2026届全国1卷新高考数学模拟卷02（解析版）

2026届全国I卷新高考数学自编模拟卷02

本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.如果集合4={1£2|-2m工＜1},4={-1,0,1},那么()

A.{—2,—1,0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}

【答案】D

【分析】化简集合，然后根据交集定义运算即得.

【详解】因为4={-2,-1,0},3={-1,0,1},所以Ac8={-l,0}.故选：D.

【考点】集合的表示及并集运算。

2.已知z=一则z的虚部为()

2-1

【答案】B

【分析】先由复数乘除运算法则化简复数z,进而可得其虚部.

i_i（2+i）_2i+i2一l+2i12.2

【详解】z=--2-----=---F—1,得其虚部

2^i（2-i）（2+i）4-i5555

故选：B

【考点】复数的除法运算与虚部。

3.函数/")=的极值点为()

ee

A.0B.1C.-1D.e

[]A

ev(2er+l)(l-x-ev)

【分析】求得ra)=］，$——°，利用r(R)=。，解得x=o即可判断.

(e"+ej

【讲解】解..小）_区+1代+止（2„侬一）_e,（2e,+l）（J7）

r详解】解；•/（”）一尸y-—百了—‘

A

.•.由/'（x）=0,BP|-x_e=0,解得：x=0.

tbffM>0,得x<0,由r（»〈o,得%>0,.•.函数人力二军土式在工=0处取得极大值，

e~r+el

故选：A.

【考点】利用导数求函数的极值点。

4.若sine+sin2，+sin3夕=0且cos。+cos2，+cos3夕=0,则cos28=（）

A.--B.--C.5D.1

222

【答案】B

【分析】利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得出cos。的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出

cos2夕的值.

【详解】因为sin6+sinM+sin3e=sin（26-e）+sin26+sin（2^+e）

=sin2。cos0-cos29sin0+sin20+sin2^cos9+cos2^sin9

=sin2<9（2cos6>+l）=0,

cos3+cos2。+cos39=cos（2。一9）+cos10+cos（20+。）

=cos26cos。+sin26sin8+cos26+cos2。cos8—sin2。sin8

=cos2e（2cos6+l）=0,

所以siYzeQcos6+1）2+cos226（28s6+1）2=0,

Bp（2cos6^+l）2（sin226^+cos22f）=（2cos夕+1『=0,解得cos6=-/,

故cos28=2cos2e-l=2x（-1=一，.故选：B.

【考点】三角恒等变换求值。

5.已知抛物线丁=2/*的焦点为尸，点A&C在抛物线上，下为VA3C的重心，且尚

同+冏+|可=12,则〃的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】利用抛物线定义将忸可+|而|+|定|=12转化为A8,C横坐标与，的方程，再由重心的坐标关系

列出ARC横坐标与P的方程，解方程组即可求得P的值.

【详解】由题：F（1,0）,设4.。，），1）,4*2，尢），0*3，,'3），

由抛物线定义知：周+阀+国3+3+々+^+占+勺％+/+占+学=12,

又尸为VABC的重心，所以内+9+刍=3x",所以3〃=12,〃=4,

【考点】平面向量的模长与数量积运算。

6.已知过原点且斜率存在的直线【与圆M:（x-2及J+（），-2『=16交于A,。两点（M为圆心）,当

△M46的面积最大时，直线/的斜率为（）

A.-2B.--C.--D.--

423

【答案】B

【分析】设出直线/的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得AMAB面积的表达式，结合二次函数

的性质求得AMAB的面积最大时直线/的斜率.

【详解】设直线/的方程为：丁=〃次，

圆心到直线的距离d=2，〃；，弦长却=2尸方=2A/16-J2,

2

所以S^B=^\AB\d=旭6—心筋=«一8）+64,

当r=8时，面积S最大，这时（2瓶"2_2）=整理得2a机+1=0,解得〃?=-也，

1+病—4

所以直线/的斜率为-1.

4

故选:B

7T

7.在VA3C中，角A氏C所对的边分别为。，4J已知成等差数列，Q=6,A=§,则VA3c的

面积为（）

A.3GB.9GC.12D.16

【答案】B

【分析】根据题意，得到〃+。=2〃，冉由余弦定理求得生=36,结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】因为成等差数列，可得人+。=%，

TT

又因为。=6,A=一,

3

.b~+c2-a2(b+c)2-2bc-a23a2-2bc1

由余弦定理得:cosA=----------=----------------=---------=—

2bc2bc2bc2

整理得3Z?c=3/，即加=36.所以V48C的面积为S—1/?csinA—1x36x———95/3.

222

故选:B.

【考点】等差数列的前n项和与基本性质。

8.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1,设圆锥轴截面的顶角为

2a,用一个平面「去截该圆锥面，随着圆锥的轴和「所成角”的变化，截得的曲线的形状也不同.据研

cosh

究，曲线的离心率为e=比如，当时，e=l,此时截得的曲线是抛物线.如图2,在底面半

cosa

径为1,高为2夜的圆锥50中，4B、CD是底面|员IO上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，SE=2EC,

平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（）

图1图2

A1B.正C."D,空

2323

【答案】C

【分析】e==利用勾股定理求出宓，由砺反+?方求出QE,再由正弦定

cosasinZ.SCO33

理得可得答案.

【详解】由题意的NQSC=a,4E0S=0,则NSCO=90—a，Z£OC=90-/?,

..,.cospsinZ.EOC

所rr以《=—匕=---------,

cosasin/SCO

在△SOC中，SE=2EC,SO=2叵,C0=l,且SO_LOC,则SCnJso'+OC2=3,EC=\,

0GQ1

0E=0S+SE=0S^-SC=0S-}--(0C-0S]=-0C+-0S,

33、733

22

则国『=（loc^os^=ioc+ioc，os+Los=it所以在=侦，

II（33J99933

ECE0SINZEOC

由山正T所弦申定理理组得，----------=----------,即HH-----------=——EC=——.

sinZ.EOCsinNSC。sinNSC。EO2

故选：C.

【考点】椭圆离心率的求解（焦点三角形）。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知内。是两条不同的直线，户是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（）

A.若。〃夕,a〃a,力〃夕，则平行或相交

B.若a上仇aLa,bi/3,则aJLZ?

C.若aua/u/7,a〃夕,/?〃&,则。〃夕

D.若aua,buB，a//仇。工b,则a,/平行或相交

【答案】BD

【分析】根据空间中的线线、线面、面面关系逐项判断即可得结论.

【详解】若a〃尸则〃力平行或相交或异面，故A错误；

若。_L/,a_La,Z?_L夕，则a_L",故B正确；

箱aua、buB，a〃B、b〃a,则a,6平行或相交，故C错误；

若aua,buB，a〃0,a1b,则。,万平行或相交，故D正确.

故选:BD.

【考点;】空间线面位置关系的判定。

10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”."三角垛''的最

上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第〃层有％个球，则（）

A.6=15B.是等差数列

,1111c

C.%必为偶数D1W—I---F•••+—<2

4%Cln

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意4,,一。"_|-1，…，生一4=2,利用累加法得4“二即可判断ABC选

2

项，对于D,—=-7~E=2--------,再根据裂项相消法可得一+—+…+一的和，接着简单放

勺〃(〃+1)a\a2a„

缩即可判断.

【详解】根据题意,当〃之2时，。“一4一|=〃"*一〃"-2=〃一1，…，q-4=2,

累加得=2+3+4+…+〃=(2+冷(〃一1)=^1^,

”122

an=—-----»易知<=1也满足，所以凡二一^-----»/.&=----=15,故人正确；

“2”22

4,川一。“二〃+1,故B正确；生侬=且丝型型=2025x1013为奇数，故C错误；

〃(〃+1),l=_Z_=2fl_L1

2，ann(n+l)\n«+1；

­.•nG1<2一一—<2,即lW-!-+-!-+・・・+-!-<2,故D正确；

A?+1q/

故选：ABD

【考点】数列与数学文化结合(如“三角垛”)，考查数列性质与求和。

11.己知函数7U)的图象关于直线x=\对称，对任意的xWRJlr),。恒成立，且於+1)可(切(x+2),若

批1户2,则以下结论正确的为()

A/2)=V2B./3)=l

C/-D=/5)DXI)=4T)

【答案】ACD

［详解】因为函数人E)的图象关于直线X=1对称，所以人0)/2),在/U+1)=A必U+2)中，令户(),得

贝1)=/⑼A2)=饮2)F=2,又段)>0,所以/2)二或,故A正确;在於+l)=*WU+2)中，令x=・l,得避0)丸1加1),即

&y-l)x2,得上1)二手乂函数段)的图象关于直线产1对称，所以贝3)=/(-1)=条故B错误;由已知得

心-2)=噜m则人什3)=偿令得小+3)=去,所以於+6)=/为引2,所以代1)=次5),故C正确;因为函数及)的

图象关于直线x=l对称,所以店)=/(1),又曲=危+6),所以店)=/(|)=/g)，故D正确•故选ACD.

故选：ACD

【考点】抽象函数的性质判断(奇偶性、周期性、函数值)。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

1.C八兀

12.已知sin"一看——,则tsin2。+一

3I6J

7

【答案】-

【分析】通过换元将已知角与目标角关联，利用诱导公式把sin（28+g）转化为cos2a,再月二倍角公式

6

代人己知值计算.

【详解】令则。=口+工，且sina='；

663

7TTT7T7F

代入目标表达式：sin(2<9+-)=sin(2(a+-)+-)=sin(2«+-)；

6662

利用诱导公式sin(x+C)=cosx,得：sin2<z+—71=cos2cz；

2\2J

I।7

用二倍角公式cos2a=l-2sin20,代入sincz=§,则cos(2a)=l-2x(§)2=§.

故答案为：（

【考点】三角恒等变换求值。

13.已知底面圆半径为1,母线长为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，则球。的体积等于

【答案】生亚兀

64

【分析】取圆锥尸E的轴截面△QAB，分析可知，球心O在直线PE•上，设球。的半径为/?,根据圆锥的几

何性质可得出关于R的等式，解HR的值，再利用球体的体积公式可求得结果.

【详解】取圆锥PE的轴截面△Q43,则E为A3的中点，如下图所示：

由圆锥的几何性质可知，球心。在直线PE上，设球。的半径为R,

由题意可知，PA=PB=3,AE=BE=1，且庄;所以PEuJPA2-AE?=19-\=2猴，

由勾股定理可得。炉+人七之=六，即|PE—R「+A£：2=R2,即|2&—/?『+1=心，

解得R=S，所以球。的体积为兀R3=3兀xj乡］=空也兀.故答案为：空正兀.

4V233（40）6464

【考点】正三棱锥的内切球半径。

14.设集合A中的兀素皆为尢重复数字（如113为有重复数字）的三位止整数，且A中任意两个兀素之积

皆为奇数，则A中元素个数的最大值为.

【答案】320.

【详解】由题意可知集合A中的元素均为奇数,故个位数字从1,3,579中选一个，有5种选法，百位数字从除去

0和个位数字上选定的数字之外的8个数字中选一个，有8种选法，十位数字从除去百位数字和个位数字上选

定的数字之外的8个数字中选一个，有8种选法，故A中元素个数的最大值为5x8x8=320.

【考点】分步计数原理。

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.VA3c中，角4,B,C的对边为a,b,c,已知cos（B-C）-cosA=,，且

（1）证明：V43C为等边三角形；

（2）如图，若VA8c边长为3,点E,尸分别在边8C,84上，将ABE/沿着线段E/对折，顶点8恰好

落在边AC上的。点，当AO=2OC时，求重叠部分。瓦'的面积.

【答案】（1）证明见解析（2）丝四

80

【分析】（1）由两角和与差的余弦公式得出cos3cosc=!，根据正弦定理边化角得出sinBsinC=sin24,

再根据同角三角函数的平方关系即可求解A=],代入848-。）一（：6；＞4=；得出4=。即可证明；

（2）由余弦定理得出。EOF,再根据三角形面积公式求解即可.

【小问1详解】

证明；由cos（8C）cos/l=1,得cos（BC）Icos（BIC）=,展开得cos8cosc=L①

224

由/=〃c•可得sinBsinC=sin2A.②

①一②得'-sin?A=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA,

4

13

因为siifA+cos2A=1，所以4cos2A+4cosA-3=（），解得cosA=二或cosA=一不（舍去）.

22

又0<4<兀，所以A=¥.把A=二代入cos(8—C)一cosA二,，得cos(8—C)=l,则8=C.

332

7T

所以A=b=C=-,故VA8c是等边三角形.

3

【小问2详解】

由AD=2DC及AC=3,得DC=1»设BE—ED—x»则CE=3—x.

在△CED中，由余弦定理可得DE1=CD2+CE2-2CDCEcos-,

3

即d=12+(3—x)2—2xlx(3—x)x—,解得不=二.同理，在△4尸。中，由余弦定理可得尸。二一.

254

又乙EDF=NB=j所以==

3△由225428()

【考点】解三角形与最值问题。

利用正余弦定理进行边角互化求角，并求周长的最大值。

16.若数列｛的｝是公差为1的等差数列，且s=2,点⑷也)(〃£N*)在函数人工尸3、的图象上，记数列也｝的前〃项

和为Sn.

(1)求数列｛0｝,｛〃“｝的通项公式；

⑵设c〃二；要一，记数歹I」©｝的前〃项和为证明为4.

解:⑴由s=2,得«i=2-2x1=0,.\an=a\+(〃-1)xd=〃-1(d为｛〃〃｝的公差).

:'点(如也)(〃£N*)在函数fix)=3x的图象上，,也=3%=3叫

(2)证明:由(1)知儿=3””,显然数列｛%｝是首项为1,公比为3的等比数列，则S,尸学,

Cw==nn+1=

,:4Sn^+1(3-l)(3-l)6岛

•F=ci+-…+。总(税+2表+专*+•••+亳•备)

4弓■高)$-^^脸,:4哈

【考点】数列的通项与求和。

由前n项和与通项的关系求通项，再裂项求和。

17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCO为直角梯形，AD/!BC，CD1AD,AD=CD=2BC=2,

平面小。_L平面ABC。.且△PAO是以，为直角顶点的等腰直角三角形.

(I)证明：。。_1_平面处/)；

（2）求二面角A—PB—C的正弦值.

2

【答案】（1）证明见解析（2）-

3

【分析】（1）根据条件，利用面面垂宜的性质，即可求解；

（2）取4。中点0,连接。P,0D,根据条件，建立空直角坐标系，分别求出平面APRC尸8的法向量,

利用面面角的向量法，即可求解.

【小问1详解】

因为平面平面ABCD,江面PAQc平面ABCD=AD,

又CO_LAD,CZ）u面ABCD,所以CO_L平面PAO.

【小问2详解】

取A。中点。，连接0P,。。，因为△Q4。是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则PO_LAO,

由（1）知CD_L平面又POu面PAO,所以POLCD,

又Aons=。，A/）,COU面ABC。，所以PO_L而A3CD,

又AD=CD=2BC=2,且AO//8C,又。£＞=1,所以四边形08co为平行四边形，

所以OB//CD,则OB上面PAD，又ADu面尸AD,则O6JLA£＞，

建立如图所示的空间直角坐系，

乂PA=PD=e，所以尸O=VT^=1，则A（1,0,0）,3（020）,0（-120）,尸（0,0,1）,

所以匣=（0,2,-1）,西=（1,0,-1）,定=（_1,2,_1）,

设平面AP8的一个法向量为万=（x,y,z）,则＜—,

PAn=x-z=O

取工=2,得y=l,z=2,所以万=（2,1,2）,

/、PB-n=2b-c=0

设平面CP3的一个法向量为历=(〃,0,c),贝叫一

PCn=-a+2b-c=0

Tiin_1+4_6

取b=l,得x=0,c=2,所以用=（0,1,2）,所以cos人玩二

MH同一3x石一3

2

设二面角A一尸8-C的人小为则sin，=Jl-cos'乱成=

3

【考点】立体几何中的垂直关系证明与线面角求解。

18.已知椭圆E：.+方=1（Q>〃>0）的右焦点为/（1,0）,离心率为当.

（1）求E的方程；

（2）过点7（3,0）且不垂直于），轴的直线与E交于A,8两点，直线Ab与E交于点C（异于A）.

（i）证明：△F8C为等腰三角形；

（ii）若点M是VA8C的外心，求△AMC面积的最大值.

【答案】（］）£.+21=1］2）（i）证明见解析：（ii）逑

3216

分析［（1）依题意求出。、即可求出6,从而得解；

（2）⑴设直线4B的方程为x=〃?y+3,A（X，X）,8（%,%），联立直线与椭圆方程，消元，歹灿韦

达定理，分析■、5b的斜率均存在，由々"+%"=0,即可得证；

（ii）设A3的中点为N（毛,%）,求出A5的垂直平分线，即可求出M点坐标，再由

Swc=g|MF||x+）U表示出三角形的面积，再换元，利用导数求出函数的最大值.

【小问1详解】

£V3I=出______

==22

e==

依题意可得<aTf解得1]，所以力=J7=7=0，所以椭圆方程为三+上=1:

32

c=\

【小问2详解】

(i)设直线A3的方程为4=机)计3,4(A，y),8(%,%)，

fx2y2_

由<3+2—，整理得(2>+3)_/+12〃2)，+12=。，

[x=my+3

所以△=(12m)2-48(2m2+3)=48(>—3)>0,则加>3，

12m12

所以…二-彳育型二w

x=1(2.

若轴，由|犬2，解得<2G，则B1，±—,此时AB的斜率攵=,即=3

—+—=1y=±----.J3

323

（不合题意），

所以A尸、8尸的斜率均存在，

所以《+k-YI%_凶（々-1）+）式7-1）-2"通+2（—+必）

力以"――x2,r（x,-l）（x2-l）■

『12/n12m

又岭+y+k石不一病&=0>所以k.+kep=。，即bp+kffF=。，

又因为8、C均在椭圆上，

由椭圆的对称性可知\FB\=\/。|,即△氏BC为等腰三角形;

（ii）设AB的中点为N则%=上二匹二6m9

%=岫+3=

2m2+321+3

’9工）‘所以4B的垂直平分线为尹加二一根卜9、

所以N

12〃5+32"，+3,

3(3、

令y=。可得x=——；——，所以,M—；—，°

2m2+3(2"r+3)

cI1,312/7712时

所以“MC的面积£.=5河/）”必1=5「病目引二可『，

⑵3

令1=忱|>6,设/(")=

3r(2产+3)2-8/(2z2+3)/12产(9-2r)

所以r（，）=i2x

(2J+3)4-(2入3丫

所以当〈竽时当/＞当时/'（。＜0,

所以丁（。在6当上单调递增，在（乎,+。上单调递减,

所以当r=呼时/（r）取得最大值/（f）_=号，所以△AMC面枳的最大值为第.

【考点】双曲线的方程与几何性质（面积取值范围）。

丁-3ax+。,x<()

19.已知