云南昆明市某中学2025-2026学年上学期高一期末质量检测数学试题及答案

云南昆明市第一中学2025-2026学年上学期高一期末质量检测

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=国-13£0},集合8=何0"小},则AU6=()

A.[—1,1]B.(-1,1)C.(0,1)D.{0,1}

2.已知命题〃：x=2,命题q:/=4,则〃是乡的(〕

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数y=五的图象大致为()

4.若单位平面向量〃，〃夹角为向量加=〃+〃，向量〃=〃-〃，则下列命题为假命题的

是()

A.闷二向B.tna=\

C.m//nD.m±n

5.函数/在)=2”+咋2.»的零点所在区间为()

A-(W)B-[?!]C.(1,2)

D.（2.4）

6.taM和tan8是关于x的方程6x2—5x+l=0的两根，则ian(4+8)=()

A.—5/3B.-1C.ID.V3

7.若。=1呜3,匕=0.5°浜=丘052,则实数。，瓦c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

8.已知正数“为满足,+'=1,则下列选项错误的是（）

at）

A.4十〃的最小值为4

B.4石的最小值为2

C.6+扬的最小值为2夜

D.出?+。的最小值为6

二、多选题

/X

9.为得到函数），=sin2x-^的图象，只需把函数y=sinx图象上的所有点（）

A.先向右平行移动:个单位，再横坐标缩短到原来的纵坐标不变；

B.先向左平行移动。个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变：

C.先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动g个单位；

D.先横坐标缩短到原来的5,纵坐标不变，再向右平行移动?个单位；

10.己知ae（0,7i）,sina+cosa=1,则下列结论中正确的是（）

・c24

A.sin2a=-----

25

Bn.sin2ra=—12

25

C.sina-cosa=（

c.7

D.sina-cosa=—

5

11.（多选）V48c中，A8=AC=5,BC=6,点。满足4P=x48+yAC,设％=,则（）

试卷第2页，共4页

A

A.若尸为V/WC的重心，则4=Q

J

B.若尸为V/WC的内心，贝口=[

O

C.若。为VA8C的垂心，贝1」4二二

16

D.若"为VA8C的外心，则/!=?

三、填空题

⑵若/（加｛：』：：：。，则“⑴上——

13.已知/"）是R上的奇函数，且1）=0,/（X）在（一。）上单调递减，则不等式

0’（力＞。的解集为.

14.设平行于x轴的直线;与函数），=/和），=e“2的图象分别交于A8两点，若在）,二『的

图象上存在点。（天,为），使得VA3C为等边三角形，则用=.

四、解答题

___/21

15.已知4=16?+病，B=3小凉—8出力3+-6a6b6,。＞0且》＞().

⑴计算A并化简8；

（2）若恭函数〃力=/的图象恒过点（AB）,求。的值.

16.VABC中,sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.

⑴求A；

（2）若8C=1且AB+AC=2,求VA8C的面积.

17.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与

时间Z(单位：h)之间的关系为污染物的初始含量6=1,其中攵是正的常数,

如果在前5h消除了10%的污染物.

(I)求人的值.

(2)10h后还剩百分之几的污染物？

(3)污染物减少50%需要花多少时间(精确到lh)?

(参考数据：log23Hl.5851og25=2.322)

18.已知函数/(x)=log2(aF-4at+6).

(I)当。=1时，求不等式/*)N1og23的解集；

⑵若/(X)的定义域为R,求。的取值范围；

(3)若/*)的值域为R,求。的取值范围.

19.函数/(x)=2(asinx+cos.v)(Zx:os.v+sinx)-(a+Z?)的最小正周期为了，

⑴若〃=04=1时，求的值域；

⑵若/⑺=1，

①求人-4;

②若/(葭)在(0,+8)的零点从小到大依次为N，"…％〃wN,记［可表示不超过X的最大

整数，求［24］.

试卷第4页，共4页

《云南昆明市第一中学2025-2026学年上学期高一期末质量检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案AAACACADADAC

题号11

答案ABC

1.A

【分析】根据集合并集的概念和表示方法求解即可.

【详解】因为集合A=集合8={x[O<x41},

所以Au5={x|-lKxKl}=[-1』，

故选：A

2.A

【分析】解方程f=4,利用集合的包含关系判断可得H结论.

【详解】解方程丁=4,得x=±2,因为{2}是{-2,2}的真子集，故〃是的充分不必要条

件.

故选：A.

3.A

【分析】首先判断函数的定义域和值域，再根据寻函数的性质判断即可.

【详解】函数y=4的定义域为{"CO},值域为{ylyNO},排除B,D选项，

又函数）,=&=）函数图像为曲线非直线，故C错误，

A选项图像大致符合函数绍像.

故选：A

4.C

【分析】对于A,通过计算模的平方并利用垂直条件得出模长相等：对于B,直接展开数量

积并代入已知条件求得定值；对于C,假设平行后利用基底不共线推出矛盾；对于D,则通

过展开数量积验证其是否为零来判断垂直关系.

【详解】已知单位向量a、。的夹角为?，因此同=,卜1,♦〃•〃=（）且〃?=。+"

A选项：=a2+2ab+b2=14-0+1=2,|/«|=>/2,

\n\~=a2-2ab+b2=1—0+1=2,\n\=>/2,

答案第1页，共11页

故|同=同,A为真命题;

B选项：ma=^a+bya=a2+ba=\+O=\,B为真命题;

C选项：假设/〃〃，则存在2使。+人=%(。一人)，

整理得：(1-2)67+(1+2>=0,

由于。与0不共线(夹角为90),则1-4=()且1十2=0,

此方程组无解，矛盾，故用与”不平行，C为假命题；

D选项：inn=[d+b\[ci-b^=d2-b2=\-\=0

所以"?_L〃，D为真命题.

故选：C

5.A

【分析】根据零点存在性定理，结合函数的单调性即可计算端点处的函数值求解.

【详解】因为y=2'和y=k)g好在(0,+8)上均单调递增，

所以/("=2，+1限工在(0,+力)上单调递增，至多存在一个零点,

因为f(4)=2；+log2：<2i—2,即

⑷-4⑷

f(£j=2；+log1>20-l,即/(£]>0,

所以函数〃力=2、嚏2/的零点在区间\,£|,

故选：A

6.C

【分析】利用二次函数根与系数的关系与两角和正切的计算即可.

【详解】由tanA和tanB是关于x的方程6/—5x+1=0的两根，

则taM+tanB=—,tanA?,

66

5

/“tanA+tan8A.

tan(A+B)=----------------=—^-=1.

1-tanAtanB]_，

6

故选：C

7.A

答案第2页，共11页

【分析】分别将工•与0,1比较即可得解.

【详解】因为4=log23>log22=l,

b=0.5°s<0.50=l且。>0，

C=logo.52<10go.51=0»

即4>l,0<Z?<!,c<0,

所以a>/?>c,

故选：A

8.D

【分析】利用…=(。+"弓+£|=2+3+2结合基本不等式判断A,利用基本不等式判断

B,由(&+〃)=。+〃+2，区结合AB中结论判断C,对于D由,+[=1解得〃=/、，

所以帅+〃=至三,再利用换元法和基本不等式求解最值.

a-1

【详解】因为‘+[=1,且"〃>(),

ab

对于A,a+b=(a+b)L—)=2+1+,之2+2,lxJ=4,

当且仅当2=，，即a=〃=2时等号成立，

所以a+)的最小值为4,说法正确；

对于B，由基本不等式得:+*22怎,解得点22,

当且仅当L=2，即a=〃=2时等号成立，

所以疝的最小值为2,说法正确；

对于C,因为(&+扬)=a+b+2\[ab,

由AB得a+4,2s/ab>4f

所以〃+〃+2必i8,当且仅当。=。=2时等号成立，

所以&+的的最小值为20,说法正确：

对于D,由,+：=1解得力=-^(">1),

aba1

答案第3页，共11页

,.aa2+a(a-\)2a2-

贝miIJ出?+。=a----+a=----------------=--------

a-\a-\a-\

令f=a-则a=/+l,

pi2a2—a2（/+l）—（/+1）2t2+3z+11l~\/r

所以------=-^——/~-——二---------=2/+3+->3+2J2/x-=3+2V2，

a-\tttV/

当且仅当2/=L即1=正时等号成立，

I2

所以必+〃的最小值为3+2&，说法错误；

故选：D

9.AD

【分析】由三角函数图象平移逐项判断即可；

【详解】对于A,将函数），=siiu-图象先向右平行移动三个单位得到.y=sinG-g）,

再横坐标缩短到原来的《，纵坐标不变得到），=sin（2x-。），说法正确；

对于B,将函数产sinx图象先向左平行移动;个单位得到%sin（x+]}

再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到丁=力】（；％+]}说法错误；

对于C,将函数y=siar图象先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到），=加；工,

再向右平行移呜个单位得到…唱卜-]）]=sing-e），说法错误；

对于D,将函数y=siar图象光横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到），=如】21，

再向右平行移动2个单位得到…皿2。用>sin（2”1）,说法正确；

故选：AD

10.AC

【分析】利用同角三角函数关系与二倍角公式化简计算，再逐一判断选项即可.

【详解】已知ac（。,兀），由$吊。+8$a=2平方得§"。+83；：。+25巾a83。=-!-,

525

|24

由sin%+cos?a=l,可得1+2sinacosa=—=>2sinacosa=---,

2525

Xsin2/7=2sinacosa,故A选项正确，B选项错误；

答案第4页，共11页

249

由(sina-cosa)=sina+cos?a-2sinacosa=1-竺

25=251

7

取平方根得：sina-cosa=±-,

由aw(0,7t)得sina>0,2sinacosa=--<0=>cosa<0,

25

7

即sina-cosa=w,故C选项正确，D选项错误.

J

故选：AC

11.ABC

【分析】以3c中点。为原点，nc,"为x，y轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的

坐标，然后代入坐标列方程求出工，）'即可得解.

【详解】如图以中点。为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系,

则4(0,4),B(-3,0),C(3,o),AB=(-3,-4),AC=(3,T),

对于A,若/，为V48C的重心，则勺="詈=0,%=土当丑=1,即

所以AP=（0,—

0=-3x+3y

^AP=xAB^yAC,则彳8彳，解得x=y=；；,

--=-4x-4y3

2

此时4=X+y=§,A说法正确；

对于B,若尸为VAAC的内心，由点尸到AB,4c的距离相等可知产在A。上，

设内切圆的半径为，，则;忸0AD|二g*A8|+|AC|+MD|）,

gp|x6x4=1r（5+5+6）,解得r=],所以AP=fo,-1],

z乙z\乙）\,乙）

0=-3x+3y

若八P="8+yAC，贝”5"），解得x=y=3

此时x+y=J,B说法正确：

o

答案第5页，共11页

对于C,若P为VA4C的垂心，由AD/BC可知产在A。上,

o

设户(0,“)，则CPA3=(-3，M•(—3,-4)=9—4〃?=O,解得〃?="

所以P（O5

0=-3x+3y

^AP=xAB+yAC,则《7解得x=y=1，

--=-4x-^yD乙

7

此时“+丁=C说法正确;

16

对于D,若〃为VA8C的外心，由|上包=|尸。可知.在4）上，

设P（0,〃），则附=|叫即4f=J[0—（―3）了+（人0）2,解得〃=/

所以A尸

Oi+3），

若AP=xAB+，AC,贝"25）彳，解得工二丁=十，

=—4r—4v64

此时4+丁二不，D说法错误;

故选：ABC

12.1

【分析】对于给定的分段函数，先计算”1）的值，再计算/（/⑴）即可.

【详解】因为佝弋超°，

所以/⑴=log21=0,

所以/(/(l))=/(o)=2°=l,

故答案为：1

13.(-l,0)U(0,l)

【分析】根据奇函数的性质得到/（力在（0,+8）上单调递减及/⑴=0,从而得到/（力的取

值情况，即可求出不等式的解集.

【详解】因为/（X）是R上的奇函数，且"-1）=0,则f⑴=一/（-1）=0,

又/（"在（-8，。）上单调递减，

答案第6页，共11页

所以〃X）在（0.+8）上单调递减，

则当或Ovxvl时/（力>0,当TvxvO或x>l时/（司<。；

.、

不等式"）>0,即I[”x>办00或，[x<水00,

解得0<x<l或-1<x<0,

所以不等式力（力>0的解集为（-LO）U（O,l）.

故答案为：（-LO）U（OJ）

14.史

e-1

【分析】设直线/的方程为y=〃（a>0）,求得A8坐标得到|A回=2,取/W中点。，连接CQ,

根据VA4C为等边二角形表示出C点坐标，再根据。点在函数），=c'的图象上得到美于。的

方程，求出“进而可得点C的纵坐标.

【详解】设直线/的方程为>=。（。>0）,

由e'。解得x=lnm所以A（lna,a）,

由e"2=々解得x=lna-2,所以80na-2,a）,

所以|隅=2,

如图，取A8中点。，连接C。，

因为VABC为等边三角形，所以COJ.A8,|AQ|=1,|8|=6,

则Cpna-\,a->/3^,

所以a—G=em"T=@,解得〃=叵，

ee-1

答案第7页，共11页

所以。点纵坐标为〃-6=血，

e-1

故答案为：

e-l

15.⑴A=l,3=4a

⑵

4

【分析】(1)根据题意结合指数幕运算求A和8；

(2)由基函数/")=/的图象恒过点(1,4〃)，代入求解即可.

【详解】(1)A=高住广-团-晒十)w广-l-(53p=4+3-l-5=l：

(a1V11n3x(—8)?+i_i1+I_5

纺

B=3a%2_Sa2b3+_6aW=—2236=4〃％°=4a.

-6

(2)因为籍函数〃力=金的图象恒过点(1,4a),

贝ij4。=1,所以a=1.

4

16.⑴A=g

⑵正

4

【分析】(1)先利用正弦定理角化边，根据余弦定理求cosA即可；

(2)利用余弦定理解得AB-AC=1,再根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】(1)因为V4BC中,sin2B4-sin2C-sin2A=sinBsinC»

所以由正弦定理可得AC2+A8、8C2=AC48,

所以由余弦定理可得cosA=过二%.=_L,

2ACAB2

因为A«(U),所以A=(

(2)由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosA=(A8+AC)2-2AB.AC(1+cosA).

贝ljl=2、2A8.AC(l+g),

即1=4—3A4AC,解得AA,4C=1,

所以VA8C面积S=-AC-ABsiiiA=—,

24

即VA8C面积为巫.

4

答案第8页，共11页

(2)81%

⑶33h

【分析】(1)根据题Fl中所给的污染物含量P与时间，的关系，代入数据计算求解即可；

(2)将，=1()代入，结合指数的运算性质求解即可：

(3)没污染物减少50%带要花巾，贝话e-J0.5,化为对数，利用对数的运算即可得出结

果.

【详解】(1)由题意可知当1=5时,e7=90%,即e$=0.9,

所以女=一30.9=(吟.

(2)当310时，e-,0i=(e-5A)2=0.92=0.81,

即10h后,还剩81%的污染物.

(3)设污染物减少50%需要花山，则有e*=0.5,

两边取以e为底的对数，得-k=ln0.5,

/_ln0.5_ln0.5_51no.5

所以"F=一」n0.9二初

In5In3

21n3-ln2-ln5----2——+1

In21112

log25-21og23+l

5

33(h),

2.322-2x1.585+1

即污染物减少50%大约需要花33h.

18.(1)(YO/]53,+OO)

3

⑵喉)

3

⑶写收)

【分析】(1)把。=1代入，利用对数函数单调性求解不等式.

(2)将问题转化为对任意实数4,不等式办2_4.+6>0恒成立求解.

(3)根据给定条件，由函数〃="+6的值域包含(。，+8)求解即可.

答案第9页，共11页

【详解】(1)当4=1时，不等式f(x)>log23,即10g2(f-4x+6)NIog23,

则Y-4X+623,BPX2-4X+3>0,解得xWl或X23,

所以原不等式的解集为(TO1]=[3,+OO).

(2)函数/(x)=log2(加-4办+6)的定义域为R,则对任意xeR,底-4狈+6>0恒成立,

3

①当〃工0时，得。〉0且A=16/-24a<o,解得。<。<万：

②当。=()时，6>0恒成立，/3)的定义域为R成立，

3

所以得。的取值范围为[0号).

2

(3)函数/(x)=log2(ar-4ax+6)的值域为R,则函数〃=加-4or+6的值域包含(0,+»),

当。=0时，〃=6不符合超意；

当。<()时，“=以2_4如+6是开口向下的二次函数，不符合题意；

当a>0时，M=ar2-4ar+6=t7(x-2)2+6-4tz>6-4«,当且仅当x=2时取等号，

因此函数u=ax2-4al•+6的值域为【6-4a,+8),则(0,+8)工[6-4a,+oo),

33

于是6-而W0,解得〃2彳，所以〃的取值范围为巳,+8).

2