•等腰直角△川寅？中，ZC=90°,AC=4,

二力8=岳。=4&，

•••AB=2BE,

•*-AE=BE=25/2，

设CO=x，则力。=J，c2+O)2=J16+—,

在RIA/IOE中，DE2=AE2-AD2=8-(16+X2)=-8-X2<0(不符合题意),

.••点。不在线段8c上；

当点。在线段C2的延长线上时，如图，过点E作EH1CD于〃,

16/62

设CO=x,

•••AB=472.AB=2BE,

•••BE=2>/2，

-ABC和△力。尸是等腰直角三角形，

.•.ZJ£>F=ZJDE=90°,NABC=NBDE=45。,

••.△BE"是等腰直角三角形，

'Bfl=EH=—BE=2,DH=CD-BC-BH=x-6,

2

•••ZADC+NCDE=90°,/DEH+4CDE=90°,

：.ZADC=ZHED,

•；NC=NEHD=90。,

:.“CDs^DHE,

ACCD4x

：.-----=,LlIlJn-------=—,

DHEHx-62

整理得/-6x-8=0,

解得x=3+Ji"7（负值舍去），

经检验，x=3+J万是分式方程的解，

.­•CE>=3+V17.

故答案为：3+V17

【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、解分式方程及

勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

9.（2025•上海•模拟预测）△4?。中，404=90。，sin8=|.点。在边4c上，取射线4。上一点P,将

△RP8沿直线力。翻折至△4P8'的位置，延长8'P交边48于点F,射线8/交边8。于点£若DE二BC,

4

且点C在边月牙上，则线段BE与线段PF长度的比值为.

57217

【答案】

【分析】连接设力。=3%根据正弦的定义和勾股定理可得48=5%BC7AB「q=4a，由翻折

17/62

的性质得"必'0”尸4,得到N8%尸=N8",AB'=AB=5a,进而得到"8'£)0“4。，得到4'。=8。，

设CD=m,在RtZ\*CO中利用勾股定理解出〃?的值，表示出8和80,根据题意对点E的位置分2种情

况讨论：①E在点。左侧；②E在点。右侧，分别过点尸作PM〃48'交8C于点”,过点尸作依〃8。

R'FPF

交4c于点G,交40于6，，再利用相似三角形的知识分别求出对应不方和▼的值，最后利用

PEPF

B'EB'EPE”「p〃，

而二左.而即可求解•

【详解】解：连接于。，

在RtZ\/8C中，sinZ.ABC==—,

AB5

设NC=3a,则48=5”，

/.BC=LB，-AC2=4a，

由翻折的性质得，"PBX"PB.

NB'AP=/BAP,AB'=AB=5a,

•・•点P在射线40h,

ZB'AD=/BAD,

又•.♦/£>=40,

;."B，*"BD（SAS）,

B'D=BD,

•••点C在边力8'上,4c8=90。,

/.B,C=AB,-AC=2a,N6'C0=9O,

设8=加，^BD=BC-CD=4a-m,

在"△8'CO中，B，C2+CD?=,

/.（2A）2+M=（4tz-w）2,

解得：/〃=T"，

35

/.CD=—a,BD=­a,

22

18/62

DE=-BC,

4

DE=—x4。=a：

4

①若E在点。左侧，则CE=C。-。E=

如图，过点?作PM〃力8'交8CT•点M,过点尸作尸G〃8c交/1C『点G,交/。丁点”,

PM〃AC,

5

；AFMDS"CD,4PMESABPE,

PMDMMEPMPE

"AC~CD'CE~B'C"B'E'

:.DM=—PM=-PM,ME=-PM=-PM,

AC2BfC4

-DM+ME=DE,

：.-PM+-PM=a,

24

4

解得：PM=-a,

.PEPM2

一而一击一"

B'E3

••一，

PE2

-FG//BC,

:AFGs/\ABC,AB'FGS&B'EC,

,AGFGB'GFG

"7C~~BC,~&C~~CE'

：/G=~FG=‘FG,B'G=dFG=4FG,

BC4CE

-AG+B,G=AB,,

:.-FG+4FG=5a,

4

19/62

解得：FG=—

•FG__5

,5C-19,

-FG//BC,

;."HFs“DB,AAFGS“BC'

.HFAFFG5

525

：.HF=—BD=—a,

1938

•.♦HF//DE,

.PE_DE_38

,~PF~~HF~25'

B'EB'EPE33857

-----=------------=—x—=—♦

PFPEPF22525

②若E在点。右侧，则CE=CO+OE=ga,

如图，过点。作PM〃力"交8CF点M,过点尸作尸G〃8c交力。丁点G,交4。于点〃，

同理①中的方法可得：祟;,需=隘，

PE2Pr125

,B'EB'EPE162_217

,PF=7F>7?=2"<-125="2?：

57217

，综上所述，线段8'E与线段尸尸长度的比值为五或商■.

故答案为：黄57或2黑17•

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、翻折的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握

相关知识点，学会添加平行线构迨相似三角形是解题的关键.本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构

造能力，适合有能力解决几何难题的学生.

1().(2023・上海•模拟预测)如图，在△48C中，//C8=90°,JC:^C=3:4,将ZUBC绕边上点。旋

20/62

转，点、A、B、。所对应的点分别是点。、E、F.如果C尸恰好是力。与AK的比例中项，那么

AO:OB=.

【答案】9:16或1:1

【分析】连接OC、过。作81用于由旋转得04=。。，0C=0F,OB=OE,

NAOD=/COF=NEOB.他AOAD^OCF,^OCF^OBE,得贮=史旭="，进而由c户恰好

CFOCCF0C

是,40与0E的比例中项得，OC2=OAOB,又证明△/O'CSACOZ得。C'ONO'B.从而证明OO'=O,

或。7?4-200=(),进而分两种情况讨论求解即可。

【详解】解:连接"、。打，过C作。±加于0'，

由旋转得。/=。。，OC=OF,OB=OE,NAOD=NCOF=/EOB.

OAOPOCOF

'~6c~~OF'~OB~~6Ey

△OAD^dOCF,eCFseBE,

，9=0①，四二丝②

CFOCCFOC

八公,日ADBEOAOBADBEOAOB

CFCFOCOCCF2OC2

•••CF恰好是AD与BE的比例中项，

：・CF2=ADBE‘

-OC2=OAOB,

•：81加，

:‘AO'AC+AACO=ZACOr+AO'CB=90°,ZAO'C=NB()C=90°,

：.N0'4C=NO'CB,

"O'CSACOB,

21/62

.--(7C2=O,AO,B,

-CO1加，

-oc2=oo>2+or2f

・•.OAOB=00,2+O'A.O'B'即+OO'^O'B-。。尸OO'2+ONOB,

•••OB-OO'-OfAOO'=2002,

，(。5-ON-20。)00=0,

(X)'=0,或0'4-0工-200'=0,

当。。=0,0、O',重合，

.-.OCLAB,

••力。：8。=3:4,

.•.设4c=3x,BC=4x,

•：/ACB=9b,

•••AB=J(3x)2+(4x1=5x,

•・•^ACB面积=-ACBC=-ABCO,

22

—x3xx4x=-x5xxCO,

22

“12

CO=——x

5

：.AO7AC?-CO?="CO=^BC2-CO2

:.AO:OB=9:16.

当07?—OX—2。。=()时，

•.•。4-0'4-2。0'=0,

.•。8-0。'=0力+00',

:.OB=OA,

：.AO.OB=\.\.

故答案为：9:16或1:1.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，因式分解及有理数的乘法法则，

掌握相似三角形的判定及性质是解题关键.

考点05角度问题

11.(2024•上海浦东新•三模)如图，在/MB。中，AC=BC=3f/C=90。，点。在边8c上(不与点8,

点C重合)，连接力。，点E在边上，ZED8=ZADC.已知点〃在射线力C上，连接交线段力。于

BE

点G,当CH=T,且N/iEH=NBED时,则一777=_____.

AB

22/62

A

【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质.根据点”在射线4ct,07=1,有以下两种情况:①当点，在线段4c上时,过点4作彳尸〃交

DE延长线「凡则力〃=2,过点D作DMJ.力尸f-M,证四边形4WZ)C为矩形得出M=CO,证

RF

△AEH注“EF(ASA),推出力〃=4，=2,再证AAEOS"",由此可得一的值：②当点”在4C的延

AB

长线上时，过点力作力尸〃8c交DE延长线于凡同理可得B写F的值.

AD

【详解】解：•••点〃在射线4C上，07=1,

二有以下两种情况：

①当点，在线段力C上时，过点力作力产〃8c交延长线于尸，过点。作OM_L"•于M,如图1所示:

图1

vZC=90°,

.­.ZFJC=1800-ZC=90°,

:./LFAC=ZC=N4MD=90°,

四边形4WOC为矩形，

AM=CD,

vAC=BC=3,CH=1,

.•.NB=NC4B=45。,AH=AC-CH=2,

•；&EH=NBED,NBED=NAEF,

•••ZAEH=NAEF,

•••AF//BC,

23/62

:•ZFAE=ZB,ZF=EDB,NFAD=ZADC,

.••NC48=/4E=45。，

：A4EH处AEFgk),

**-AH=AF=2,

vZF=AEDB,NFAD=/ADC,ZEDB=ZADC，

•••ZF=/FAD,

DA-DF,

:.AM=MF=-Af=\,

2

CD=AM=1,

：.BD=BC-CD=3-\=2,

•••AF//BC,

△BED0°AAEF»

BD_2

~AF=2

}_

2

②当点〃在力。的延长线上时，过点力作力/〃8c交。月延长线于G如图2所示:

同理可证：△AEH会“EF(ASA).CD=-AF,ABEDS^AEF,

2

BEBD

AH=AF=4,CD=—AF=2,

2~AE~~AF

.'.BD=BC-CD=3-2=\,

BEBDT

,~AE~~AF~\'

BE1

:.----=—,

AB5

故答案为：;或(.

考点06翻折问题

24/62

12.（2025•上海•二模）在矩形力8c。中//=2,41）=3.点、E、F、G分别在线段43、BC、AD±.,沿EF

翻折aBE厂得到△*£1"；沿EG翻折△ZEG得到AB'EG；点。和点尸关于过点G,交。C于点〃的直线对

称.则。〃的长为.

【答案】。或2

4

【分析】根据翻折的性质得到对应边相等，结合边的等量关系证得8£=力£,已知28的长，即可求解出8E

的长；根据矩形的对边平行，可得NGDF=NDFC,根据对称性得到/G。/=NG尸。，结合

NBFE+NEFB'+NGFD+ZDFC=180。等员代换4BFE+4DFC=900,进一步利用同角的余角相等证得

/DFC=NBEF、从而证明ABE广-△CFO,根据相似的性质可求得R7=1或八;=2,设则

FH=DH=x,HC=DC-DH=2-x,在R/AFCH中,分产C=1或"=2两种情况，根据勾股定理列方

程求解即可.

【详解】解：.••沿翻折aBE尸得到"名尸，