高考数学热点复习：基本不等式及其应用【21类题型全归纳】（解析版）

热点题型追踪：1-1基本不等式及其应用

近4年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2020年天津卷：第14题，5分基本不等式及其应用是是高考

的热点，主要考查利用基本不

2021年乙卷：第8题，5分

等式求最值、求参数的取值范

(1)了解基本不等式的推导

2022年I卷：第12题，5分围等，常与函数结合命题，题

过程

型以选择题、填空题为主，也

(2)会用基本不等式解决最

可作为工具出现在解答题中，

值问题

应适当关注利用基本不等式大

(3)理解基本不等式在实际

2023年I卷：第22题，12分小判断、求最值和求取值范围

问题中的应用

的问题；同时要注意基本不等

式在立体几何、平面解析几何

等内容中的运用.

题型总览热点题型解读(目录)

模块一：核心题型-举一反三

【题型1】基本不等式的直接使用....................................................2

【题型2】常规凑配法求最值......................................................3

【题型3】“1”的妙用(1):乘“1”法................................................5

【题型4】“1”的妙用(2):“1”的代换...............................................6

【题型5】二次比一次型............................................................8

【题型6】分离常数型..............................................................10

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题........................................11

【题型8】利用对勾函数............................................................13

【题型9】判断不等式是否能成立..................................................15

【题型10］换元法(整体思想)....................................................18

【题型11】基本不等式的实际应用问题..............................................21

【题型12】与a+b、平方和、位有关问题的最值(和，积，平方和互相转化)..............25

【题型13］基本不等式恒成立与能成立问题.........................................27

模块二工学有余力：拓展提升

【题型14］消元法.................................................................30

【题型15］因式分解型.............................................................32

【题型16】同除型（构造齐次式）..................................................34

【题型17］万能””法..............................................................35

【题型18】三角换元法（利用三角函数）............................................36

【题型19］基本不等式与其他知识交汇的最值问题...................................38

【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）.................................40

【题型21】多次运用基本不等式....................................................41

模块一核心题型-举一反三

【题型11基本不等式的直接使用

基础知识

如果那么向《”2,当且仅当Q=/,时，等号成立.其中，巴心叫作。，〃的算

22

术平均数，J防叫作的几何平均数.即正数。，〃的算术平均数不小于它们的几何平均数.

常用不等式：若a,bwR,则/+//!22而，当且仅当a=〃时取等号；

基本不等式：若a,bGR+,则"2"之（或.+〃之2，^）,当且仅当。=6时取等号.

1.若a>（）,b>0,且a+4Z?=l,则片+］仪尸的最小值是

【答案】4

【详解】tr+16/r>2x4^,则2卜/+16必）之/+16从+2乂北出=（。+4与2,

所以J+16从2（"+助）-=」,当且仅当。=48=:时，等号成立，

222

所以a2+16b2有最小值y

25

2.若x>0，）>。，^=10,则一+一的最小值为.

%）'

【答案】2

【简析】-+->2^=2

xy\xy

14

【巩固练习1】若x>0,y>0,—+—=1。，则肛'的最小值为______.

x）'

4

【答案】—

25

【简析】-+-=lO>2j—=>5>l—=>25>—=>^>—

xyyxyxyjiy25

【巩固练习2]已知x>0,y>0,且x+2)，=l,则2'+4,的最小值是

【答案】2&

【详解】由于2'>0,4'>0,所以2，+4，Z2jFT=2"k=2e，当且仅当x=2y时等号成立

【题型2】常规凑配法求最值

基础知识

配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解.

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意险证取得条件.

常见的配凑法求最值模型

(1)模型一：〃7氏+2224而(，〃>0,〃>0),当且仅当％=时等号成立;

当且仅当彳-〃=旧时等号

(2)模型二：nix+——=加(x—a)+——+ma>2y[mn+nia[m>0,n>0),

x-ax-a

成立

3.右x>2,则/(x)=x+(+2的最小值为_________.

【答案】0

【解析】由4>—2,得x+2>0,—!—>0,

x+2

所以/(x)=x+^—=x+2+—!——2>2J(x+2)x--2=0,

x+2x+2Vx+1

当且仅当x+2=—!—即x=-l时等号成立.

x+2

4.已知Q>2,则2a+-的最小值是()

a-2

A.6B.8C.10D.12

【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.

【解答过程】因为a>2,所以a-2>0

所以2。+2=2(a-2)+^-+4>2V16+4=12,

Q—2Q—2

当且仅当2(a—2)='；,即Q=4时，等号成立.

a—2

所以2Q+上的最小值为12.

4

【巩固练习1］函数/(x)=3/+2+^y(x>0)的最小值为

【答案】4>/3-1

【解析】因为JV>O,所以x十1>1,

,、4

所以/(x)=3x+2+—=3x4-3+---l>2j3(x+l)x--l=4y/3-l,

.r+1Nfx+l

当且仅当3(x+l)=W时'即户平7时，等号成立,

故/(力的最小值为4^-1.

13

【巩固练习2】已知正数。，6满足。+3〃=4,则——+--的最小值为_____

a+1b+\

【答案】2

【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求最值即可.

【详解】因为正数%〃满足a+3Z?=4,所以(a+l)+3(O+l)=8,

所以_L+_L/_L+_q.[("i)+3("i)]』io+亚雪出可

a+\b+\81a+l/?+!)LV''〃a+\b+\

1[-[3伍+1)3(〃+l)]1z、

>-10+2.P————L=-(10+6)=2,

8Va+\b+\8')

当且仅当3("+l)=3(a+l)即a=［=］时,等号成立,

a+1b+\

所以一!一十N—的最小值为2.

a+1b+\

【巩固练习3］己知£>0,则注+/的最小值为_____.

21+1

【答案】G+i

【解析】因为/>0,

所嗡d起坐+-品+驾

-1+2^2(2/+1)

当且仅当即，=空时,等号成立•

所以坐二+，的最小值为6+1・

2/+1

【题型3】“1”的妙用(1):乘“1”法

基础知识

方法总结：乘“I”法就是指凑出I,利用乘“I”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运

用基本不等式的条件，即积为定值.

主要解决形如“已知产尸(/为常数)，求.+二的最值”的问题，先将孑十:转化为七+=)•,

工yxy\xy/i

再用基本不等式求最值

注意：验证取得条件.

I?

5.(2。23・广东广雅中学校考)若正实数，，，满足"必=1,则的最小值是一

【答案】9

【详解】1+-=(1+-)(«4-2^)=5+—+—>5+2,/——=9,当且仅当"=羊=4=〃=：时等

abababNabab3

号成立

6.(2024•江苏南通•二模)设x>0,.V>0,-+2y=2,则的最小值为()

%y

33

A.—B.2\/2C.—I->/2D.3

22

【答案】C

【分析】由不等式T”的代换求解即可.

【详解】因为，+2y=2,所以，-+丁=1，

x2x

因为x>(),y>0,所以［x+-||+=++l

)：Iy八2xJ22xy

31、3cI-3今夜3w

22盯2V2xy222

1

"6

盯=丁x=-----

当且仅当《即彳2时取等.

一+y=1y=2-42

2x

【巩固练习1］已知x>0,)>0且x+2y=xy,则x+2y的最小值是

【答案】8

【分析】运用力”的代换及基本不等式即可求得结果.

21

【详解】因为x+2y=取，所以一+—=1,

*y

所以x+2y=(x+2)，)(2+J_]=2+£+匕+224+2<^^=8,当且仅当2=空，即x=4,y=2时

'(Xy)yX}/yXyx

取等号.所以x+2y的最小值为8

92

【先固练习2]若x>0,)，>0,且x+2y=5,则一十一的最小值为

%)'

【答案】5

【解析】因为工>0,丁>0,且x+2y=5,则±+么=1,

55

丁~92(92Yx2八18y2x13、J18y2x134

xyyxyJk55)5x5y5\5x5y5

当且仅当善■=?,即x=3y=3时，等号成立，

5x5y

92

所以一+一的最小值为5.故答案为：5.

121

【巩固练习3】已知x>0,>>。，且x+2y=7,则一+一的最小值为_________

-2xy

【答案】16

【解析】-+-=2f-+-l(x+2y)=S+^+—>8+25/^—=16.

xylxyjx)，Vxy

当且仅当把=立时等号成立.即当x=L)，=!时，2+J•取得最小值为16.

x)'48xy

【题型4】“1”的妙用(2):'T的代换

基础知识

方法总结：通过常数T”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目

的.

7.己知。>0,b>01a+b=\,则：的最小值为_____

ab

【答案】3

【分布】利用基本不等式求得一十二的最小值.

ab

【详解】依题意，+且="^+q=1+2+色21+2陌=3.

abababyab

当且仅当。=b=」时等号成立.

2

8.已知实数n,y>o满足"y=i,则2+工的最小值为（

XXV

A.6B.4+272C.4+2退D.8

【答案】C

【分析】根据‘T'的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可.

【详解】由条件x+y=l可得

2+'=a^+l^=2+苴+土+2+上=4+2+二24+26.

xAJ'xxyxyxxy

x+y=1

当且仅当，至=2,时等号成立

【巩固练习1］若。>0,b>0,且a+4〃=l,则一■।■:有最小是________

ab

【答案】5

【详解】L+屋竺竺+N=i+弛+&1+2、邛=5,

ababah、ab

当且仅当竺二@,即4=3=1时，等号成立，

ab3

所以J_+f有最小值5

ab

【巩固练习2】正实数工，>满足x+y=l,则匕』+’的最小值是（）

xy

A.3+2&B.2+2V2C.5D.—

乙

【答案】B

1+y1

【分析】一一中的力”用“x+y”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解.

工y

【详解】因为正实数%,+'满足x+y=i,

所以3+1=忙0+山=2+殳+土22+2、器=2+2及，

xyxyxy丫xy

,即-嫄,丁二时等号成立.故上的最小值是

当且仅当x=2a-12+2J2.

x=\/2yxy

【巩固练习3】（2024・安徽•三模）已知x>0,y>。，且2x+）：=l,则匚匕的最小值为（）

孙

A.4B.4&C.472+1D.2近+1

【答案】D

【分析】由21+），=1,可得£*=1+工+生，再利用基本不等式计算即可得.

•D,ky

【详解】占=2+_1=2+2=1+2+岂21+2代=2拒+1,

封xyxyxy\xy

当且仅当上二"，即），=夜-1炉=1-立时，等号成立.

X.V2

【题型5］二次比一次型

基础知识

基本模型："2+bx+c=〃一人c工2疝+当且仅当X、归时等号成立

UA十。-----V〃

9.已知％>0,则立上的最小值为（）

X

A.5B.3C.-5D.-5或3

【解题思路】由已知可得立出=%+±一1,利用基本不等式计算可得结果.

XX

【解答过程】由%>0,得-1=%+±一1N2=3,

XX，X

当且仅当％=±,即x=2时等号成立，所以三匕的最小值为3.

XX

10.函数），「+-3（%>2）的最小值为.

【答案】11

9

【分析】将函数化为y=x-2+—-+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.

x-2

,u-»（x—2）~+5（x—2）+9.9->八

【详斛】由>==%2I।5,又工-2>0,

x-2x-2

a9

所以yN2j（x-2）----+5=11,当且仅当x-2=----,即x=5时等号成立,

Vx-2x-2

所以原函数的最小值为11.

【巩固练习1］已知x>T,则函数产士上士的最小值是

x+1

【答案】3

【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得■到结果.

【详解】因为x>—1,

_x2+x+4_(.r+l)2-(x+l)+44

y=-----------=-=---"--+-l--)---+-----------

A+lX+\x+\

小心=3

4

当且仅当（工+1）=不丁即X=1时，等号成立.

所以函数），=尸+"+4的最小值是3

A+1

【巩固练习2】已知正数“满足》2k3,则会的最大值为一

【答案】7

6

【解析】•・•正数应》满足x+2y=3,

181,cJ181“sx野卜,以严外卜（m8）=6.

），x3X）31y

当且仅当史上=2,即/=4y=2时取等号,

xy

-^=-^<1,1

则x+8y1+86,其最大值为q.

【巩固练习3】已如1y为正实数，且;v+y=l,则喑坦的最小值为（）

A.24B.25C.6+4V2D.6或一3

【解题思路】把把善变为g+T然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.

xyxy

【解答过程】因为X,y为正实数，且％+y=l,所以上空=x+6y+3（"y）=如也=?+

xyxyxyxy

=C+；）a+y）=i3+?+与“3+2^1=25,

Z9y_4x（x=r

当且仅当工一于即「：时，等号成立，所以把詈的最小值为25.

[x+y=l[y=lxy

【题型6】分离常数型

基础知识

方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数

例］:尸>卓=»§+±=、+++224(x>0)

例2：)，=2x+若=2(x7)+若+高=2(»1)+2+5

11.若X>1,则函数），=x+N早的最小值为（）

X-I

A.4B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】因为x>l,所以x-l>0,

所以）,=』+Zl±^=x+2Ez^il=x+2+杏二（』一l）+4+322j（x—l）W+3=7,

Jx-1x-\X-\'7x-\97x-1

4

当且仅当（x-l）=——,即x=3时取等号，

x-\

所以函数），=x+2中的最小值为7;故选：C

X—1

■X+2v+2

【巩固练习1】已知x>-2,>>（）,2_r+y=3,则一3一+一7的最小值为（）

x+2y

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】将已知条件等式化为2（x+2）+y=7,整体代入结合基本不等式即可得解.

【详解】因为x>-2,y>0,2x+y=3,所以2（x+2）+y=7,x+2>0,

所以X+2），+2+NJ+2y+2+NW出=2+2+^1>2+2|互.^1=6,

x+2yx+2yx+2y\x+2y

当且仅当x+2=y,即x=1,丁=工时等号成立，即心—匚+工的最小值为6,故选：13.

3'3x+2y

【巩固练习2】函数〃加筌早在xcR上的值域是

【答案】4为

/U）=2+

【分析】将函数变形为/。）=2+，"一当x=0时，，"）=2；当工工0时，-4~

jr+x+4-V+-+1

x

利用对勾函数的性质和不等式的性质可解.

【详解】函数小）=213%-8=2（：+x+4）+l=2+二，

x~+.r+4x2+x+4x2+x+4

当x=0时，/（A）=2；

当xwO时,

X

根据对勾函数的性质可知:

40<——-——<-]|

当/>。时，x+尸，则所以2</。）？于

4--<------------<05

当x<0时，x+-<-4,则3~,4、1所以/（X）2,

XX■1■—+13

X

2

7rJ_1v□_Q5I1

综上所述，函数"X）=乙二十"十"在xeR上的值域是.

r+x+435

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题

基础知识1

方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解

12.（多选）已知10“=2,108=5则下列结论正确的是（）

A.a+2b=\B.ab<-

8

C.ab>lg22D.a>b

【答案】）及？

【分析】由题意可知a=lg2,O=lg逐，根据对数函数的单调性可知D错误：10"」（）2/>=]0,可知

/正确：利用基本不等式可知〃+2力22亿^,化简整理可知用正确：在根据8=lg石>电2,利用

不等式的性质，即可判断C正确.

【详解】由题可知。=lg2,〃=；lg5=lg石，又逐>2,班以a<b,Q错误：

因为10"。。"印。"功=10,有。+»=1.所以力正确；

由基本不等式得4+2〃22万石，所以，必3：,当且仅当〃=幼时，取等可；

8

又因为a=lg2,2b=lg5,所以故<心<[,/3正确:

8

由于〃=lg2>0,/?=lgV5>lg2,所以">lg22,。正确

13.（2020♦山东・高考真题）（多选）己知〃>0,bX）,且4+6=1,则（）

A.a2+b2>-B.2^>1

22

C.log2<z+log2Z>>-2D.yfa+\/b<xf2

【答案】ABD

【分析】根据a+b=l,结合基本不等式及二次函数知识进行求解

【详解】对于A,/+/=/+（]一4『二加2-2.+1+1>i,

当且仅当。=8=’时等号成立，故A正确：

2

对于B,a-b=2a-\>-],所以2"">2"=’，故B正确；

2

1-4-h、21

对于C,loga+logb=logab<log~~=log?—=-2,

2222I2J4

当且仅当〃=〃=，时，等号成立，故C不正确；

对于D,因为（。+曷）=1+2y[ab<1+«+/?=2,

所以&+当且仅当〃=〃=g时，等号成立，故D正确

【巩固绦习1X2023广东广雅中学校考）若正实数〃，。满足。+乃=1,则2"+4"的最小值是

【答案】2&

【详解】2"+4〃=2"+22A>2{2“皿=272，当且仅当2“=2"，即"工b=g时等号成立

24

【巩固练习2】已知实数&V满足x+3），=2,则z=3r+27'+l的最小值是

【答案】7

【解析】z=y+27v+l=3A4-3^'+1>27^^4-1=273^+1=7，

当且仅当3*=33>，即x=l,y=g时取等号.

所以z=3*+27y+1的最小值为7

【巩固练习3】（多选）已知3'=4'=12,则实数x,）'满足（）

A.B.x+y<4

I114

C.-+—D.xy>4

xy2

【答案】AD

【分析】对于4根据对数函数的性质分析判断，对于C,由已知可得工=1/312,)，=14412,从而

可得,+工=1,对于Q,利用基本不等式判断，对于其由1+'=1,得"十丁=孙分析判断.

xyxy

【详解】对于月，因为3V=4'=12,所以工=108312=丁二>(),丫=1。8/2=丁'>°,因为

lo

gi23log"

11

41O3

•og12>g|2>°,所以"i---1-------7,所以人>)‘，所以月正确；

log”log124

VV,=

对于C由3=4=12,得x=log312,>log412所以

'+―=1+1=咻3+*4=1叫12=1,所以C错误:

xylog312log412

对于Q,因为x>y>0,所以1=，+■!■>2。,，得冷，>4.所以D正确:

xyvxy

对于2因为f一I，所以》尸中>4,所以打错误.

【题型8】利用对勾函数

基础知识

当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值

4

14.当时，x+—^的最小值为______.

x+2

【答案】3

【分析】根据对勾函数的单调性求最值.

44

【详解】设x+2=/,则x+——=/+一一2,

x+2t

又由x22得f24,

而函数y=f+j-2在[4,$oo)上是增函数，

4

因此，=4时，)'取得最小值4+——2=3

4

15.已知函数/(%)=Ugx|.若Ovavd且/(♦)=/(»,则〃+4。的取值范围是()

A.(4,+co)B.[4,+8)C.(5,+co)D.[5,+oo)

【答案】C

【分析】根据函数图象得一怆"=lg〃，则一二〃，令g(〃)=。-4〃=4方十一，利用对勾函数的图象与性

ab

质即可求出其范围.

【详解】由/(〃)=/(〃)得|lgo|=HgZ?］.根据函数y=|lgx|的图象及Ovavh,

则一lg“=lg〃，即lgab=l,可得Ovavlvb,-=b,

根据对勾函数可得g(b)在(l,«o)上单调递增,则g(b)>g(l)=5.

所以。+4〃的取值范围是(5,+00)

【巩固练习1］函数产G>2)取得最小值时的x值为.

【答案】2

【分析】令x+l=«仑3),则有/(，)=/+：—1在［3,+8)上单调递增，当/=3时，即可求解.

【详解】依题意，

55

y=x+—-=x+1+---l(x>2),

x+1x+I

设x+l=«仑3).因为人/)=/+7—1在［3,+8)上单调递增，

所以当/=3,即x=2时，_)，=刀+二7(后2)取得最小值.

x+1

【巩固练习2】已知函数/*)=|lgx|+2,若实数满足b>Q>0,且/(〃)=/(/?),则Q+2〃

的取值范围是.

【答案】(3,+8)

【分析】易知,4+2=|电0+2=>旭4=旭母=>而=1,(〃<1)

2■2

d+2/?=ci—之2,注意迷里取不到等号，所以，。+H—c(3,+8)

a〃

【巩固练习3】若对任意x«l,2］,〃>-(机+1卜-1W0恒成立，求实数优的取值范围

法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质

当x=l时，—2<0,成立；

V*+1

当xe(l,2]时，由题可得加工「一对任意恒成立,

X'-X

令看了二？则有』m…EL2],

%+11

(X+1)'-3(X+1)+2X+"二__3，

x+\

9(]]

令，=x+I+——，x+le(2,3],根据对勾函数的性质可得/43,7r

x+l」I3

3

所以当x=2时，ymin=-,

(3'

故实数小的取值范围为;

I4

法二：分类讨论

2

令/(x)=/nr-(AZ?+1)X-I,

①当m=0时，〃x)=-x-l,

对任意/(x)S/(l)=-2〈。恒成立;

②当〃7>0时，函数/(X)图象开口向上，

/⑴工。

若对任意x4L2],〃x)«0恒成立，只需

'/(2)<0,

3

解得小

故当0v〃?K'|时，对任意恒成立;

③当/〃〈()时，对任意xw[l,2],.¥-1>(),

/(x)=(mr_l)(x_l)_2K_2<0恒成立：

综上可知，实数〃[的取值范围为(一'3

【题型9】判断不等式是否能成立

基础知识

(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等其中“一本'指正数，“二定”指求最值时和或积为

定值，“三相等”指满足等号成立的条件.

(2)连续使用不等式要注意取得一致.

16.(多选)下列函数中，最小值为2的是()

A.)，「+L1B.上=6+4+J

-4x&+4

C.>,=~卜。<1<1)D.y=C2-x+j2+x

2\xl-x)

【答案】CD

【分析】根据基本不等式求解最值判断力BC,根据复合函数最值求法求解判断D.

V1

【详解】对于月，y=-+-+l,当x=T时，y=--<0,不符合要求，错误:

4x4

对于%y=&+4+：[J2,当且仅当JY+4=j，+4时取等号,

由1丁+4=j]+4得3+4=1显然不成立,所以等号取不到，

即y=+4+的最小值不是2,错误;

对于C,因为Ovxvl,所以

当且仅当x=g时取等号，最小值是2,正确；

对于D,y=\/2-x+J2+x,易知一2WxW2,丁之。，

则y2=2-x+2+x+2j(2-x)(2+x)=4+2,4-*2,

当4一一=0即x=2或一2时，/有最小值4,即)，有最小值2,故D正确.

【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是()

A.若a/eR,则3+=2

B.若x>0,y>0,则lgx+lgN22"lg.「lgy

4I4

C.若xVO,贝口+-2-2」此一=一4

xVx

D.若xVO,则2，+2r>2,212一二2

【答案】D

【解析】可能为负数，如“=£=一1时，2+£=-2,.，.A错误；

ababab

•・・lgx,lgy可能为负数,如lg%=lgy=­l时,lgjr+lgy=-Z^Igxlgy=2,JB错误;

444

Vx<0,—<0,如x=-l,-=-4时，XH—=-5<-4,•,•C错误；

xxx

Vx<0,2ve(0,l),2-v>l,^2x+2-x>2y/2Tr7=2,当且仅当2'=2-)即x=0等号成立，，D

正确.

【巩固练习2］（多选）下列命题中，真命题的是（）

A.VAGR,都有V—x之）一1

B.★£。,一），使得X+Wy=6

X-1

C.任意非零实数都有2+?之2

ab

D.若X«2,4＜O）,则Jd+1+的最小值为4

【答案】AB

【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称

命题的真假判断，即可选出真命题.

【详解】解：对于月，:寸一%之工一1二＞/-2工+1=（%一1『之0恒成立，

则VxwR,都有产一工2工一1,力选项正确；

对于我当XW（l,y）时，X-le（0,-KC）,

444

AX+——=x-l+——+I>2.（X-1）——+1=5（当且仅当x=3时取等号）,

x-\x-1\X-1

44

：.x+---e[5,+co）,/.3xe（1,4-00）,使得x+----=6,4选项正确:

x-\x-1

bzj

对于C.当。＜0＜力时，一+,〈0,C选项错误；

ab

对于D,当xw（2收）时，Jx'lw（底+oo）,令rjf+lw（6,y）,

4L

y=f+：在（6,+oo）上单调递增，

4石+逑=植＞4

td-->

55

则J/+1+4

J7+］的最小值不是4,D选项错误

【巩固练习3］（多选）下面结论正确的是（）

A.若x＜4,则2x十丁二的最大值是T

22x-l

B.函数）'=芈言的最小值是2

a+4

C.函数y="三（Xqg,2）的值域是［上［上］

x3

1）.x>（）,y>0Rx+y=2I|IIJ—；十二的最小值是3

ty+\x

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式求最值判断力/〃），结合二次函数的性质判断C

【详解】时，1一2%>0.l-2x+—!—22］（1-2幻•一—=2,当且仅当l-2x=^—,即x=0

2\-2xVl-2xl-2x

时等号成立，所以l-2x+」「的最小值是2,即-2x+—!；1的最小值是1,

l-2.rl-2x

从而2x+—的最大值是T,月正确：