重庆某中学2025-2026学年高一年级上册1月检测数学试题

重庆外国语学校（川外附中）2025-2026学年高一上学期1月检

测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.命题“VaER"十2W0”的否定为（）

A.3XGR,x+2>0B.BxeR,x+2>0

C.VxeR,x+2>0D.Vx史R,x+240

2.《三国演义》是中国古典四大名著之一.《三国演义》中曾写道“卧龙风雏，得一可安天下”,

据此分析“得到卧龙或风雏”是“安天下”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知某扇形的弧长与面积的数值都是2,则这个扇形中心角的弧度数为（)

A.1B.2C.3D.4

4.已知集合4={-1,3,/},5={1,«+2},且4U8=4,贝()

A.-1B.1C.±1D.2

5.函数/（x）=x+l咬-4的零点所在的区间是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

6.已知函数为偶函数,则。=（）

A.-1B.0CTD.1

7.函数/（4）的部分图象如图所示.则/（x）可能是（）

试卷第1页，共4页

A./(.r)=x+tan.¥B./(x)=x2+sin|x|

C./(x)=x-sin.YD./(x)=x+sirLV

8.已知/(x)是定义在R上周期为2的函数，且的图象关于x=l对称.当2KxK3时,

小)7一2,则/图=()

A.-7B.C.~D.7

2222

二、多选题

9.已知集合〃={x|lWx<4},N={xX-5x+6V0}贝ij()

A.MCN={M24XW3}B.Mc(”)={x|l4x<2或3Vx<4}

C.&A/)uN=RD.MD(«N)=R

10.声强级%(单位：dB)由公式£/=10xlg：给出，其中/为实际声强，/。为参考声强.常

,0

人听觉能忍受的最高声强级为12()dB,对应的声强为/“下表为不同场景的声强级：

场景声强级/dB

图书馆20〜30

地铁站80〜90

已知在图书馆和地铁站测得实际声强分别为/|“2,则()

l2,056

A./m=lO/oB./m<10/tC.A>10/,D./2<107,

11.函数/(x)=[x]的函数值表示不小于x的最小整数，例如[2]=2,同=3,则()

A.f(-n)=-3

B.对任意的xeR,有x«[x]<x+l

C.当-1<〃<0时，方程/(x)=x+。有无数多个实数解

D.若存在xeR,使得/(x)=2,/(/)=3,A,/卜")=〃+1,则正整数〃44

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.化简：(1呜3+310取3)(既32+2唾92)=.

13.函数y=sin(-x+1)(xe卜冗,兀])的单调递增区间为.

14.若e"+a=lgb+b2=lnc+c3=0,则a,6,c的大小关系为.

四、解答题

15.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层.某建筑物准备建造可使用25年

的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为5万元.已知该建筑物每年的能源损耗费用C(单

位：万元)与隔热层厚度工(单位：厘米)满足关系C(X)=/^(0WXW10).若不建隔热

层时，每年能源损耗费用为3万元.记隔热层建造费用与25年的能源损耗费用之和为/(“

(单位：万兀).

⑴求/(》)的表达式：

(2)当x为多少时，/(力取最小值？

16.(1)已知sin(53"—a)=：,且9(T<a<270。，求sin(370+a)；

(2)己知sina-cosa=；,且ac(兀,2加)，求tan(冗一a).

,/、2/、[x2+2x-3»x<0»

17.已知函数/(X)=M+。，g(%)={(}

(1)判断/(X)在R上的单调性，并用定义证明：

(2)若。=-4,求使方程g(x)=&的实数解个数分别为1,2,3时左的相应取值范围.

18.已知函数/(x)=loga：^—(。>0比/1).

2—戈

■1M

(1)当xc时，/(x)Wl,求。的取值范围；

(2)证明：/(x)的图象是中心对称图形:

(3)若函数8⑻寸卜足汨)，其中公:年，求g⑻的取值范围.

19.(1)若证明：当~"时，ax+a<li

Ina

试卷第3页，共4页

(2)若函数/(x)=x2+丁匚在［0J上的最小值为/(/),证明：/.(.%)〉；；

1•人4

(3)若V〃?，1/"十二二＞。对八'［0,1］恒成立,求。的最大值.

1+x

试卷第4页，共4页

《重庆外国语学校（川外附中）2025-2026学年高一上学期1月检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABABDBCDADABC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命撅进行判断.

【详解】因为命题“立丫6旦》+240”是全称量词命题，

其否定为存在量词命题：“玉eR，x+2>0”.

故选：A

2.B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】“卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏中的任意一个，就可以安天

下，

则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件；

但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现，

则“得到卧龙或凤雏''不是“安天下”的必要条件；

则“得到卧龙或凤雏''是"安天卜的充分不必要条件.

故选：B.

3.A

【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解即可.

【详解】设该扇形的圆心角为白,半径为「，

I=ctr=2

则’c1,所以广=2,a=\.

S=—/r=2

2

故选：A.

4.B

【分析】根据给定条件判断出81力，然后对〃进行分类讨论，最后结合集合元素的互异性

求解.

【详解】因为=所以8=4,即片中的所有元素都必须属于力，

又因为力={-1,3,/},〃={l,a+2},leB,所以1€4，

答案第1页，共11页

即"2=1，得出。=1或。=-1,

当”=1时，〃+2=3,则4={-1,3,1},8={1,3},满足Bq/,

当〃=-1时，"2=1,»/i={-1,3,1},八{1」},不满足集合元素的互异性，

综上所述，。=1.

故选：B.

5.D

【分析】由函数的零点存在性定理判断即可.

【详解】因为函数/(》)=x+l映-4在(0,+句上单调递增.

/(3)=3+lg3-4=lg3-l<0,/(4)=4+lg4-4=lg4>0,

由函数的零点存在性定理可得函数/(x)=x+lgt-4的零点所在区间为(3,4).

故选：D.

6.B

【分析】根据题意，得到/(r)=/(x),结合指数第的运算法则，准确化简，即可求解.

【详解】因为函数/(力=(2、；)(；")为偶函数,

(2：+1)(—工+4)(2X+l)(x+67)

所以/(-x)=/(x)，即

(2-x+l)(f+4)_(彳+D(r+")(l+2r)(-x+t/)

又因为

---1

T

可得(l+2")(r+a)=(2\g+a),即(l+2，)(-x+4)二(2”*+。)

1-2X-2'-1''1—2"一\-lx

所以一x+〃=-(x+a),解得“=().

故选：B.

7.C

【分析】对于A,利用正切函数的定义域即可判断；对于B,利用该函数的奇偶性即可判断;

对于C,D,根据两函数在(0,兀)上的函数值与函数丁=工的对应函数值的大小比较，结合图

象即可判断.

【详解】对于A：若/(x)=x+tanx,因tanx在x=£处无定义，则函数图象在xw(-左上

答案第2页，共11页

应有间断，故A错误.

对于B：/(x)=/+sinM是偶函数，图象应关于N轴对称，故B错误.

对于C,D：对于/(x)=x-shu,当0<x<冗时，0<siiu<1,/(x)=x-sinx<x,

即/(x)=x-sinx在(0,兀)上的图象应该分布在直线y=x的下方，图形符合题意；

而对于/(r)=丫+sinx,当OVXVTT时，OvsinxVl,r+sinr>r,

即/(x)=x+siiu•在(0,兀)上的图象应该分布在直线N=x的上方，图形显然不合要求.故C正

确，D错误.

故选：C.

8.D

(3、(1

【分析】利用图象关于x=l对称，得到/再利用周期为2得到

，(外咽《故同=,

【详解】因为函数/(力的图象关于x=l对称，所以/(1+幻=/。7)；

令V,得到卜/《)

又因为/(X)是定义在R上周期为2的函数，

所以/出=/(”卜同=白2=9所以同T

故选：D.

9.AD

【分析】根据集合交、并、补运算求解即可.

【详解】={.r|x2-5x+6<0}={x|2<x<3}.

选项A："cN={邓3<4}C{X|2KXK3}={H2WXK3},故A正确；

答案第3页，共11页

选项B：4N={xk(2或中卜”74叼二卜|1。<2或3c<4},故B错误；

选项C：={x\x<\^x>4],(Q")uN={xk<l或2WxS3或xN4},故C错误；

选项D：aN={x|x(2或t}3},MU(QN)=R,故D正确.

故选：AD.

10.ABC

【分析】根据所给定义，结合对数的运算性质和不等式的性质，逐一分析计算，即可得答案.

【详解】选项A：由题意得120=10xlg2,整理得12=lg},则}=101

即/”=lO/o,故A正确；

选项B：图书馆声强级:20<10xlgA<30,则2«lg，W3,则102MX此

所以102/。式/1vio)。，得击w/°w在

则/,”=1。设/041()乜，故B正确；

选项C、D：地铁站声强级：80<10xIgi-<90,则8Klg，K9,得10乜勺〈10〉

’0‘0‘0

所以10/4/2G06，

由B项得，舟岛-，则10'W，W10‘，BPIO^^Z^IO7/,,故C正确，D错误.

故选：ABC

11.ABD

【分析】根据函数/")=[可的定义即可判断出选项A、B：将方程问题转化为值域问题，

结合选项B的结论，进而判断选项C；依次联立*=1到次=〃的不等式，判断是否存在交集,

从而确定〃的最大值，即可判断选项D.

【详解】选项A：根据定义，/(-兀)=卜可，不小于一兀的最小整数是-3,所以〃-兀)=-3,

故A正确；

选项B：/(力=同的函数值表示不小于x的最小整数,所以㈤Nx,K[x]<x+1,

所以对任意的xwR,有xV[x]<x+l,故B正确；

选项C：方程/(x)=x+"可化为卜]-x=〃.

答案第4页，共11页

令g(x)=[x]-x,根据x«[x]<x+l可得，0<[x]-x<l,gpo<g(x)<l.

当+(〃eZ)时，[x]=/?+1,

贝iJg(x)=[x]r=〃+17，在区间+上单调递减，且O«g(x)<L

所以对于-1<4<0,g(x)=。无实数解，故C错误；

选项D：若/（力=2,则l（xW2;

若/(一)=3,则2</43,V2<X<V3:

若/(1)=4,则3</44,也<x<V4：

若/卜4)=5,则4</<5,V4<x<V5:

若/(一)=6,则5c/46，痣<xK浜:

因为31。=9s=59049,66=（63）2=2162=46656,所以3*0*,

所以（3叩>（6,广，即9>6上也即随〉痣，

所以冷<xW也与约四无公共部分，即不存在xcR，使得/（丁）=4,/（/）=6成

立.

所以当〃=1,2,3,4时，存在满足条件的x值，当〃-5时，不存在满足条件的x值,

故正整数〃<4,故D正确.

故选：ABD.

12.3

【分析】利用换底公式以及对数运算的性质，可得答案.

31n3

【详解】(1呜3+310gs3)(log2+21og2)=幺晅

39"inT3In9)

r

__ln3_3ln3Vln221n2^^ln3,ln3Y1n2।In2j31n321n2,

"21n2+3h^Jlin3'+21n3Ll-l21n21In^llnS^^

<21n2In3

故答案为：3.

五.35兀n

13.一兀,一二和—,71

66

【分析】根据正弦型函数的单调性求解即可.

【详解】_F=sin-x+^=-sin

3/

答案第5页，共11页

求尸呵T+习的单调递增区间等价于求…中-辨单调递减区间.

4,—+2Z7tx--<—+2KH,A-GZ,解得2+2ATT«x4'!~^+2而，keZ.

23266

当*=0时，学GV孚,与何一匹兀］交集为学Wh

666

当A=-l时，,与工式设兀］交集为-兀4x4」；

661■」6

综上，函数N=sinr+g）（xe［-兀,可）的单调递增区间为-兀，-，和珠，兀.

故答案为：-冗,和r，7c.

_6Jo

14.a<b<c

【分析】由^+“=0证明。<0,判断函数N=1耿，在（。,+8）上的单调性，利用零

点存在性定理证明6cd』），再利用零点存在性定理证明cw］］,［，结合关系

lgx+/>Inx+d证明。<6<c,从而得到。<6<c.

［详解］e"+a=0,二ea=-atve0>0>.t.-a>0,a<0»

vlgb+b2=0,Igb=-b2,

设y=i改，定义域为（0,+力），y=igx在（。,+8）上为单调递增函数，

设），=--在（。,+8）上为单调递减函数，

当8=1时，lgb=lgl=0,-b2=-i,此时

当b=4时，檐1=-1，-f—1此时3<一凡

ioioUoJloo

则劝心,i）,使得即=一〃，即qo

vInc+c3=0,/.Inc=-c3»

设y=hu,定义域为（0,+动，y=lnx在（0,转）上为单调递增函数，

设y=-X-在（0,+功上为单调递减函数，

当c=l时，Inc=In1=0»-c3=-1»此时lnc>-d,

---»此时Inc<-c3>

1000

答案第6页，共11页

则，使得lnc=-/,即cc,

当xc时，lgv>In工,/>/,则lgx+%2>[nx+r,

ynlgr+x?在xw1)为增函数，y=lnx+x3在为增函数,

11U，\I"/

所以Ige+i>Inc+c?3=()=1g8+b2

:.Q<b<c,

综上可知，a<b<c.

故答案为：a<b<c.

22s

15.(l)/(x)=5x+---(0<x<10)；

J人ID

【分析】(1)根据题意得C(0)=3,解得h再根据题意表示出/(外即可:

(2)运用基本不等式即可求解.

【详解】(1)由题意可知，C(0)=g=3,解得左=9,故。(x)=d^(0Wx«10),

」5x+卫

贝iJ/(x)=5x+25・(0<x<10)；

5x+35x+3

225

(2)由(1)可知，/(x'i=5x+-------,0<x<10,

5x+3

225225

贝ij/(X)=5x+3+-3>2J(5x+3).-3=2x15-3=27,

5x+35x4-3

22512

当且仅当5x+3二时，即x=(时，等号成立,

5x+3

Io

因此当X=1厘米时，/(X)取最小值27万元.

16.(1)—巫;(2)--

54

【分析】⑴根据三角函数的诱导公式，得到sin(37°+a)=cos(53'-a),结合三角函数的

基本关系式，即可求解;

243兀

(2)根据题意，求得2si「acosa=一得到aen>~2,利用三角函数的基本关系式，求得

25

7

sintz+costz=-y,联立方程组，求得sina,cosa的值，结合诱导公式和商数关系，即可求

解.

【详解】(1)解：由5山(37。+。)=(:08|"90。-(370+匈］=8453。-4,

答案第7页，共11页

因为90'<a<270°,可得-217°<53°-a<-37%

又因为sin（53-a）=（>0,所以一217°<53°—a<-180°,

所以cos（53-a）=-J-sin?（53"-a276

5

所以sin（37'+a）=-2^5；

（2）4帛：由sina-cosa=；,平方得（sina-cosa

=1-2sinacosa=—,

725

/124

可得2sinacosa=1----=——,且sinacosa>0,

2525

<3兀、

因为ae(a2兀)，所以ae7i,—,此时sinav0,cosa<0,则sina+cosa<0,

497

又因为（sina+cosa）-2=l+2sinacosa=—,所以sina+cosa=一,

1

sina-cosa=-、

534

联立方程组7’解得sina=——,cosa=——

sina+cosa=——

5

_3

LL.、，（\sinas3

所以tan（n一a）=-tana=------=—+=一

cosa_44

-5

17.(l)/(x)在R上单调递减，证明见解析；

(2)答案见解析.

【分析】(1)根据函数单调性定义可证明/(X)在R上单调递减;

(2)画出函数g(x)的图像,结合图像进行求解.

【详解】(1)/(“在R上单调递减.

证明如F：

由于/(x)的定义域为R,任取用<々,

2

则/（6/伍）=-

222（2XJ-2X|）

2A'+1-2AJ+1-（2x'+l）（2l2+l）

因为再〈占,所以2演〈2勒，即2r2—2演>0.

又2"+1>0，2七+1>0,

答案第8页，共11页

所以所以/&)>/(今)，

所以函数/'(X)在R上单调递减.

x2+2x-3»x<0

(2)当〃=-4时，得g(x)=2,0

当x«0时，g(x)=x2+2j-3=(x+l)"-4>-4,

2

当x>0时，g(x)=^—j—4,则一4<g(x)<-3,

则方程g(x)=左的实数解个数为1时，〃的取值范围为：(-3,+功3-4},

方程g(x)=%的实数解个数为2时，2的取值范围为：卜3},

方程g(x)=4的实数解个数为3时，左的取值范围为：(T-3).

18.(1)(0,；u(l,+oo)

(2)证明见解析

0)°5

【分析】(1)结合函数的单调性，分0<4<1和。>1两种情况讨论，由/(x)mx5求实数。的

取值范围.

(2)探索/(l+x)+/(l-x)的值，可得函数的对称性.

(3)研究真数8(0)=/仲】20)=噢1J"?处方=_1+2的范围,再根据函数的

'7§2-sin02-siir0

单调性求函数的值域.

答案第9页，共11页

【详解】(1)由2)<0=0<x<2,所以函数〃x)的定义域为(0,2).

2-x

-171「］2"

由=0,2),所以函数/(X)在上有意义.

■Ln—

设/(x)="=T+J-，则1X)在L上单调递增.且/住］二；，

Z—X2-X!_，•$」\3/Z

所以，(x)w.

则问题转化为bgjwi,恒成立，求实数。的取值范围.

当0va<1时，函数y=bg/在上单调递减，所以

・■

(l°g。，)max=1-1=10S«

结合”0可得Ova］；

当空1时，函数y=bg,J在上单调递增，所以。OgjL=l0g”：Wl=loga。=

LJ4」/>N

结合a>1可得a>1.

综上可得，实数〃的取值范围为(0,』u(l,+8).

(2)因为函数/")的定义域为(0,2),所以若/(力为中心对称图形的话，对称中心的横坐

标一定是x=l.

又因为

/\/\11+X.1—X14-Y1—Y

/(1+X)+/(17)=log”用的+log”可f=1。&工+log“二

=log。log/户］=bg“产一l°g“产=°・

1-XV-X)1-X1-x

所以函数/'(X)的图象关于点(1,0)成中心对称.

⑴当"轲，g⑹=/际*)=噢鼠晟=嗔卜+2、