2025-2026学年北京市顺义区高三（上期）期末考试数学试卷（含答案）

2026北京顺义高三(上)期末

数学

第一部分(选择题共4。分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合4={x|%(x-2)<0},集合8={-,则AUB=

(A)(0,1)(B)(1,2)

(C)(-oo,2)(D)(0,+oc)

(2)在复平面内，复数Z二」一对应的点位于

1—1

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

(?)已知aZ?,ccR,旦贝lj

(A)a-c>b-\(B)a(c-l)>/?(c-l)

(C)7>—(D)ac>b

ba

ULW、LIU7TLIU

(4)已知向量A8=(z2,0),|AC|=4,<AC,A8>=一,贝lJ|8C=

3

(A)2步(B)2x/5

(C)4(D)2x/3

x27

(5)若双曲线二_21=1的渐近线方程为)，=±6戈，且过点(23),则双曲线的方程为

a

(A)人匕=1(B)

3

/>，2-1

(C)(D)--->'2=1

293

(6)已知{。“}是等比数列，若G-%=6,a4生=3,则a3-a5=

(A)4(B)8

(C)16(D)64

(7)在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间7=3og2Q(单位：秒)，其中。为常数，。是量

子比特的数量.已知当量子比特数量。从44个增加到2门个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数

量从2於个增加到Q个时,处理时间增加了20秒,则。=

(A)2,4(B)216

(C)2,8(D)223

(8)已知函数/(x)满足/(x)2。，则“单调递减”是“存在力＞0,对任意的工£R,均有

/(x+〃)</(x)+/(/?)”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(9)过直线/：x+)，—〃=0上的点P作圆O：/+),2=i的两条切线，切点分别为A,4,若△Q48的面积与

面积相等，则，〃的一个可能取值为

(A)4(B)25/2

(C)I(D)-3

(10)如图，在水平面上有两个单位圆3和。2，在

，=0时刻，质点甲从点A(人。|与水平面平

行)开始按逆时针方向在圆G上做匀速圆周运

动，质点乙从点B(8为圆4上的最低点)开

始按逆时针方向在圆。2上做匀速圆周运动，甲

转一周需要2兀秒，乙转一周需要兀秒.在/时刻,设质点甲的竖直高度为加，质点乙的账直高度为

屹，设〃(。=%,一坛,给出下列三个结论:

①万⑺在(。弓)上的单调递减

②若，«0,2冗],则加，)的最小值为-2

③若"R,则一♦的最大值为1

其中正确结论的个数为

(A)0个(B)1个

(C)2个(D)3个

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)在"-*)6的展开式中，丫2的系数为.

X

(12)已知点M(l,2)在抛物线C：)，2=2冲上.则点M到C的准线的距离为—

(13)将函数/(x)=sin(2x+])的图象向左平移。(。＞0)个单位长度，得到函数以外的弱象.记函数

G(x)=f(x)-g(x),若Gfr)=(),则。的最小值为;若6*)的最大值为2,则9的一个取值

为.

（14）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），£F=£4=3,A4=1,M,N分别在痔,/心上,

满足EM=NG=1,则几何体FM8A俗的体积为；\C=

（15）已知无穷数列｛册｝前〃项和为S“，若存在｛1,2,当iHj时,

S,=Sj,则称｛册｝为“平衡数列”.给出下列四个结论：

①已知数列%=3〃-8（〃wN*）,则数列｛%｝为“平衡数列”；

②若等比数列｛4｝为“平衡数列”，则公比为-1;

③若数列｛%｝和｛2｝均为“平衡数列"，则｛4+。｝为“平衡数列”；

④存在两个公差均不为0的等差数列｛%｝和｛〃“｝,其中数列｛%｝,也”｝，

｛4+2｝和｛〃也｝均为“平衡数列”；

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

己知函数/（A）=V3sin2x+cos2x.

（I）求/喂的值；

(U)设/)=/3cos2/'3。，/求g(x)的最大直.

（17）（本小题14分）

如图，在四棱锥，中，P4=AB=2,底面力是菱形，其中

4A0=120。.

（I）若正是棱上一点，平面性与棱PC交于点”，求证：EF//

CD；

（II）若F4_L平面A8C。，求平面RS与平面PCO夹角的余弦值.

（18）（本小题13分）

某高中举办“京剧脸谱体验展”，通过增强现实技术让学生沉浸式感受京剧文化魅力.为了解全校学生

的体验效果，研究团队在三个不同年级中各随机抽取HX）人作为样本，统计其体验时长，并通过问卷，调

查认知度提升效果.体验时长r（单位：分钟）分为三段CIO,0v/v5.各段人数及认知度显

著提升人数如下表：

人数体验时长体验时长体验时长认知度

年匆

/>105WZW100</<5显著提升

高一年缸55人30人15人70人

高二年级40人45人15人50人

高三年级25人30人45人30人

假设三个年级人数相同，以频率估计概率.

(I)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生为高二年级学生且体验时长/＞10的概率；

(II)从全校所有“认知度显著提升”的学生中随机抽取3人，记X为抽取的3人中高二年级学生的人数，

求X的分布列和数学期望；

(ill)假设学生的认知提升度只受体验时长的影响，且当‘'体验时长rwio”时，每个年级的学生“认知度显

著提升”的概率相等，当“体验时长”10”时，高一学生“认知度显著提升''的概率为小高三学生”认

知度显著提升”的概率为心；判断片，心的大小关系.(结论无需证明)

(19)(本小题15分)

已知椭圆£:£+E=l(。＞力＞。)的右焦点为尸(1,0),分别是E的左、右顶点，MB|=4.

a-lr

(I)求椭圆E的方程及离心率；

(H)过点尸且斜率为。0)的直线与椭圆石交于不同的两点P,Q，直线AQ与直线/：X=4相交于点N.

若若4|依|,求k的值.

(20)(本小题15分)

已知函数/(x)=(x+l)e，-2,直线/是曲线y=/(x)在点(aJ(a))(awR)处的切线.

(I)当a=()时，求直线/的方程；

(II)求证：函数“力有唯一零点;

(HI)记/(x)的零点为/，当直线/与工轴相交时，交点横坐标为不若为2%，求。的取值范围.

(21)(本小题15分)

已知数列A:%g，M.S》？)，定义数列A的伴随数列为8:伉也,也(〃22),其中

瓦二…：+q,ie{12,〃}.

记T(4)=max{《M2，,a”}一min{6，%，，，〃},7(3)=max{仿力?，也}-min体也，也},

其中，max"表示集合M中最大的数，min”表示集合M中最小的数.

(I)已知数列41,3,5,7,9,求r(A)和r(8)；

(H)若〃=10,=T(A)=20,%»4(ie{2,3,…,10}),求T(B)的最小值；

(III)若“2026,7(4)=2026,求7(3)的最大值.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)D(2)B(3)B(4)D(5)A

(6)C(7)D(8)A(9)C(10)C

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)60(12)2(13)兀，(e=Z冗+］答案不唯一)

(14),；730(15)

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(本小题13分)

解：(I)/(W)=Gsin?+cos?=&(-sing)+(-cos?)=一6.......5分

126666

(II)/(^)-cos2x=(x/3sin2.x+cos2x)cos2.x=73sin2ACOS2X+cos22x

下＞..1+cos4x5/3..1.1

=——sin4x+-------=——sm4x+—cos4x+—

22222

=sin(4.r+—)+—

62

71兀兀7K3

当xe0,-44x+—e所以sin(4x+J)e--A05

466'To2

所以g(x)的最大值为，此时r*.

.......13分

(17)(本小题14分)

(I)证明：连接EF、BF,

因为四边形A8CD是菱形，所以AB〃(:D

又因为CQa平面/WE/7,A8u平面AA印

所以C。//平面

又因为COu平面PCD

平面PCDc平面ABEF=EF

所以CD〃EF.......6分

(II)(法一)取BC的中点为"，连接A"

因为A8c。是菱形，ZBAD=\20°

所以A8=AC=8C

所以47J.BC,又BCHAD,所以A"JL4)

因为E4_L平面ABC。，

所以AH.AD,AP两两相互垂直.

如图建立空间直角坐标系。-人/z,

则40,0,0）,8（6,—1,0）,C（G』,0）,P（0,0,2）,£＞（0,2,0）

所以放=（0,0,-2），而=（6,一1,一2）

linn

nl.PAn-PA=0

设平面P48的法向量为〃=a,y,z）,则＜皿即〈

w±PBnPB=（）

-2z=0,

所以可得任—_z=o所以z=°，令i则y=_所以…，①。）.

又而=(一6』,0)，丽=(0,2,-2)

uuirnun

m1CDm-CD=0-VJx+y=0,

uuir即,inn所以

{m1PDm-PD=02y-2z=0.

令X=l,则>=6，Z=J5.所以zw=(1,J5,J5)

设平面B钻与平面PCQ的夹角为e,

则8S”|c°S(〃⑻卜精=+=乎.

........14分

（法二）取CO的中点为〃，连接AH,则A〃_LC£）,

又A8//C。，所以AH_LAB

因为Q4_L平面ABCD,所以小J_A8,.

所以A3,AH,AP两两相互垂直.

如图建立空间直角坐标系A7尸,

则40,0,0）,4（2,0,0）,C（l，V3,0）,P（0,0,2）,

Z)(-1，G,0).

所以万二（0,0-2）,~PB=（2,0-2）

ULTUU-

nLPA〃PA=0-2z=0,

设平面248的法向量为〃=（＜，y，z）,贝1卜uirHPuir所以

nlPBnPB=G2x-2z=0.

所以z=0,x=0,令y=l,所以"=(0,1,0).

____UK

又C力=(_2,0,0),夕。=(-l，A-2)

愣o

即

设平面PC。的法向量为m={x,），,z）,则,甥

所以《n个八所以x=o，令y=2,z=>/3.

—x+-2z=0.

所以/〃=(0,2,6)•

设平面与平面PCO的夹角为e,

则cos"18sg端=精=&=乎.

........14分

(法三)连接4C4。，则4C_L8O,设4Cc8D=。

因为E4_L平面ABC。，过。作外的平行线OM

则OM_L平面A8CO

所以OM±OB,OM±OC,OB±OC.

所以QM,OB,OC两两相互垂直.

如图建立空间直角坐标系O-xyz,

则0(0,0,0),4(0,-1,0),5(73,0,0),C(0,l,0),

P(0,-l,2),D(-V3,0,0).

所以9=(0,0,-2),AB=(73,1,0)

inruir

nYPAn-PA=0-2z=0,

设平面的法向量为〃=Ey,z),则，uir即<um所以，rr八

n工PBn-AB=()J3x+y=0.

所以Z=0,令X=l,则y=-G，所以〃=(1,一6,0).

又而=(-6,-i,o),ra=(-V3,i,-2)

ULMmin

mlCDm-CD=0

设平面PCD的法向量为"=(x,y,z),则，inn即«min

mlPDmPD=0

-\/3x-y=0,,,广_

所以令x=l,贝Uy=-z=-G

-vr3x+y-2z=0.

所以m-也).

设平面PAB与平面PCD的夹角为0,

则郎”即仍叫=犒=&=乎-.......14分

(18)(本小题13分)

(1)解：设从全校学生中随机抽取1人,该学生为高二年级学生且体验时长/>10为事件A,则A中

包含的基本事件总数”(4)=40,所有参与体验的学生总数为3(X)人，所以

/正纳=9=........3分

〃(Q)30015

(II)”认知度显著提升”的学生中高二年级的学生人数占比为f=；

1JV/J

所以X的所有可能取值为0,1,23

28I74

P—）:万，?（x=D=C苦丁

2211

C3

-=l/-

----一

39»32)x3

27

X0I23

-

9

p841

--

9

2727

所以X的数学期望EXWXW+1X±+2X2+3X-!-=1.................10分

279927

(!!!)[>匕.不妨设当“体验时长TW10”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等且

为q,则可得0.554+0.45g=0.7①，0.25/>+0.75^=03(2),由①得由②得

^).55

p:0.3—0.75，/所p尸：0。一0・4540.3-0.75g=4+120”0

0.25-'「2--535025---55->

P1>P2.................13分

（19）（本小题15分）

解：(I)由题意得彳2。=4解得〃=21=6.

b.-0=a2-c2

户\,2c1

所以椭圆E的方程为土+二=1,离心率6=上==.............5分

43a2

(II)设P(M，Y)，Q(如力)，凶4川)，又A(—2,O),A(2,O),4一上寸kAq=k

所以斐=C7，可得弘=47,即N(4,3R.

6X2+2X2+2x2+2

下证八及N三点共线.

所以脑一%二也一急»（电+2）-3），2（巧一1）

（XI-2）（^2+2）

口（1）

又直线尸。方程为y=Mx-l）,由？2得（3+4/b2一为2工+软2-12=0.

-----F--=I

43

8A24^-12

所以玉+工2=

3+4攵23+4M

所以①式的分子=封为-1)(々+2)-36应-1)(阳-2)

=攵[5(玉+x2)-2X)X2-8]

38&2c4%2—12c

=k(5------2--------8)

3+4左273+4女2

=0

所以kpB=kBN，可知P,8,N三点共线.

HLHl111z、

又|8N|=4|P3|,得BN=4PB，所以/-修=4(4-XQ

可得2=4(2-须)解得％=|代入椭圆E的方程得y=土叵

24

所以&=—二土冬.......

15分

再一12

(20)(木小题15分)

解：(I)直线/是曲线、=/(”在点•，/(〃))处的切线,

所以直线/的方程为y-f(a)=/'(a)(x"),又“x)=(.r+l)c*—2,

可知r(x)=(x+2)e"所以〃=0时，〃0)=-1,/(0)=2

所以，直线/的方程为)T-l)=2(x-。)即2x-y-1=0.........5分

(II)由(I)可知/'(x)=(x+2)e、，令r(x)>。可得％>-2,列表可得

x(-00,-2)-2(-2,+oo)

/'(X)-0+

/(X)单调递减极小值单调递增

当xe(-oo,-2),/(x)=(A+l)ev-2<(),此时函数/(%)无零点

当xe(-2,+oo)时，—单调递增,又/(0)=-1<0,/(l)=2e2-2>0

根据零点存在性定理，函数“X)存在唯一零点x°e(。」)........10分

(III)由(I)可知直线/的方程为y—/(。)=/'(。)(.5〃)，

因为直线/与x轴相交，且交点的横坐标为％，/'(a)=(〃+2)e“

所以，令，一0,当。工一2时，有分1一a-

f(a)

设时)…黑，则个=然沪.

,，/./(x)(x+3)

又[/,(x)]=(x+3)e，，所以〃(力二北才，1工一2

由(II)知户'(X)>。可得%或x<-3

列表可得

X~,-3)-3(-3.-2)(-2,%)(玉),+8

广㈤4-0——0+

尸")单增极大值单减单减极小值单增

当xv-2时,f⑶二3)=—3—斗：1v°v,,不满足玉2天