矩形的性质和判定（知识解读+例题讲义+随堂检测）原卷版-2024人教版八年级数学下册

第03讲矩形的性质和判定

知识导航

需导航1考点清单

考点1:矩形的定义

考点2：矩形的性质

考点3：矩形的判定

考点4：直角三角形斜边上的中线

舟导航2重难点

重点：

（1）矩形性质的应用

（2）矩形的判定

（3）斜边的中线等于斜边的一半的运用

难点：

（1）矩形性质与判定的综合证明

（2）动态几何中的平行四边形存在性问题

（3）想不到“延长中线构造矩形”的辅助线，不理解直角三角形一矩形的转化思想

知识梳理

知识点1：矩形的性质

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫隼牛。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质

（2）对角线相等

（3）四个角都是直角。

注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

7题型精讲

【题型1利用矩形的性质求角度】

【典例1］如图，在矩形"CD中，对角线4和8。相交于点。，如果4108=28°,那么乙1。8的度数为（）

A.52°B.54°C.56°D.58°

【变式1】如图，在矩形中，对角线AC,80相交于点0,若〃8=18。，则41。8的度数是（）

【变工12］如图，在矩形力8（；。中，AC,80相交于点。，AE平分交8c于点£.若400A=30°,贝I」4EA0

的度数为（）

【变式3】如图，在矩形48co中，对角线力。与80相交于点O,过点A作80的垂线，垂足为E,已知乙瓦4。=

2/-BAE,则4EA0=（）

A工：

E

A.30°B.45°C.60°D.35°

【题型2根据矩形的性质求线段长】

【典例2】如图，矩形力BCD中,对角线4C,80交于点。，若4月。8=60。，BD=8,则DC长为（）

-------------

A.45/3B.4C.3D.5

【变式1】在平面直角坐标系中，矩形。8力。的位置如图，点4的坐标是（-2,4）,则矩形对角线8C的长是（）

【变式2】如图，矩形48CD中，AB=6,8c=8,,对角线AC与BD交于点0,则aAOB的周长为（）.

A.14B.15C.16D.17

【变式3】如图，在矩形48G）中，对角线AC与8。相交于点。，CELBD,垂足为点E,CE=4,AC=10,

则ED的长为（）

【题型3根据矩形的性质求面积】

【典例3】如图，长方形4BCD的面积为60cm2,那么三角形ABE的面积是（）cm2.

A.18B.20C.30D.36

【变式1】如图，在矩形4BCD中，对角线4C,8。相交于点0,过点。的直线Er分别交力B,CD于点E,F,

若矩形面积为12,则阴影部分的面积为（）

A.3B.6C.4D.8

【变式2】如图内，P点是长方形内任意的一点.阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（）

A.阴影部分的面积大

C.一样大D.无法确定

【变式3】如图所示，矩形力BCD的两条对角线相交于点0,AD=8,AB=6,将449。向右平移得到△DCE,

则44B。向右平移过程中扫过的面积是.

【题型4矩形与折叠问题】

【典例4】如图，在矩形48。。中，AB=5cm,在0C上存在一点£,将△4ED沿直线4E1折叠，使点。落在BC

边上的点F处，若CF=1cm,则力D的长为cm.

【变式1】如图，将长方形力BCD沿DE折叠，使点A落在上的点尸处，若ZEF8=60。,则=.

【变式2】如图，矩形纸片A8C0,40II8C,将长方形纸片折叠，使点。与点6重合，点C落在点C'处,

折痕为E尸，若AB=6,AD=8,AE的长是

【变式3】如图，在矩形48CD中，AB=10,力D=6,点E是线段BC上一点，将矩形ABCD沿力E翻折，点

8恰好落在DC边上的点尸处，则线段广C的长为.

知识梳理

知识点2：直角三角形斜边上的中线

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图：在RIZX48C中，D为AB中点，CD=-AB.

题型精讲

【题型5斜边的中线等于斜边的一半】

【典例5】如图，公路力C、8C互相垂直，公路48的中点M与点C被湖隔开，若测得力C的长为lkm,BC的长

为2.4km,则点M,C之间的距离是km.

【变式1】小红将一个直角三角板HBC放在一个直尺上，如图所示，点4、8所对应的数字分别为1和9,D

为88上一点，它对应的数字为5,则的长为.

【变式2】如图，在等腰△ABC中，LBAD=LCAD,E是AC的中点.若力8=5,则DE的长为.

【变式3】如图，在△4BC中，4。是8C边上的高线，8E是4C边上的中线，DF上BE于F,BF=FE,若BD=

5,CD=8,则4D=

知识梳理

知识点3：矩形的判定

※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）四个角都相等的四边形是矩形。

题型精讲

【题型6添一条件使四边形是矩形】

【典例6】如图，要使平行四边形/BCD成为矩形，需添加的条件是（）

A.AB=BCB.AC1BD41=Z2

【变式1】如图，已知四边形ABC。是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形A8c。是矩形的是（）

A.Z.A+Z.B=180°B.Z,B+Z.C=180°

C.乙4=乙BD.乙B=乙D

【变式2】如图，建筑公司验收匚框时要求是矩形.在矩形48。。中，AC,8。相交于点。，下列验证方法不

正确的是（）

A.AC=BDB.AB1BCC.OB=ODD.OA=OD

【变式3】如图，已知在四边形48。。中，对角线AC,80交于点O,且OA=OC,OB=OD,要使四边形力8C0

是矩形，可添加一个条件是.

【题型7矩形的判定】

【典例7】点。是菱形Z1BCD的对角线的交点，DEWAC,CEWBD,连接OE.求证：四边形OCED是矩形.

【变式1】如图，在平行四边形43CD中，点E是4。的中点，且BE=CE,求证：四边形4BCD是矩形.

AED

【变式2】如图，△ABC中，AB=AC,力。是BC边上的中线，点。是AC中点，延长。。到E,使OE=OD,

连接AE,CE.求证：四边形40CE是矩形.

【变式3】如图，在AABC中，AC=BC,点、D、E分别是边4B、4c的中点，延长DE到F,使得=DE.求

证：四边形力DC"是矩形.

【题型8矩形的性质与判定综合】

【典例8］如图，平行四边形力BCD的对角线AC,8D相交于点。，△COD是等边三角形.

⑴试判断四边形4BCD的形状，并说明理由；

⑵如果/16-2,求平行四边形/WC0的面积.

【变式1】如图，在团ABCD中，对角线AC,8。相交于点。，/.ABC=90°.

⑴求证：AC=BD；

⑵点E在BC边上，满足NCEO=NCO£.若A8=6,BC=8,求BE的长.

【变式2】如图所示，在△48C中，AB=AC,4。是中线，4N是△4BC的外角4&4M的平分线，CELAN,

垂足为£

(1)求证：四边形40CE是矩形:

⑵连接8E,若AC=10,BC=12,求8E的长.

【变式3】如图，四边形CD8E为平行四边形，且CC148,AC=BC.

⑴求证：四边形CME是矩形;

（2）若AC=5,CD=3,尸是BC上一点，且0/1BC,求。尸的长.

I随堂检测

1.如图,在矩形4BCD中,若“=4,

A.4B.2百C.2D.1

2.如图，在RtZkABC中,乙ACB=90°,则48的长为（）

A.3B.2

3.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对角互补

C.对边相等D.对角线互相平分

4.如图，小红想将一张矩形纸片沿AD,8C剪下后得到一个加185,若乙1=70。，则42的度数是（）

A.20°B.70°C.80°D.110°

5.如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮

先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两

条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.三个角都是直角的四边形是矩形

C.对角线相等的平行四边形是矩形

D.对角线互相平分的四边形是矩形

6.如图，在矩形4BCD中,BC=2AB=4,将△48C沿4c翻折,得到△4EC,其中，力。与CE相交于点F,

则DF为（）

E

-D

当

A.-B.1C.-D.

7.如图，把一张长方形纸条4BCD沿EF折叠，若41=55。，则ZEG尸的度数为.

D

8.如图