高中数学一轮复习-常用逻辑用语

专题1.2常用逻辑用语

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U背知识

1.充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系

充分、必要条件；A={x|p(x)},B={x\q(x)}集合关系

若p=q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件AQB

p是q的充分不必要条件p=q且q/p公B

p是q的必要不充分条件p/q且q=p

p是q的充要条件P=qA=B

p是q的既不充分也不必要条件p#q且q#pAgB且B&A

重要结论：

1.(1)若〃是q的充分不必要条小，4是，•的充分不必要条件，则〃是「的充分不必要条件.

(2)若〃是的充分不必要条件，则q是〃的必要不充分条件.

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“V”表示，含有全称量词的

命邈叫做全称量词命题.即对M中任意任意一个，p(x)成立，可用符号简记为“VxWM,p(%)”.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“于’表示，含有存在

量词的命题叫做存在量词命题.即存在M中的元素无，p(x)成立，可用符号简记为p(%)”.

3.全称量词命题与存在量词命题的否定

(I)全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.

(2)含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

VxEM,p(x)3xGM,-ip(x)

3x€M,p(x)VxGM,-ip(x)

4.常见的否定形式

原语句是都是>至少有一个至多有一个p或qp且q

否定形式不是不都是<一个也没有至少有两个非p且非q非p或非q

r教材改编

1.【人教A版必修一1.5.2例5P31］写出下列命题的否定，并判断其真假：

(l)p：末位数字为9的整数能被3整除；

(2)p：对任意x,yCN,都有(x—y)€N；

(3)p：Vx,yER,x24-y2+2x-4y+5=0.

2.【人教A版必修一习题1.4练习5P23］已知a,b,c是△48C的三边长，且aWbWc.我们知道，△ABC

为直角三角形的充要条件是小+炉=/，请利用边长Q,b,。分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形

的充要条件、并加以证明.

考点归纳

考点一充分条件、必要条件的判断

【方法储备】

1.定义法：根据p=>q,q=>p进行判断；

即若pnq,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.

注意区别：

(I)p是q的充分不必要条件=p=q且q#p；

(2)p的充分不必要条件是q<=>q=p且p#q.

2.集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合8的形式出现，即p:A={x|p(x)},q:B={%|q(%)］,

通过集合4g之间的包含关系进行判断.即小范围推得大范围.

①若则p是q的充分条件；

②若3W力，则p是q的必要条件；

③若A最8,则p是q的充分不必要条件；

④若则p是q的必要不充分条件；

⑤若4=8,则p是q的充要条件；

⑥若A生B且A至B,则p是q的既不充分也不必要条件.

3.传递法：

①若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件；

②若p是q的必要条件，q是r的必要条件，则p是r的必要条件；

③若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件.

若直接判断比较困难时，可举出反例说明.

【典例精讲】

例1.（2025・山东省临沂市・模拟题）若Q>0,b>0,则“a+匕W4”是“ab<4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例2.（2025•陕西省•同步练习）已知向量窗另是平面a的两个不相等的非零向量，非零向量能直线1的一

个方向向量，则3五=0且2•另=0是1，。的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【拓展提升】

练1-1（2025•江苏省无锡市•期末考试）给出下列四个命题，其中正确命题为（）

A.a>b是3a>3b的充分不必要条件

B.a>0是cosa<cos/?的必要不充分条件

C.a=0是函数/（%）=/+ax2（xGR）为奇函数的充要条件

D./（2）</（3）是函数/（%）=C在［0,+8）上单调递增的既不充分也不必要条件

练1-2（2025•北京市・月考试卷）已知等差数列｛即｝的公差为d,前几项和为％,则“d>0”是“S4+56>

2s5”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

考点二充分条件、必要条件的探究与应用

【方法储备】

1.充分条件与必要条件的探求

先找到命题成立的充要条件=对充要条件的范围进行放大或缩小=得到相应的充分条件、必要条件、充分

不必要条件或必要不充分条件.

2.根据充分、必要条件求解参数范围

把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系=根据集合之间的关系，列出关于参数的不等式

（或不等式组）求解：

注意：在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，要注意区间端点值的检验，不等式是否能够取

等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

3.数形结合思想的应用

在解答有关充分必要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时，有时要借助于

Venn图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题.

【典例精讲】

例3.(2025•山东省淄博市•模拟题)设a为实数，则“aV1”是“(a—l)(a—2)>0”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例4.(2025•山东省烟台市・月考试卷)已知集合4=[x\看<1),集合B=[x\x2-(a+2)x+2aV0),

若“％W4”是“无G夕’的充分天必要条件，则实数Q的取值范围为()

A.(-co,-1)B.(-cc,一目C.卜5,2)D.(-Q)

【拓展提升】

练2T(2025•湖南省长沙市・期中考试)函数f(x)=占?乎”二个有且只有一个零点的充要条件是()

1/IClfXSU

A.a<0B.0<a<|C.|<a<1D.a<0或a>1

练2-2(2025•河南省南阳市•月考试卷)若数列｛an｝的前九项和为又，则“sn二幽抖”是“数列｛册｝是等差

数列”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：当数列｛册｝是等差数列，则及=迎磐，

必要性显然成立；

若%=必抖，所以当九>2时，5_】=。1)«*，一),

所以20n=n(ax+On)-(n-1)(%+an_i),

化笥得(n-l)an_i=%+(n-2)an,①，

所以当nN3时，(71—2)Qn-2=+(九一3)(^7，②，

由①-②得2(71-2)即-1=(n-2)(an+an_2)»n>3,

所以2%i-i=+an-2，n>3,

即数列｛%｝是等差数列.

充分性成立.

必

故'&=1+%),,是“数列｛Qj是等差数列”的充要条件.

2

故选C.

考点三含有■词的命题的否定

【方法储备】

全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤：

⑴改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词：

⑵否定结论：对原命题的结论进行否定.

【典例精讲】

例5.(2025•广东省湛江市•月考试卷)已知命题p：Vx>0,总有(x+l)ex>l,则-1P为()

x

A.取040，使得(X。+l)ex。<1B.3xo>0,使得(x0+l)e<><1

C.Vx>0,总有(x+l)ex&1D.Vx&0,总有(x+l)ex&1

【拓展提升】

练3-1(2025•湖南省•单元测试)(多选)下列说法正确的是[)

①命题”所有能被2整除的数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”；

②命题"VxW[0,+8),x3+x>0,r的否定是'勺％W[0,+8),使得/+工<0”；

③命题”对任意％eR,都有/>0”的否定是“存在％€R,使得M<0"；

④命题：'勺x>0,使2x(x-a)>1”的否定是“V%>0,都有2x(X-a)>1”.

A.①B.②C.③D.④

练3-2(2025•重庆市・期末考试)命题p：存在实数x,使得x2-ax+4W0,若「p是真命题，则实数a的取

值范围是()

A.[-4,4]B.(-4,4)

C.(-co,-4]U[4,4-00)D.(-co,-4)U(4,4-oo)

考点四根据含♦词命题真假求参数的取值范围

【方法储备】

根据含量词命题真假求参数的取值范围的思路：

1.对于含晟词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.

2.转化为恒成立问题或有解问题解决.先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等

式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.

3.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立时，可根据以下原则进行求解：

①VxeD,m</(x)<=>m<

②HxG>/(x)QmAfMrnax'

③我eD,jn<f（x）om《fMmaxi

@3xED,m>f（x）<=>m>fMmin.

【典例精讲】

例6.（2025•广东省-月考试卷）若命题："任意实数》使得不等式a/+（Q-2次+：>0成立”为假命

题，则实数a的取值范围是.

例7.（2025•河北省保定市•期末考试）若命题"3x0ER，2x1-3mx0+9V0”为假命题，则实数m的取值

范围是.

【拓展提升】

练4-1（2025•山东省临沂市•月考试卷）己知命题“三无€口,5卜使得婚一5一。<0”是假命题，则实数a的取

值范围是.

练4-2（2025•湖北省黄冈市•月考试卷）若存在&W[1,3],|x2-aXo+4|<3x0,则实数a的取值范围

是.

新题放送

1.（2025•河北省保定市-期中考试）三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中

国一座现代化的专题性遗址博物馆.该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”3个展厅，则甲

在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.（2025•广西壮族自治区南宁市•模拟题）已知空间中不过同一点的三条直线m,n,/,则“m,n,，在同

一平面”是“m,n,，两两相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2025♦山东省♦单元测试）（多选）下列说法正确的有（）.

A.命题“VxGR,x2+x+1<0w的否定是u3xGR,x2+x+1>0n

B.若命题“mx€R,x2+4x+m=0”为假命题，则实数m的取值范围是（4,+8）

C.若a,b,c均为实数，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”

D.“a>1”是也<1”的充分不必要条件

a

【答案解析】

1.【人教A版必修一1.5.2例5P31】

解：(l)p的否定：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除，如19,

p的否定为真命题.

(2)p的否定：存在X,yWN,使(x-y)WN如x=l,y=2,l-2=-lWN,

p的否定为真命题.

2

(3)p的否定：3x,yeRtM+丫2+2%—4y+5W0,如％=1,y=2时，满足/+y+2x-4y4-5¥：0,

p的否定为真命题.

2.1人教A版必修一习题1.4练习5P23]

解：(1)△为锐角三角形的充要条件是M+炉>c2；

(2)△48C为钝角三角形的充要条件是a?+b2Vc2

证明：如图，过点A作AO18C,垂足为0,设AD=h.

必要性：(1)在△力BC中，若NC为锐角，则80=Q-%，

z222222z2

c—b=[h+(a—x)]—(肥+x)=a—2ax<at所以a?4-b>c.

(2)在△ABC中，若NC为钝角，则BD=a+x,c2-b2=[h2+(a+x)2]-(/i24-x2)=a24-2ax>a2,

所以a?+b2<c2.

充分性：(1)在△ABC中，若a2+b2>c2,则乙C不是直角.

假设乙C为钝角，则a2+b2〈c2,与Q2+62>C2矛盾，可知zZ为锐角，故△A8C为锐角三角形.

(2)同理可证.

例L

解：根据基本不等式可得：

当a>0,b>0时，a+b>2Vab,

则当a+bW4时，有2，^Wa+bW4,

解得Qb工4,充分性成立；但当。=1,匕=4时，满足ab工4,

但比时a+8=5>4,所以必要性不成立，

综上所述，“Q+b44”是“Qb<4”的充分不必要条件.

例2.

解：由3R=01•6=0得,cLa,c1b；

•••五是所在直线不一定相交，又F所在直线为，，

.•.不一定能得到11«；

即〜行=0,且人3=0不是！1Q的充分条件；

若；la,向量五石所在直线在平面。内，1在直线，上，

•••c1a,c1b,

••c-a=0,且5-5=0»

即3N=0,且己3=是1_1。的必要条件.

综上得二方=0,且乙3=是1_1。的必要不充分条件.

故选艮

练1-1.

解：对于4易知指数函数y=3,是增函数，

则“a>bnu>"3。>3匕"，因比“a>b”是“3。>3”'的充要条件,故A不正确;

对于3,取a=g+27r,0=三,则cosa=cos0,

«5O

反之取a=半，P=2K,满足cosa<cos0,

因比“a>/?”是“cosa<cosB”的既不充分也不必要条件，放4不正确；

对于C,函数/(x)=x3+ax2{xeR)为奇函数<=>f(-x')+f(x')=0o2ax2=0,

VxG/?,2ax2=0<=>a=0,

因比“a=0”是“函数/(%)=炉+。/(%€的为奇函数”的充要条件，故C正确；

对于。，由函数"%)=，3在［0,+8)上单调递增，可得/(2)Vf(3),故。不正确.

故选C.

练1-2.

解：当$4十$6>25$,

则4al+6d+6al+15d>2(5%+lOd),

21d>20d,

Ad>Q,满足必要性;

S44-S6=4al+6d+6al+15d=10%+21d,

2s5=2(5。1+lOd)=10。1+20d,

当d>0时，21d>20d,

•••§4IS6>2s5，满足充分性.

故“d>0”是"4+S6>2Ss”充分必要条件,

故选C.

例3.

解：由(a—l)(a-2)>0可得a>2或a<1,

、>2或2<1”不能推出“avl”，

而“a<1"能推出‘匕>2或2<1”.

"VI”是“(a—l)(a—2)>0”的充分不必要条件.

故选A.

例4.

3x_12x+1八

解：由昔得:-

-x-2T1=-x-2T工0

••.[占”个一2”。，解得：一^x<2,.-.A=[-i，2);

由x?-(a+2)x+2aV0得：(x-2)(x-a)<0；

％WA”是“％W8”的充分不必要条件，A基B,

当Q>2时，B=(2,a),不满足498；

当Q=2时，8=0,不满足4星8；

当Q<2时，B=(a,2),若力呈8,则需。<一:；

综上所述：实数a的取值范围为(-8,-乡.

故选:A.

练2-1.

解：因为%>0时,f(x)=log2x,可知函数/'(x)的图象过点(1,0),

所以函数/(%)有且只有一个零点

=函数y=-2X+a(x<0)没有零点

=函数y=2x(x<0)的图象与直线y=a无交点.

当x$0时，y=2x(0,1],

x

由弱可知，函数y=2(x<0)的图象与直线y=Q无交点=a40或Q>1.

即函数/•(%)有且只有一个零点的充要条件是a<。或a>1.

故选：D.

练2-2.

解：由MGN得Venn图,

对于4,m:MP1/V=M,易知MCN=M等价于MGN,TH是p的充要条件；

对于B,n:MUN=M,易知MUN=M等价于NGM,"不是p的充要条件；

对于C,S：Mn(C/N)=0,易知Mn(GN)=0等价于M旦N,s是p的充要条件；

对于D,£:MnN=/,由于M、N是全集/的真子集，所以MC1N=/不成立，t不是p的充要条件.

故是p的充要条件的有m,s.

故选AC.

例5.

解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，

-)p为>o,使得(a+I)。》。<1.

故选8.

练3-L

解：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.

①命题”所有能被2整除的数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”，正确.故A正

确.

②命题“Vxc[0,+8),x3+x>0"的否定是[0,+8),使得％3+%VO”，正确，故3正确.

③命题”对任意％WR,都有/20”的否定是“存在3£R,使得Mvo”，正确，故C正确.

④命题：“船>0,使2x(%-a)>1”的否定是“以>0,都有2x(x-a)《1”，故④错误，故。错误.

故选:ABC.

练3-2.

解：命题p的否定是-«p：VxG/?,%2-QX+4>0成立，

须4=a2-16<0,

解得-4<a<4；

综上，a的取值范围是(-4,4).

故选B.

例6.

解：因为存在实数x使得不等式ax?+Q-2)x+:40成立，

所以不等式ax?+(a-2)x+i<。的解集非空，

①当a=0时,-2x+1<0,得xN符合题意,

②当avO时，不等式2乂2+6-2〃+：工0的解集非空，符合题意，

③当a>0时，因为不等式ax?+(a-2)x+^<0的解集非空，

所以△=(£>—27—a\0,即。2-5。+4±0,解得aWl或Q±4,

所以0Va工1或a>4,

综上a<1或a>4,

即实数a的取值范围是(一8,1]U[4,4-00)

例7.

解：•.•命题p“灰。WR,2x§-3mx0+9<0"为假命题，

二命题-ip：uVxeR,2x2—3mx十9N0”为真命题.

(-3m)2-72<0,

••.m2<8,解得一<m<2y/~2.

・•・实数m的取值范围是[一2，1,2/1].

故答案为：[―2，22，"?).

练4-1.

解：因为命题“mxw[1,5],使得eX—2—a<0”是假命题，

X

所以命题“Vx£[1,5],使得ex-1一aCO”是真命题，

X

即对VxE[1,5],ex-->a恒成立，

令f(x)=ex-i,则F(x)=ex+^>0,

所以f(x)在[1,5]内单调递增,

所以f(x)min=f(l)=e-l，

所