与圆相关难点综合题（7大题型）原卷版-2026学年九年级数学下册（沪教版）

与圆相关难点综合题（7大题型）

------------------目录

A题型建模•专项突破

题型一、连半径构造等腰三角形（难点）..........................................1

题型二、遇弦加弦心距（难点）...................................................4

题型三、遇切线，巧作过切点的半径（难点）......................................6

题型四、圆与三角形、四边形的综合（难点）......................................6

题型五、圆与函数的综合（难点）................................................11

题型六、动态问题（难点）......................................................13

题型七、圆与几何模型综合（难点）..............................................14

B综合攻坚•能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、连半径构造等腰三角形

1.（24-25九年级下•上海青浦•月考）如图，在OO中，长度为16cm的弦石尸与直径48交于点。，己知

BD=4cm,RAE-AF.

⑴求证：AD±EF：

⑵求。。的半径长.

1/30

2.（24-25九年级下•上海•月考）已知：。。的直径45=8,08与。。相交于点C,D,。0的直径C尸与

。8相交于点石，设03的半径为x,or的长为y,

⑴如图，当点E在线段OC上时，求y关于》的函数解析式，并写出定义域;

⑵当点E在线段C尸上时，如果。£的长为3,求公共弦CQ的长；

2/30

3.（22-23九年级下•上海•月考）如图，已知。。的半径长为3,点4是。。上一定点，点尸为。。上不同

于点A的动点,

⑵如果。。过点P、O,且点。在直线上（如图2）,设力。=%，QP=y,求y关于X的函数关系式,

并写出函数的定义域；

⑶在（2）的条件下，当tan”=时（如图3）,存在。“与相内切，同时与相外切，旦

4

OMLOQ,试求的半径.

3/30

4.（2025・上海松江•二模）已知18是半圆。的直径，。是弦力C延长线上一点.

图I图2备用图

⑴联结PO与半圆交于点。.

①如图1,如果点C是弧力8的中点，fitanP=1,PC=2y[2,求尸。的长；

②如图2,如果点。是弧4。的中点，且产力=夕。，求而的值.

⑵设"是弦4C的中点，如果以点力为圆心、4尸为半径的圆与。。相切，以点尸为圆心、为半径的圆

与直线4?相切，求sin/P/B的值.

4/30

5.（2025•上海浦东新•二模）如图1,川？和是半径为2的0。的两条直径，点P是历1延长线上的一

点.连接尸C交。。于点2（点£在线段PC上，且不与点尸、点。重合）.

⑴当尸。=?。时，求证：CO'CECP：

⑵连接OE,交半径04于点M,已知04=2.

①连接P。，如图2,当点“是△尸CO的重心时，求/80。的余弦值;

②连接3。、BE,当△8。后为等腰三角形时，求线段PE的长.

5/30

题型二、遇弦加弦心距

6.（24-25九年级下•上海•月考）如图，△49C的外接。。的半径为5,8c=8,点P为8C的中点，以点P

为圆心作OP,若OP与。。相切，则。尸的半径为.

7.（24-25九年级下•上海•月考）已知弓形的弦长为30,半径为17,那么弓形的高为.

8.（24-25九年级下•上海•月考）如图，在梯形力8c。中，AD/7BC,AB=CD,AD=2,BC=6,

cos5=1,点2在边力8上，以8P为半径的O尸交边8c于点E，当四边形PECO是一个等腰梯形，且。。

与。。有公共点时，则。。的半径长〃的取值范围是.

9.（2025・上海杨浦•模拟预测）如图，已知在中，48是。。直径，点。是力。的中点，点。是弧力8的

EF

中点，点E是弧80上一点，DE1CD,过点七作产交4B于点、F,那么工的值是___________.

10.（24-25九年级下•上海•月考）如图，已知点。是两个同心圆的圆心，大圆的弦力8与小圆交于点。、

D.

⑴求证：AC=BD-

（2）如果彳8=8,8=4,大圆面积是小圆面枳的3倍，求大圆半径的长.

6/30

11.（24-25九年级下•上海•月考）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面力8=274cm

（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为72cm（台面43与地面之间的距离），直线型支架PE与。尸

的二端E、尸与台面48下方相连，尸尸与。尸的下端尸、。接触地面，直线型支架CG与的上端C、D

与台面44下方相连，下端G、H与PE、相连，圆弧形支架G，分别与夕£、QF在点、G、，相连，且

Ar5

PCIAB,DQLAB,PE=QF,CG=DH,AC=BD,CE=DF,已知E斤=106cm,-=-

CE9

⑴求CG的长度.

（2）初所在的圆经过点夕、。时，求前所在的圆的圆心到台面力4之间的距离.

12.（2025•上海•模拟预测）如图，在“8C中，AB=AC,圆。的圆心在A/JBC内部，与18C的边顺时

针分别交于点石、。、F、G、MM（点E在线段相上），射线4。交边MN于点P.如果QE=PG；

7/30

题型三、遇切线，巧作过切点的半径

13.（2025・上海虹口•二模）如图，在RtZk/18。中，^C=90°,AC=4,AB=5,如果以点/?为圆心的。〃

与以边彳。为直径的。。外切，那么08的半径长是.

14.（24-25九年级上•上海•自主招生）如图，PA、P8为。。的切线，割线PE交。。于C,交线段于点

D,PC=2,DE=\,则CD=.

题型四、圆与三角形、四边形的综合

15.（2025•上海浦东新•二模）如图，在口月4CO中，/18=4,BC=6,点E在边AD上,且AOEC是等边

三角形，点O是对角线力。上一点.如果经过点£口与边没有公共点，那么。。的半径，的取值范围

是.

16.（2025・上海普陀•三模）如图，在△力8C中，ZJC5=90°,CA=CB,点、D为边力B上一点、,连结。,

作点8关于。。的对称点连结C£、AE,延长8、彳£交于点尸，若4£=OE=2,则所=.

8/30

17.(2025•上海•模拟预测)如图，在0。中，直径48垂直于弦CQ于点〃.

⑴联结力C、ADt求证：AC=AD；

Afi

⑵若四边形OC8。是菱形，求行的值.

x--U

18.(2025・上海松江•二模)如图，在△力8C中，乙4=90。，Z5=30°,点。在边BC上，以。为圆心，OC

为半径的圆与边4C交于点。，与边48相切于点E.

(1)当4C=12时，求。。的半径长;

(2)求柒的值.

9/30

19.（2024•上海•三模）某款"不倒翁"的主视图如图1,它由半圆O和等边△尸48组成，直径48=8cm,半

圆。的中点为点C,MN为桌面，半圆。与MN相切于点。，拨动"不倒翁''后它在桌面MN上做无滑动的滚

图I图2图3

⑴如图1,AB//MN,请直接写出尸C的长为cm（结果保留根号）；

⑵如图2,当尸8_LMN时，连接。。，OC

①直接写出NC。。的度数，并求点C到桌面MN的距离（结果保留根号）

②当P4或PB垂直于MN时“不倒翁〃开始折返，直接写出从尸8_LMN滚动到PA工MN（图2.图3）过程中,

点。在t.移动的距离.

20.（2025・上海普陀•三模）如图，△48c内接于。。，4C为直径，在C力延长线上取一点E,使得

AE=AB,连结BE,在4E下方，作乙4庄=N8C4,连结CE交。。于点。，连结BQ.

(1)如图1,若4BDC=4AEF.

①求证："BCREAF；

②若AE=2,力产=4,求CO的长度；

⑵如图2,若4F=EF,2NC8D=3/8C4时，求证：BD=EF.

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21.（2025•上海青涌•二模）已知：48为。。的直径，48=5,点。在。。上.联结OC、BC,过点。作

OD//BC,交。。于点O.

⑴如图，联结。3,当N』8C=60。时，求证：四边形OC8力是菱形；

（2）作。E1O8,垂足为£

①如图，联结/C、DC,OC交半径（为于点八当NOCO=；NC48时，求线段£厂的长:

C

②如图，联结力C、/。、设△OOE的面积为S，四边形力C8O的面积为S2,如果S?=75,求线段AC

的长.

11/30

22.（2025•上海崇明•二模）如图，RtZ\/18C中，418c=90。，BC=2,tanZ^C5=1,过点/I的直线/

⑴当直线力C与。。相切时，求。5的长：

⑵当直线/与。。相交时，交点记为点E、F,且点£1在点尸的右边；以C为圆心、CE为半径长作OC与

00的另一个交点记为G.

①若四边形力8CE是矩形，求06的长；

②若△力EC是以力E为腰的等腰三角形，求/力EG的正切值.

23.（2025・上海•模拟预测）在半圆月08的直径44延长线上取一点C8。是半圆力08的一条弦，过点C作

BD的平行线口和半圆AOB从右至左交于点瓦产.

备用图

（1）若O8=4C,取£厂的中点"，求证：四边形O4MO是菱形：

(2)当sinC=@,4O=&尸石=6时，求EC的长;

5

⑶延长交84的延长线于点G,作过点力的圆G交。G于点H.若/DAH=NG,且2DF=DH,求行

的值.

12/30

题型五、圆与函数的综合

24.（24-25九年级下•上海•月考）如图，已知。尸的半径为1,圆心尸在抛物线y=gx2-1上运动，当OP

与工轴相切时，圆心尸的坐标为.

25.（24-25九年级上•上海•自主招生）已知开口向上的二次函数“X）的顶点为。，且与x轴交于B两

与V轴交于点C,若ZU8C的外接圆与V轴相切，且乙4。8=150。，则学的最小值是,

点,

26.（24-25九年级下•上海•月考）如图，已知。。的圆心在x轴上，且经过4（1,0）、8（-3,0）两点，抛物线

6两点，与y轴的交点为。，顶点为尸.

⑴求点。和P的坐标（用含，"的代数式表示）；

⑵连接PD,当〃7=1时，求/8P。的正切值;

⑶当〃，为何值时，直线与OC相切？

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27.（24-25九年级下•上海•月考）如图，在平面直角坐标系中，直线歹二区+6分别与x轴负半轴交于点力，

与y轴的正半轴交于点4,OP经过点点B（圆心。在X轴负半轴上）’已知所I。，

⑴求点〃到直线48的距离：

（2）求直线y=kx+b的解析式；

⑶在。『上是否存在点Q,使得四边形，4PAQ为菱形？若存在，请求由点。的坐标；若不存在，请说明理

由.

28.（2024•上海杨浦•二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点

与已知直线的点切圆.如图1，已知直线/外有一点〃，圆。经过点”且与直线/相切，则称员I。是点"

与直线/的点切圆.阅读以上材料，解决问题：

已知直线。/外有一点P,PA1OA,OA=4,AP=2,圆M是点P与直线。力的点切圆.

⑴如果圆心M在线段OP上，那么圆M的半径长是（直接写出答案）.

⑵如图2,以。为坐标原点、。力为x轴的正半轴建立平面直角坐标系立沙，点尸在第一象限，设圆心〃

的坐标是（xj）.

①求y关于x的函数解析式：

②点8是①中所求函数图象上的一点，连接8尸并延长交此函数图象于另一点C.如果CP:EP=1:4,求

点8的坐标.

14/30

题型六、动态问题

29.（2025•上海杨浦•二模）如图，已知线段44的长为10,圆/1的半径为2,点P是线段43上一点，以B

为圆心、8P为半径作圆，将圆8绕点。旋转180。得到圆C,点。是点月的对应点，如果圆力与圆C相切,

那么符合条件的点P的个数是（）

0»

A.1个B.2个C.3个D.4个

30.（2025・上海•模拟预测）已知矩形ABCD,AB=6,BC=8,点P是边8c上的动点，以〃为圆心，BP

为半径画圆，将圆8沿直线力夕翻折得到圆8',如果点。恰好在圆6与圆"的连心线上，那么圆8与圆方

的公共弦的K度为.

31.（24-25九年级下•上海咱主招生）如图，以半圆。。的一条弦6c（非直径）为对称轴将弧6c折叠与

直径交于点O.若40=4,8。=6,则tan/?=.

笠

32.（2025・上海崇明•二模）如图，在矩形力后8中，48=8,8C=6,4C与8。相交于点。，点尸是在直线力8

上方到48距离等于3的一个动点，当点。在以点力为圆心，力P为半径长的圆上时，8P的长为.

33.（2025・I•海黄浦•二模）如图.已知矩形力8C。中.AB=3、AD=8,点。在边BCk.80=2,以BO

为半径作OO.将矩形48CZ）翻折，使点。落在上，点。的对应点为点。，折痕与边力。交于点

如果直线DD'经过点、O,那么DM的长为.

15/30

AD

34.（2025・上海•模拟预测）已知△4?C中，4C8=90。，AC=4,AC=8,点。是射线8c上一点，以点

B为圆心，4。为半径的08交线段4?的延长线于点E,过点£作£■尸〃BC,和08的另一个交点记作点

F.连接我.

⑴若直线月产和。4相切，求线段力尸的长.

⑵请在答题纸相应位置内，仅用元刻度宜尺和圆规作图，使得公力即是等腰三角形（标明每种情况下相等

的边），并求出各个情况下△力£尸的面积.

⑶连接。产.将沿直线翻折，得到“8G（点尸对应点为点G）,若CF和“8G的一边平行,

求萌的长.

题型七、圆与几何模型综合

35.（24-25九年级下•上海•月考）在。。中.直径44的长为12厘米，0。是弦力C的弦心距，BD与OC

相交于E,那么的长为一厘米

36.（24-25九年级下•上海•月考）如图，已知平行四边形为4co，点E为4c边上的中点，连接4E,交对

角线8。于点G,/ADB=NBAE.

16/30

AD

⑴求证：EB?=EGEA；

（2）连接CG,若=求证：平行四边形力6C。是矩形.

37.（2025•上海•模拟预测）如图，线段的中点是点C,以点4为圆心，JL1C为半径作。力，点。是。力

上一点（不在直线48上），连接CD、BD.

⑴求证：AACDsAADB.

(2)若4=135。,求tanNBQC的值.

38.（2025•上海•模拟预测）如图1,等腰△48C是。。的内接三角形，AB=AC,连接力。并延长力。交8c

于点。，连接OC.

图I图2

17/30

⑴求证：。是AC中点：

（2）如图2,延长8。交4C于心交OO于凡其中04=3,0E=2,

①求线段8c的长；

②求NCOb的正弦值.

39.（2025•上海杨浦•模拟预测）已知在△川?C中，乙4。8=90。,/。=3,8。=4,点。是直线BC上一点,

点E是射线C8上一点，NDAE=/CAB.

图1备用图

⑴如图1,当/8=3石时，求CO的长；

⑵当点。在射线C8上时，设CO=x,8E=y,求V关于x的函数解析式，并写出定义域;

⑶过点8作8/_L4E,交射线4E于点尸，如果以。为圆心，C。为半径的圆与以点尸为圆心，FB为半径

的圆有且只有一个交点，求CE的长.

40.（2025•上海•模拟预测）已知48是。。的直径，/C是。。的弦，。是弧戒的中点（如图），弦CD

与AB交于点、E.

18/30

D

B

E

O.

备用图

⑴当上为CO的中点时，求证：AB=ABE；

CE

⑵求证：—=2sinZ5JC：

DE

(3)当4E=CO时，求NA4。的正弦值.

41.(2025・上海虹口•二模)阅读材料:

我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这条

定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角

三角形"也是真命题.

CO为力8上的中线，如果CQ二g48,那么

4c8=900.也可以说，在中，如果那么N4C4=9()。.

根据上面的阅读材料，完成下列问题：(若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题)如图，48为

半圆O的直径，C、。是半圆。的弦，以CO为直径作OM.

⑴如图①.过点。作CE/4垂足为乩

19/30

①求证：CE'AEBE；

②已知8E=1,CE=3,如果OM经过点O（如图②），求直线CQ与直线夹角的正弦值;

⑵已知OM与线段相交于点尸、。，CD=6日如果/仍：P。：60=749,求力4的长.

42.（2025・上海徐汇•二模）如图，在口48CZ）中，AC工4B、AB=6、BC=10,点Q是边8C上的动点，以

点。为圆心，。。为半径的圆交边力。于点设OC=~

⑴当点E是边4c的中点时，求，•的值；

⑵已知点U是线段的中点（规定：当点E与点力重合时，点U也与点力重合），以点Q为圆心、

为半径作。。2

①当OQ与边力。有公共点时，求「的取值范围；

②如果002经过边AD的中点，求此时O。?与。。1的公共弦长.

43.（2025・上海闵行•二模）如图，在。。中，直径48长为46，弦8c的长为8,点力是8c上一点，过

20/30

点D作0D的垂线交直线AB于点E.

⑴求/C8。的正切值.

⑵当小。。与相似时，求80的长.

⑶以点E为圆心，EQ长为半径画。E,试根据线段8。的长度情况探究。E和。。的位置关系.

44.（24-25九年级下•上海普陀•月考）如图-1,已知扇形MCW的半径为正,/MON=90。，点2是加上

动点，点。是雨中点,。。与PV交于点C,点A为线段OC上一点，且04=PM,射线PA交半径0M于

七°a48

点8，设不=〃匕

Ar

⑴如图-2,当"_LOM时，求证：AB=MB；

（2）求NQ0M的正切值（用关于6的代数式表示）：

⑶当△408为以。8为腰的等腰三角形时，求〃?的值.

21/30

B综合攻坚•能力跃升」

45.（2025•上海•二模）如图，已知与0M相交于力、8两点，的半径长为2,。〃的半径长为3,

如果。。的圆心在。加上，那么公共弦48的长为

46.（2025•上海•模拟预测）如图，已知4C,CE是正六边形48。£沱产的两条对角线，点G,〃分别为线

段NC,CE上的点，且有＜G=MC,CH=kCE,若8,G,〃三点共线，则女=

47.（2025•上海杨浦•二模）如图，已知△48C中，ZC=90°,JC=6,8c=4,以力为圆心、2为半径

作圆，点。是圆/上一点，连接点E是。3的中点，连接AE,那么长度的取值范围是.

48.（2025・上海杨浦•模拟预测）如图，第6题中我们通过小怡和小瑶两位同学了解到了三角形的一些性质.

6.如图，小怡和小瑶在研究三角形的性质时分别画出了等腰△A8C点。是线段48的一个动点，

AB=AC,连接8C,作WC边上的高8尸，他们分别对各自的图进行了说理和证明，则下列说法正确的

有

22/30

小瑶：我过点尸作尸。_1%8；分别延长。户和8C交于

小怡：我以8点为圆心，8c为半径画弧，交线

段48于点。，延长8/，作。七〃4C和点G.③若/DBF=ZFBG，则力;=彳匚；④若

BG卜G

CE〃/4交就'延长线于一点E.①点力到点4

BF=GF；以B点和D点为圆心的等圆外切于点P,

的距离是线段力〃；②四边形8OEC是菱形.

则△GG〜△bPC.

⑴如图（小怡）作图并证明四边形BQEC是否是菱形；若是请给出理由，若不是则证明形状并给出理由;

(2)如图(小瑶)若BF=GF,FC=CG；求证8G=640.

49.（22-23九年级下•上海•月考）已知力尸是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点/、P

重合），连接4C，以直线力。为对称轴翻折片。，将点。的对称点记为射线力a交半圆。于点8,连

接。C.

⑴如图，当点4与点。1重合时，求证：AB=BC

CF

（2）过点。作射线力。的垂线，垂足为£,连接0E交力C于/.当力。=5,。石=1时，求-的值.

A7b7T

23/30

50.（2025•上海杨浦•模拟预测）如图，4、B、C、O四点内接于圆O,且对角线力。与BQ垂直，满足

NBDC=NBAC.

（1）求证：ZDAC+ZACB=90°；

⑵过点。作于〃，求证：BC=WH

51.（2025•上海金山•模拟预测）已知：0。1和。2相交于4、8两点，线段。02的延长线交。■于点C,

CA.C8的延长线分别交。。于点。、E.

（RHI）（图2）

⑴.48、DE,AB、Of分别与连心线。02相交于点〃、点G.如图1,求证：AB//DEx

⑵如图2,已知qq=5,当点G与«重合，。。的半径为4时，求O。?的半径.

24/30

52.（2024・上海•三模）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8,点G、”分别在射线CD、EF

上（点G不与点C、。重合），且NGBH=60。,设CG=x,EH=y.

⑴如图①，当直线8G经过弧CZ）的中点。时，求：NC8G的正弦值；

⑵如图②，当点G在边C。上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;

（3）连接力〃、EG,如果与AOEG相似，求CG的长.

53.（2025•上海金山•二模）已知：矩形力4c。的对角线4C与以力为圆心力。为半径的圆弧相交于点少，

过点歹作力。的垂线分别与直线BC、AD.CD交于点、G、P、E.

⑴当点G在边。8延长线上时，如图所示.

①联结4E,与5?交于点求证：DM=

②若G8:CG=l:10,求//：力。的比值；

⑵联结4G,若△/MG为等腰三角形，求匕//4。0的值.

25/30

54.（2025•上海•二模）己知在△,彷。中，ZJBC=90°,是边力C上的中线.以点4为圆心，BD为华

径的圆交线段于点E（点片不与点C、点。不重合）.

⑵如图2,当/时，求上。的正切值；

⑶如图3,以点E为圆心，8c为半径的OE与。8相交，其中一个交点尸在边/出上.如果4。=1,求力E

的长.

55.（2025•上海嘉定•二模）△地。为。。的内接等腰三角形，AB=AC.连接6。并延长，交4C于点

交。。于点E,过点〃作4斤工/1C,垂足为点尸（点/不与点N重合）.

⑵如图2,连接OC,如果sin//CB=x,］皿=y,求V关于x的函数解析式（不用写自变量的取值范

围）；

⑶如果点。是线段的黄金分割点，求cos/BWC的值.

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56.(2025•上海宝山•二模)如图，已知梯形48C。，AD〃BC,ZC=45°,以点片为圆心、为半径画

弧，与BC、C。分别交于点石、F,且NA4尸=9()。.

(1)如果设6=4,DF=2,求力B的长;

AD

⑵求美的值；

CE

DF

(3)如果E是弧8尸的中点,求不厂的值.

FC

57.(24-25九年级下•上海•月考)如图，已知在等腰ZUHC中，AB=AC=5>5,tanZJBC=2,

BFJ.AC,垂足为R点。是边加？上一点(不与力，8重合)

⑴求边8C的长；

⑵如图2,延长。尸交4。的延长线于点G,如果直线QG与aBC/的外接圆相切，求线段CG的长:

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⑶过点。作。E_L8C,垂足为区DE交BF于点、Q,连接如果△O。尸为等腰三角形，直接写出线

段8。的长.

58.（2025•上海•模拟预测）如图1,在心△力8c中乙4c8=90。，CO是斜边48上的中线.分别作A/CO和

△5CO的外接圆尸、Q,连接PO、DQ.

（1）求证：NPDQ—90。.

⑵当WC>4C时，连接也，交弦4c于点E.假设圆。和弦力。有交点C和斤.

①若点石和点尸重合，画出对应的图形，并且求AP。。和△48C周长的比值.

②如图2,令P0和。。交于点G,连接产G,若尸GII8C,求当的值.

59.（2024・上海闵