2026高二数学寒假复习讲义：空间向量及其运算（原卷版）

专题01空间向量及其运算

内容导航

喂串讲知识：思维导图串讲知以点，有的放矢

CQ重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

r考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

知识点1：空间向■的有关概念

1、空间向量的有关概念

（1）空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的晟♦叫做向量.

（2）空间向量的长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模.

（3）表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母氏c,…表示，若向

量。的起点是A,终点是8,则向量。也可以记作人B，其模记为间或„

2、几类特殊向量

（1）零向星：长度为0或者说起点和终点重合的向星，记为6.规定：6与任意向星平行.

(2)单位向量：长度为1的空间向量，即|五|=1.

(3)相等向量：方向相同且模相等的向量.

(4)相反向量：方向相反但模相等的向量.

(5)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量.五平行于沆己作日〃人

(6)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

口知识点2：空间向■的运算

】、空间向量的加法运算

2、空间向量的减法运算

三角形法则(共起点)

3、空间向最加减法运算律

(1)交换律：a+b=b+a(2)结合律：(G+3)+1=d+(B+?)

方法总结：

(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。

4、空间向量的数乘运算

(1)定义：实数;I与空间向量值的乘积府仍是一个向量，称为向量的数乘运算.我的长度是G的长度的囚

Aa(2>0)2a(A<0)

当久>0时，2d与d方向相同；

当入<0时,入日与五方向相反;

当2=0时，Aa=0.

(2)运算律：分配律：A(a+b^=Ad+Abi结合律：入(〃d)=(Xp.)a.

匚：知识点3:空间向量共线定理

2

I、空间向量共线的充要条件：

对任意两个空间向量G,b(b0)，d〃前勺充要条件是存在实数九使得a=2反

2、直线的方向向量：与向量。平行的非零向量称为直线/的方向向量.

3、证明空间三点共线的三种思路：

对于空间三点P、4、8可通过证明下列结论来证明三点共线

(1)存在实数九使百=a而成立.

(2)对空间仟一点().有9=OA+tARaFR).

(3)对空间任一点0,有加=xOA+yOB^x+y=1).

亡知识点4：空间向■共面定理

I、定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

2、向量共面的充要条件：如果两个向量落石不共线，那么向量旧与向量入3共面的充要条件是存在唯一的

有序实数对(％,y),使Q=xa+yb

3、向量共面证明：

(1)证明点P在平面A8C内，可以用方=%而+也可以用赤=耐+若用而=

xOA+yOB+zOC^则必须满足％+y+z=1.

(2)判断三个向量共而一般用]=x&+y求

证明三线共面常用方=xAB+yAC，

证明四点共面常用而=赤+z近(其中x+y+z=l)

L：知识点5：空间向量的数量积运算

1、定义：已知两个非零向量出b,则间向cos值㈤叫做避3的数量积，记作di,即「i=

\a\\h\cos(a,b).零向量与任何向量的数量积为0,特别地，a-a=\a\2.

注意：数量积是数量，不是向量。

2、数量积满足的运算律

(Aa)S=A(aS)；ab=ba(交换律)；a-(b+c)=a-b+ac(分配律).

3、空间向量数量积的性质

设二族是非零向量，G是单位向量，则

③a-e=e-d=\a\cos[a,e)：②Gi5<=>a-5=0;

③同2=d.2或同=75•出®cos{a,b)=j^i；⑤•同W|G|•同

3

4、向量夹角：已知两个非零向量除b,在空间任取一点。，作比？=d,OB=b,则NZ08叫做向量d,b

的夹角，记作<五,3>,范围：通常规定0WV五石>47T,如果<必5>=，那么向量五，下互用垂直，记

作。1b.

5、数量枳的应用

(1)利用数量积求模长

如果知道G,3的模长，以及G、族向量夹角，则可以根据忖±可=J(d±B)2=J，?±2d・1+岸求日±»向

量的模长

(2)利用数量积求夹角

根据cos(d,E)=就可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角

5、向量的投影

1、向量G在向量石上的投影向量

如图，在空间，向量G向向量B投影，由于它们是自由向量，因比可以先将它们平移到一个平面G内，进而

利用平面上向量的投影，得到与向量秧线的向量乙c=\a\cos<a,b>^向量谕为向期在向量让的

投影向量.

2、向量G在平面夕上的投影

如图，向量,向平面夕投影，就是分别由向量值的起点力和终点8作平面0的垂线，垂足分别为4,夕，得到

向量彳百，向量福称为向量d在平面夕上的投影向量.这时向量出旃的夹角就是向量2所在直线与平面0

所成的角.

知识点6：空间向・基本定理

1、定义：如果三个向量d,b,不不共面，那么对空间任一向量心存在唯一的有序实数组Q,y,z),使

p=xd+yb+zc-

2、基底与基向量：如果三个向量力反才不共面，那么所有空间向最组成的集合就是｛训/=%G+y族+

zc.x.y.zER｝,这个集合可以看作由向量乙b,^生成的，我们把｛日,九码叫做空间的个基底，丘，b,

4

[都叫做基向量.

说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

3、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直：那么这个基底叫作正交基底，特别地,

当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用口，忌表示.

4、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解.

知识点7：空间向量及其运算的坐标表示

1、空间中知道两点求向量;若力（孙力,21）,8（%2，%，，2），则

AB=OB-0A=（x2,y2,z2）-（x1,y1,z1）=（x2-xlty2-yltz2-zj

2、空间中知道两点求距离:若4aLy1，21）,8（%2，、2/2），则

西=J（不一与）2+（ya-y]）2+（Z2—ZJ2

3、空间两点中点坐标的运算

空间中有两点人不）"）,8（毛,无，22），则线段AB的中点C的坐标为受尹,吗之.，五十包.

4、向量加减法、数乘、数量积的坐标运算

若a=a，y,zj,〃=（占，为,zj,则

@a+b=（x}+x2iyl+y2,zi+z2）;②a—Z?=（不一/，）【一）’2，4-z2）;

（3）izz=（2x1,2y1,Azl）（2G/?）；®a-b=+）\y2+z）z2

5、空间向量的模及两向量夹角的坐标计算公式

若4=（X],y,zJ力=（%,%22），则

①卜卜&+城+42

iCzd"M/+）：2+Z|Z2

一，HH+2+222

7<>IIVV+^2+V

6、空间向量平行和垂直的条件

若4=（4,凶，4）力=（%2，月;2）,则

（A）a!1b=。=劝ox=AX2,y]=冗％，4=e/?）<=>—=—=—（x^y^工0）

A2%Z2-

②。_LZ?<=>〃•〃=0<=>J^X,+y）\+Z]Z2=0

规定：0与任意空间向量平行或垂直

©必考题曼

【题型1空间向量线性运算】

5

高妙技法

空间向量加法运用三角形法则（首位相连）与四边形法则（对角线），空间向量运用减法三角形法则（共

起点）。

1.（25-26高二上•河南新乡•月考）在四棱锥中，底而A8C。是平行四边形，ACA8O=O,则

PA+PB+PC+PD=（）

A.2OPB.2POC.40PD.4Po

2.（25-26高二上•广东清远•期中）在长方体A6CO-A4G4中，A4+8C+CG-DC；等于：）

A.ARB.AC〕C.ADD.AB

3.（25-26高二上•重庆・期中）如图，在三棱锥A—BCO中，E为CO中点，BC=a，BD=b，84=c，

B.-a+b+c

2

n1r1

D.-a+—b+—c

22

4.（25-26高二上.广东东莞•期中）如图，已知平行六面体488-49。力'，则43+3C+CC'=（）

C.ACD.B'D

【题型2空间向量共线定理及应用】

高妙技法

若空间三点4、B、P共线，常考的两点有：

1、对线外一点0，有而=x®+y而（x+y=1）.

2、存在实数2,使瓦5=4而成立.

1.（25-26高二上•天津武清•月考）设向量q,%,与不共面，已知48=0+6+%，BC=ex+Ae2+e3,

CD=4e,+Se2+4e3,若八，C,D三点共线，则4=()

6

A.1B.2C.3D.4

2.（25-26高二上•山东淄博•期中）在斜三棱柱A/ec-AMC中，M为8。的中点，N为AC靠近G的三等

分点，设AB=a,AC=Z?,/V\=c,则用a,b,c表示NM为（）

c1.1r

A.-a+—b-cB.—ciH—b+c

2626

「・

C.—1a——1b,-c-D.——1a.——1b/+c

2626

3.（25-26高二上.重庆・月考）如图，在四面体。WC中，M为棱3c的中点、，点N,P分别满足

ON=2NM，NA=3NP，则OP=（）

221

B.-OA+-OB+-OC

993

2-12

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

939333

4.（25-26裔三上•云南昆明•期中）在平行六面体中，M为8G与BC的交点，若

D4="DC="O2=c,则下歹ij向量中与AM相等的向量是（）

【题型3空间向量共面定理及应用】

高妙技法

向量共面的充要条件：如果两个向量d,族不共线，那么向量力与向量出不共面的充要条件是存在唯一的

7

有序实数对（％,y）,使万="五+丫族

证明四点共面常用而=+y而+z沉（其中x+y+z=1）

1.（多选）（25-26高二上•河北•期中）关于空间向量a、b、c,下列说法正确的是（）

A.若a与b共线，》与c共线，则。与c共线

B.若存在实数4、N,使得c=/la+W，则〃、8、c共面

C.若｛。及用，℃｝是空间的一个基底，且0/）=g04+；04+；0C,则ABC。四点共面

D.若｛a，b,。｝是空间的一个基底，则｛a+〃，b+c,c+4也是空间的一个基底

2.（25-26高二上•重庆•月考）已知平面内有四点P,4,8C,其中A,B,C三点不共线，且。为平

14

面ABC内一点，若OP=-xOA——OB+—C,则”=（）

53

人2卜2「8-8

A.——B.——C.—D.——

15151515

3.（25-26高三上•黑龙江・月考）已知正方体A3CO-44G〃，点M,N,尸分别在棱AB,CC）,AD

上，且A〃=3M8,CN=NC,&P=3PDi，过M,N,尸三点的平面与棱人4相交于点Q,若

则2=（）

A.2B.3C.4D.6

4.（25-26高二上•广东•期中）已知三棱锥--A8C的体积为5,二8C尸是边长为4的正三角形，点。为

心的中点，点Q满足AQ=2XAO+*C+（ZT）AP,且x+y+z=1,则|AQ|的最小值为（）

A或BaC.递D.史

1612412

【题型4空间向量求数量积】

高妙技法

运用数量积公式，求数量积的范围及最值是数量积应用中比较难的部分，要熟悉几何意义、投影、极化恒

等式。

1.（25-26高三上•陕西榆林・月考）在正三棱柱中，A6=44,=2,点/，为侧面434A内的一

点，则PC，G的最小值为（）

A.|B.2C.芈D.2x/2

2.（25-26高二上•湖南•月考）在棱长为2的正方体ABCD-A4GA中，ABDQ=（）

A.4&B.4C.2>/2D.2

3.（25-26高二上•河南洛阳・期中）在校长为4的正方体ABC。-A⑸G2中，点M在该正方体表面上运

动，球。为该正方体的内切球，P。为球。的一条直径，则MP・MQ的取值范围是（）

8

A.[<8]B.[0,8]C.[0,4]D.[4,12]

4.（25-26高二上•山东聊城•期中）在校长为1的正四面体A3C。中，点E为A3的中点，点尸在CO上,

且CF=2F£>,则石户.人。为（）

【题型5应用空间向量数量积求模长、夹角、投影】

高妙技法

1、求向审的模，可以把向最分解成几个已知向审的和，利用向展的平方来求。

2、求两直线的夹角，可以通过方向向量的夹角来求，但注意向量夹角范围与直线夹角范围不一致。

3、求投影，注意投影向量是个向量，要成方向上的单位向量，且投影的几何意义也是求数量积最值的常

用方法之一。

1.（25-26高二上•陕西渭南•期中）已知|〃|=2,空间向量e为单位向量，标〉=笄，则空间向量a在向

量e方向上的投影向量为（）

A.eB.—pC.—cD.—e

22

2.（25-26高二上•江西赣州•期中）在正三棱锥夕-ABC中，24/8=#小附，皮尸分别是P4P8的中

点，则vEF,8P>=（）

3.（25-26高二上•山东济南•月考）已知空间向量〃，〃的夹角为上，且卜卜2,恸=1,则々+2〃与。的夹

角.

4.（多选）（25-26高二上.新疆喀什•期中）三棱锥O—A4c中，OA,OB,OC两两垂直，且

OA=OB=OC,下列命题中正确的是()

A.(OA+O8+OC)2=3OI

B.BC(CA-CO)=0

C.三棱锥O—A8C的体积为，|(A&AC)8C|

D.(OA+O8)和C4的夹角为60°

【题型6空间向量基本定理】

高妙技法

用基底表示向最的步骤

9

I.定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；

2.找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结

合相等向显的代换、向我的运算进行变形、化简，最后求出结果；

3.下结论：利用空间向量的一个基底折，b,可可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含

有d,b,c,不能含有其他形式的向量.

1.（25-26高二上•内蒙古包头•期中）已知｛小d。｝是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.a,b+c,a+b+cB.a.b+c,2a+3b+2c

C.a,b-cta-b+cD.a,h+c,2a+3/2+3c

2.（25-26高二上•广东茂名•期中）如图，M、N分别是四面体。WC的边OA、的中点，P是MN靠近

N的三等分点.若向量a=OA，b=OB，c=OC，则OP=（）

B.-a+-b+-c

336

13-3

D.-a+-b+-c

633488

2.（多选）（25-26高二上•河南•月考）在平行六面体人88-/\5©2中,

AB=AD=2,AA,=3,ZBAD=ZBAA.=ZDA\=,点七是CQ上靠近G的三等分点，设

AB=a,AD=b,AA,=c,则（）

--2一

A.D、B\=a-bB.AE=a+b+—c

C.AE=4D.D^IAE

3.（多选）（25-26高三上•河南•月考）在棱长为2的正方体ABC。-ABC%中，

AP=xAB+yAD+zAA],则（）

A.若x+y+z=l,则AG_LBP

B.若z=l,x+y=l,且xNO,y>0,则直线川与所成角的最小角为夕

6

C.若x+），+z=g,则点。所在的平面截止方体所得的截面面积为坐

10

D.若x+y+z=2,则直线CG和直线。/所成角可能为g

6

4.（25-26高二上•内蒙古赤峰•期中）已知四棱柱再GQ的底面是边长为6的菱形，•平面

ABCD,M=3,/。8A=],点2满足APuZAB+HAO+fAA,,其中2,〃，/e[O,l],则（）

A.当。为底面48coi中心时，2+//+r=|

B.当4+〃+/=1时，”长度的最小值为迈

2

C.当2+〃+，=1时，A尸长度的最大值为8

D.当义+〃+/=1时，AP长度为定值.

【题型7空间向量坐标表示】

高妙技法

用坐标表示应用于空间向量的关系中，点坐标的表示、向量的表示、向量的运算、共线共面、基底。

1.（25-26高二上•重庆•期中）在空间直角坐标系中，已知点A（2,-3,3）、8（—2,1,-7）,则线段A3的中点

坐标是（）

A.（0,-2,-4）B.（0,-1,-2）C.（0,2,4）D.（0,1,2）

2.（25-26高二上•北京•期中）已知空间中三点4（-1,3,。）,3（0,3,1）,。（乂），"），。与41不重合，则使

A,8,C三点共线一个点C的坐标可以是.

3.（25-26高二上.北京・月考）已知。=（2,1,3）,Z?=（-1,0,-2）,c=（3,2,2）,若a,b,c三个向量共面，

则实数4的值为（）

A.5B.4C.3D.2

4.（25-26高二上•广东惠州・月考）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）

A.a=（2,0,0）力=（0,3,0）,c=（0,0,4）B.a=（1,1,0）,。=（1,0,1）,c=（0,1,1）

C.4=（—5/,1）为=（1,1,0）,c=（1,0,1）D.a=（2,2,1）力=（1,0,1）,c=（1,2,0）

【题型8空间向量坐标应用于数量积】

高妙技法

用坐标表示应用于空间向量数量积的应用中，包括求模长、求夹角、求投影，垂直关系等。

1.（25-26高二上•陕西西安・月考）在空间直角坐标系中，A（2,0,0）,B（0,2,0）,。（乂3,a），且

ABLBD,则工=.

2.（多选）（25-26高二上•福建厦门•月考）已知空间向量a=（2,T,3）,b=（T,2,x）,下列说法正确的是

II

A.若3a+〃=（2,-IJ0）,则％=1

B.若allb，则x=-6

C.若〃在〃上的投影向量为;6,则x=4

<10

D.若々与/；夹角为锐角，M.ve-,+co

IJ/

3.（多选）（25-26高二上•福建原门•月考）已知空间向量84=（124）,8c=（0,-2,1）,则（）

A.BABC=0

B.|CA|=>/26

C.C4在CB上的投影向量为（0，-2/）

D.向量是与8c平行的一个单位向量

\JJ/

4.（25-26高二上•四川成都・月考）设x,y,zeR,a=（l,l,l）,1=（1,y,z）,c=（x,-4,2）,且"_Lc,

b〃c，则|2〃++（）

A.2>/2B.3\/2C.3D.2G

复习提升

1.（25-26高二上・安徽•期中）如图，在正四棱锥0-A5C力中，点M是棱A8的中点，点N在线段OM

2——

上，点P在线段CN上，点Q在平面ABCO内，且MN=3ON,CP=-CN,OQ=WP,则;I的值为（）

J

2.（多选）（25-26高二上•广东深圳,期中）在校长为2的正方体ABC。-A4cA中，点/>满足

BP=2BC"BB1,其中//e[0,l],则（）

A.当久=〃=1时，4尸〃平面A8COB.当丸=1时，点P在棱3片上

12

C.当”=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值D.2时，存在两个点P,使得

3.（25-26高二上•广东•期中）已知正八楂锥P—ABCOEFG"，设=PB=b，PC=c，则PO=

（）

A.