高一数学下学期寒假讲义：平面向量基本定理及坐标表示（六大考点）解析版

专题03平面向量基本定理及坐标表示

思维导图

平面向M［基本定理

正交分解

平面向同的坐标表示

平面向G的坐标表示

平面向量基本定理及坐/平面向量的坐标运笥平面向金壁标的加法.和故*运口

标表示

平面向员平行（共线）的坐标表示

向员数量积的坐标表示

》核心考点聚焦

考点一：平面向量基本定理

考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

考点三：平面向量的坐标运算

考点四：平面向量平行的坐标表示

考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算

考点六：平面向量数量积的综合应用

重｝点=速=记

知识点一：平面向量基本定理

1、平面向量基本定理

如果4,可是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量有且只有一对实数4,4,

使a=4q+4/，称4q+4弓为q,1的线性组合.

①其中4,互叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向最4,晟的方向分解为两个向最的和，并且这种分解是唯一的.

这说明如果〃=+4/且。=4“，那么4=4',4=4’.

③当基底q,/是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际

上是平面向量坐标表示的基础.

知识点诠释：

平面向最基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应

的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.

2、如何使用平面向量基本定理

平面向屋基本定理反映了平面内任意一个向展可以写成任意两个不共线的向显的线性组合.

（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解

答几何问题时，就可以先把已知利结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的.

（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示.选择了不共线的两个向量

4、工,平面上的任何一个向量Z都可以用I、1唯一表示为3=41+41，这样几何问题就转化为

代数问题，转化为只含有4、1的代数运算.

知识点二；平面向量的坐标表示

1、正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

知识点诠释：

如果基底的两个基向量白、/互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交

分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.

2、平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系内，分别取与工轴、y轴方向相同的两个单位向量7、j作为基底，对于平面

上的一个向量3,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得Z=，+0.这样，平面内的任

一向量Z都可由唯一确定，我们把有序数对（x,y）叫做向量［的（直角）坐标，记作Z=（x,y）,%叫做

£在x轴上的坐标，y叫做Z在），轴上的坐标.把2=",），）叫做句量的坐标表示.给出了平面问量的直角坐

标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以川一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联

系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系.

y

ox

知识点诠释:

（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即2=石0%=&且）％=%，

其中。=（N，X）/=（七,%）-

（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同.比

如，若42,3),5(5,8),则丽=(3,5)；若C(-4,3),D(-l,8),则CD=(3,5),AB=CD,显然A、

B、C、。四点坐标各不相同.

（3）（x,y）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.

知识点三：平面向量的坐标运算

1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算

运算坐标语言

记04=(再,y),OB=(x2,y2)

加法与减法

0A+0B=(xi+.,.+%)'0B-0A=(X2-xi,y2-yl)

实数与向量的乘机记a=(x,y),则4a=(,Ay)

2、如何进行平面向量的坐标运算

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法

则进行计算.在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐

标得到该向量的坐标.求•个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标,但同时注意

以下几个问题:

（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有美，只有起点

在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等.

（2）进行平面向最坐标运算时，先要分清向量坐标与向审:起点、终点的关系.

（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的.

（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.

知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示

1、平面向量平行（共线）的坐标表示

设非零向量‘二（1,）1）1二（工22），则aHb=（%,）1）=%优,为），即“西学，或甲，2_42）1=0.

>1=2y2

知识点诠释：

若2二（%方）石=伍,％），则c；〃*不能表示成a二』■，因为分母有可能为0.

X2为

2、三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

A（x},）,B（X2,）,C（x3,y3）,AB=（x2-x,,y2-3^）,冠=（刍一为，%一y）,

若（W一为乂为一,）一（七一再）（为一）'|）二°，则4，B,C三点共线.

知识点五：向量数量积的坐标表示

1,已知两个非零向量々二（.土，凹），b^（x2，y2）,a-b-xxx2+y\y2

2、设G=（x,y）,则IG『=/+y2或I£|=4X1+）?

3、如果表示向量Z的有向线段的起点和终点的坐标分别为（为，必）、（々，）’2），那么

|在也-小+⑶-（平面内两点间的距离公式）♦

向量在几何中的应用

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向最平行（共线）的充要条件

—>—>—>

al/boa=九b（b声0）=（玉，y）=A（x2,y2）

（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件

—♦—♦—•—♦

a1b<=>a'b=0<=>-hyty2=0

（3）求夹角问题，利用==/为工，十）1）、

瓦M&+一.收+月2

（4）求线段的长度，可以利用同=日或|阿卜J（/—xj2+（必一y）2

:考点剖析

考点一：平面向量基本定理

例1.（2024•河南省直辖县级单位•高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在aABC中,

AD=^-DC,P是线段3。上一点，若4户=〃*&+或广则实数〃，的值为（）

36

【答案】A

【解析】'：AD=^DC,：.AC=^AD，

.又AP=mAR+—AC,AP=mAR+—AD,

63

9I

TB,P,。三点共线，Aw+-=l,Am=-.

故选：A.

例2.（2024.安徽芜湖•高一安徽省无为襄安中学校考）在中，4。为BC边上的中线，石为A。的中

点，则反等于（）

A.-AB--ACB.--AB+-ACC.--AB+-ACD.-AB--AC

44444444

【答案】B

【解析】因为加=g（A月+"）,

例3.（2024•黑龙江齐齐哈尔・高一齐齐哈尔中学校考）设｛，,£｝是平面内所有向量的一个基底，则下列不

能作为基底的是（）

A.4和q+e?B.q和et—e2

C.2q—4e,和—q+2GD.q+2^,和2^,+e,

【答案】C

一/一一\m=0一一一

【解析】对于A,令6=，〃伺+62）,贝I」「，〃不存在，」.e,,6+e,不共线，可以作为基底，A错

误；

对于B,令q=〃（GW），则一，〃不存在，「.q,q-/不共线，可以作为基底，B错误；

〃二1

对于C,2"-4e2=-2（-q+2e2],

2et-4e2和-q+2e2共线，不能作为一组基底，C正确;

对于D,令4+2不=/（21+可，则，f不存在，•♦・4+应，2+1不共线，可以作为基底，D错误.

故选：C.

变式1.（2024・广东佛山•高一校考）如图,在"WC中，=点E是CD的中点.设方=力,

CB=b»则EA=（）

D.—a+—b

63

【答案】A

【解析】由题意在“8C中，A。=;A8,点E是C/）的中点,

故笛=-荏=」（而+砌」行-」而

222

1一1一I一I——

--CA——AB--CA——（CB-CA）

2626

2—1—2-1-

=-CA——CB=-a——b,

3636

故选：A

变式2.（2024•山东泰安•高一泰安一中校考）如图所示，在“比、中，点。是BC的中点，过点。的直线分

别交直线ARAC于不同的两点M、N,若丽=加丽7,正=〃福（〃八〃>0）,则〃叶〃的值为（）

A

9

A.2B.3C.-D.5

2

【答案】A

【解析】因为点。是8c的中点，

所以AO=；（AA+A。），

又因为血=，"而7,/=〃前＞0）

所以4口=%4加+巳4”，

22

因为O,M,N三点共线，

所以彳+4=1,

22

所以〃z+〃=2.

故选:A

考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

例4.（2024.全国•高一随堂练习）如图，在YABCO中，点M为A8的中点，点N在上，3BNBD.

求证：M,N,C三点共线.

【解析】设①=2函=6,

则。加=h+407=〃+”0=〃+式4叫=：4+孑，

所以CW=gcM,

又因为CM；CM有公共起点C,所以M,N,C三点共线.

例5.（2024.全国•高一专题练习）设两个非零向量Z与万不共线.

（1）若丽=2+反比=2£+85,C方=3（3—5）,求证：A8,£＞三点共线;

⑵试确定实数3使法+B和4+0反向共线.

【解析】Q）•••丽=2+及肥=23+8员丽=3（1-3，

.•.8万=前+也=22+86+3（2—5）=2£+85+而一35=5（3+9=5湿，

.•.通、加共线，

又,••它们有公共点4,「.A、B、。三点共线.

（2）•./，+/；与:+J,反向共线，..・存在实数使&Z+5=/l（2+比），

BPka+b=Aa+Akb»

.•.（攵-%*=（狄-1）日.

・.i、3是不共线的两个非零向量，

>-2=0

,八，/.-1=0,.•"=±1,

XA：-1=0

•»,x<0,:.k=-\.

例6.（2024•河南南阳•高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在中，CD=215B,AE=EC.

⑴用4®，A方表示衣，BE;

___I一3一

(2)若点M满足人”=一3人4+7人。，证明：B,M,E三点共线.

【解析】(1)因为诙=2丽.而=用，

AC=AB+BC=Ali+3Bb

=福+3(而-硝=-2血+3而，

B£=BA+--Ali+—AC

2

=-AB+-(BC-BA\=--AB+-BC

2、>22

=-J-AB+-^Bb=--AB^^3(AD-Ali\

2222、J

一3一

=-2AB+-AD.

2

(2)由丽」而+之旅，

24

___1一3—1—3—

可得AM=——AB+-x2AE=一一AB+-AE,

2422

所以2赤=一通+3亚，AE-AB=2（AM-AE）t即屉=2由，

所以8,M,E三点共线.

变式3.（2024.河北张家口.高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）如图，在中,。追A4的中

点，。是线段。8上靠近点。的三等分点，设）=7丽=6.

A

⑴用向量G与b表示向量O&；

（2）若0巨=；0「，求证：ARE三点共线.

【解析】（1）•.・04=4,无=瓦。是A8的中点,

0C=i(0A+0B)=i(d+b)；

Cb=OD-OC=-b--(b+a\=--a--b.

32、f26

(2)-：AD=OD-OA=-b-d,

3

A后与不少平行，

乂•.•赤与而有公共点A,

二•ARE三点共线.

变式4.（2024.安徽六安•高一毛坦厂中学校考）已知向量2，B不共线，AP=a-tb^BP-a+2b，

^Q=3a-2b.

（1）若，二一2,A户=入心户+）山0,求x,y的值；

（2）若4,P,。三点共线，求实数/的值.

【解析】（1）当1=-2时，由二Z+2B，刖=々+而BQ=3a-2b,

xBP+yBQ=-xa+2xb+3ya-2yb=(3y-x)a+(2x-2y)b

3y-x=l

所以J解得x=2,y=l.

2x-2y=2

(2)PQ=PB+BQ=a-2b+3a-2b=4a-4btAP=a-tb»

由于月，P,。三点共线，所以存在4仅工0),使而=4市,

则4a-4b=Aa-Atb，

整理,得(4Y)，+(»-4*=0.

因为。，。不共线,

4-2=04=4

所以,解得E

X/-4=U

故实数/的值为1.

考点三：平面向量的坐标运算

例7.（2024.天津和平.高一耀华中学校考阶段练习）YA8C。的三个顶点A（-3,0）,B（2,-2）,C（5,2）,则

顶点D的坐标为.

【答案】（。，4）

【解析】设Q（x，y）,在YA8CO中，A#=Q。，

又入月=（5,-2）,DC=（5-x,2-yi,

f5=5-x[x=0

[-2=2-y[y=4

所以顶点。的坐标为（。，4）.

故答案为：（0,4）.

例8.（2024•黑龙江鹤岗•高一鹤岗一中校考阶段练习）已知点A（l,T）,8（-2,3）,则与向量电方向相同的

单位向量为.

【解析】因为4（1,-1）,*-2,3）,所以48=（-3,4）,则与向量而方向相同的单位向量为

AB(-3,4)34)

5'5>,

故答案为:

例9.（2024・高一课时练习）如图，向量％,S，"的坐标分别是

贝lJ"=-47+Oj,b=0-l+6j,c=-2i-5j,

所以Z=（T,O）,S=（0,6）,c=（-2,-5）,

故答案为：（＜0）;（0,6）；（-2,-5）.

变式5.（2024.湖北武汉.高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）己知A（2,3）,

4（4,-3）,点户在线段八8的延长蝶上，且|羽二千丽则点「的坐标为.

【答案】（10,—21）

【解析】点P在线段AK的延长线上，Q与丽方向相反，

由同，则有Q=—g方，

4

•^-2=--（4-x）

设P（x,y）,则（X—2,），-3）=T（47,-3—），），即

y-3=_*3_y）

1=10

解得|），=-21'故点尸的坐标为（©-21）.

故答案为：（1（）,-21）

变式6.（2024.辽宁抚顺•高一校联考）若4（-1,-4）,8（5,-1）,。为A8的中点，Z）为上更靠近A的三

等分点，则。的坐标为，。的坐标为.

【答案】(2,—|)(1,-3)

【解析】根据中点坐标公式，C的坐标为［f-工1+5，了-4-1卜A［(2,-引5、，

A月=(6,3),则人力=；或=(2,1).因为。力=。4+4力=(1,一3),所以。的坐标为(1,—3).

故答案为：J,—1}(1,-3)

考点四：平面向量平行的坐标表示

例10.(2024.贵州毕节.高一校考〕已知向量)=(；,-1),%=(2,1),则与向量2Z+万共线的向量的坐标可

以是()

A.(-3,1)B.(-8,3)C.(-9,4)D.(3,-2)

【答案】A

【解析】因为7=6,-1),1=(2/)，所以2d+B=(b2)+(2,1)=(3,T),

对选项A：因为(-3)x(-l)=lx3,所以两向量共线，A正确：

对选项B：因为3x3工(-8)x(-1),所以两向量不共线，B错误；

对选项C因为4x3w(-9)x(7),所以两向量不共线，C错误；

对选项D：因为3x(T)w(-2)x3,所以两向量不共线，D错误；

故选：A.

例H.(2024.北京顺义.高一牛栏ill一中校考)已知向量4=(25，b=(x-2),若乙//九则值+石=()

A.(-2,-1)B.(2,1)C.(4,2)D.(-4,-2)

【答案】A

【解析】因为向量。=(2,1),b=(x-2).a//b^所以2X(—2)—X=0,得到X=

所以B=(-4,—2),得到,+分=(一2,-1),

故选：A.

例12.(2024.四川成都•校联考一模)已知否=(〃』)，“>0,〃>0,若存在非零实数2使得

I9

4=%〃,则--1■一的最小值为()

mn

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【解析】若存在非零实数几使得2=即。〃］，又％=囚=(〃/)，

所以1一/〃=2〃，即"?+2〃=1,

n-i,i12(12，__2n2〃?、=_\2n2m八

所以——F—=——I■—(〃?+2〃x)=5+----F—>5+2./---------=9，

mnImn)mnVmn

当且仅当出=也，即m=〃=2时，等号成立.

tnn3

12

所以上的最小值为9.

mn

故选：B

变式7.(2024•黑龙江齐齐哈尔•高一齐齐哈尔中学校考)已知3=(1,0),1=(-1,/〃)，2=(2』)，若

(2+涕)〃2,则实数机=()

A.1B.—1C.—D.—

44

【答案】C

【解析】a+2〃=(1,0)+2(-l,/n)=(-1,2m),c=(2』)，

由R+26)〃a得，-1-4AW=0,解得〃i二一;，

故选：C.

变式8.(2024・贵州安顺・高一统考期末)若三点A(2,3)、B(4,7)、C(3»)共线，则实数>的值为()

5

A.IB.-C.3D.5

2

【答案】D

UUU

【解析】已知三点4(2,3)、8(4,7)、C(3,y)共线，则A8=(2,4),AC=(hy-3),

由题意可知茄〃加,所以，2(y-3)=4,解得y=5.

故选：D.

变式9.(2024.河北唐山.高一校联考)已知A(0,l),8(1,-3),C(2㈤,且A,B,C三点共线，则

k=.

【答案】-7

【解析】•••48，。三点共线，.♦.72〃册.

.•.lx(%+3)-lx(-4)=0,「M=-7.

故答案为：-7.

考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算

例13.(2024.天津和平•高一统考期末)已知向量日=(2,。石=(-3,4),则向量石在万方向上的投影向量的

坐标为.

42

【答案】(一《，一?

【解析】向量及=(2,1)石=(一3,4),则小〃=2x(—3)+lx4=—2jZ|=j22+12=后,

所以向量B在乙方向上的投影向量为"之=-%=(-士为

\a\|<z|555

42

故答案为：

例14.(2024•湖南邵阳•高一校考阶段练习)已知向量口二(3,-1)石—口=(-4,2),则乙方=.

【答案】-4

【解析】♦〃=(3,-1)石-口=(<2),

b=b-a+a=,

/.dZ；=(3,-l)(-l,l)=-lx3+lx(-l)=-4,

故答案为：-4.

例15.(2024•云南昆明•高一校考阶段练习)设-ywR,向量。=(%1),/；=(2,)，)，”(3,6),且

ale,b//c^则向量日与的夹角大小为.

【答案】v

4

【解析】由题意得3x+6=0,3y—2x6=0,解得x=-2,y=4,

故d+〃=(-2.1)+(2.4)=(0.5).^=(-2.1)—(3.6)=(—5.—5),

nl/-l-\伍+力(［。(0,5)-(-5,-5)&

则cos(a+ba-c)=，'一；=~~~///=一~—,

'y/\a+b-a-^5x725+252

因为(2+前一加(0,兀)，所以(Z+%一»=弓.

故答案为：手

4

变式10.(2024.广东佛山•高一校联考阶段练习)已知向量£=(2,4)石=(1,7),则力与小夹角的余弦值

为.

【答案】诙

10

【解析】由题意可得：：.力=2x1+4x7=30，a=&-?=2君,忖=4+7?=5右,

/r八ab303V10

所以2与丐夹角的余弦值cos«@=印/访赤二丁・

故答案为：巫.

10

变式n.(2024•河北邢台・高一统考)已知向量ci=(x,l),〃=(x-9),且2，分的夹角为钝角，则X的取值

范围为________

【答案】(—3,O)U(O,3)

【解析】••,向量Z=(x,l),b=(x-9),且日，坂的夹角为钝角

••・1］〈0且人办不共线，

X2-9<0

则《八，解得：一3cx<3且工工0,

故答案为：(-3,0)U(0,3).

变式12.(2024•新疆喀什•高一校考期末)已知。=(2,3),力=(-2,4),c=(-l,-2),分别求下列各式的

值：

(|)2(1+石)+3(石一

⑵30+0；

/——\2

⑶!〃+/?).

【解析】(1)原式=2(0,7)+3(4,-1)=(0,14)+(⑵-3)=(1231)

(2)原式=(2,3>(-3,2)=-6+6=0

(3)a+Z?=(0,7),,二(Z十=49.

变式13.(2024.河北石家庄•高一石家庄市第十七中学校考)已知向量值=(-1,0),5=(肛1),且及与5的夹

角为千

4

(I)求助及修+28；

⑵若a+4与4+25所成的角是锐角，求实数2的取值范围.

【解析】(1)由于万与5的夹角为£,

所以cos—=-----=立^，-近m=+1,解得〃?=一1,

4lx^zr+12

则”=(-1,0)3=(-1,1)/+〃=(-1,0)+(-2,2)=(-3,2),

所以修+25|=79+4=713

(2)a+25=(-3,2),a+^=(-l,0)+A(-l,l)=(-l,0)+(-2a)=(-l->l,/l),

由丁6+如与d+2万所成的角是锐角，

3

-3x(-1-4)+2%>0A>——

所以<5,

—3x2w2x(-1-2)

行2

解得4>・°且4/2.

考点六：平面向量数量积的综合应用

例16.(2024・全国•高一课堂例题)如图，已知点。为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(⑵8),点8

的坐标为(力，】2),作加_LQ4,垂足为点Z).

⑴求侬,\OB\t\AB\.

(2)求cosZAOB；

(3)洛0A绕点。逆时针旋转90到0A,求点A的坐标；

(4)求|叫；

(5)求.

【解析】⑴由题意，可得次=(12,8),砺=(-4,12),

所以丽=砺—次=(7-12,12_8)=(_16,4),

可得|QA|=J122+82=4而,\OB=7(-4)2+122=4>/10,|AB\=7(-16)2+42=4V17.

(2)因为DX.丽=(12,8)(T,12)=12x(7)+8x12=48,

-OAOB483,—

所以cosNAOB=।—I，—Z7=—=-----=-.......J130

见以\OA^OB\4713X4710130V

(3)记|词=，砺与1轴正方向的夹角为。，则3X=(rcosa,rsina),

=^rcos^«4--^,rsin2+|=(-rsina,rcosa),

由于点A的坐标为02,8),那么rcosa=12,rsina=8.

因此函=(-8,12),即点A的坐标为(-&12).

⑷将向量面投影到面上，得到投影向量0区，则河卜画，

而⑷就是丽在曲方向上的投影|丽卜。sZA'OB的绝对值，

(5)因为8O_LQ4,

法I：山08=；|。川叫=94届郎9=88.

乙乙1D

法2：S^=-\OA\\BD\=-\OA\\OB\sinZAOB=-\OA\\OB\sin(9Q0-ZBAO1)

OAR222

=joA1O31cosN8QA=；而•丽=^(-8,12)-(-4,12)=88

例17.（2024•江苏连云港•高一统考）已知直角梯形A8CO的三个顶点分别为A（-L0）,8（1,2）,C（4,l）,

且钻//ZX?.

（1）求顶点/）的坐标；

（2）若E为线段8c上靠近点。的三等分点，产为线段48的中点，求卜尻-2回.

【解析】(1)设。(尤丁)，因为A(—l,0),8(1,2),C(4,l),

则芯=(2,2),BC=(3,-1),DC=(4-x,l-j),而=(x+l,y)

在直角梯形ABC。中，AB//DC,且丽•沅=（-2,-2）（3,-1）=T＜。,

ABHDCj2(l-y)-2(4-x)=0

所以A,。为直角,则＜

ABLAD|2(x+l)+2y=0

解得x=l,），=-2,所以顶点。的坐标为（1,-2）；

因为七为线段5C匕靠近点。的三等分点，则8e=3比,

设E(a,b),则(3,—1)=3(4—41—分)，

所以a=3,b=^t所以E(3,g),

又因为尸为线段AB的中点，则尸(。/)，

所以O启=(2,与｝DF=(-1,3),

则3。户-2。户=3(2,与卜2(-1,3)=(8,4),

所以卜屁-2国=j8?+42=4后

例18.(2024.广东珠海•高一统考)如图，设Qr,2y是平面内打交成60。角的两条数轴，公分别是工

轴与丁轴正方向同向的单位向量，若向量加=x4+)W，则把有序数对(a)。叫做向量在斜坐标系xOy中

1X11

的坐标，记为OP=(x,y)

P

X

(1)在斜坐标系xQy中的坐标，已知a=(x,y),求“

(2)在斜坐标系M?y中的坐标，己知£=(sine,2),j(cosai),求|一可的最大值.

【解析】⑴由题意可知：同=同=1e；W=同同—60。=:

|-*P/―—b\2)-2——、一^,o

网=lx^+ye2j=jrq+2xye1e2+y^e2+xy+,

/.|«|=Jx，十抄十.

(2)由题意可知[一B=1in匹+2可一(cos国+力

:."B=(sinJ-cos6)q+e2=(sin^-cos^,l),

由(])可得：a-h=^(sin^-cos^)2+(sin^-cos^)+l,

令，=sin6-cos。a-b=yjt2+Z+1=

又因为f=sin0—cosO=>/isin(0,

且一40«一,所以0«0-巴《四，

4244

0Ksin(6-：卜孝，,\0</<1,

又因为函数"7+上+1在04Y1单调递增,

即：f=l时，函数y=L+z+i取到最大值3,

即sin(e—2]=也，则有e=三，

I4J22

・・.当。时，口-囚的最大值为上.

变式14.(2024・四川眉山・高一校考)如图，在平面斜坐标系.">y中，ZAQV=60,平面上任一点/，的斜坐

标定义如下：若丽=工1+>£(其中彳,4分别为与工轴，y轴同方向的单位向量)，则点尸的斜坐标为

(工,)，).此时有。4=(1,2),(用=(&4),试在该斜坐标系下探究以下问题：

-；P

/

------------►

X

⑴OA//O8，求诙的坐标;

(2)丽=(3,4),求方•丽的值；

(3)求与3同向的单位向量的坐标.

【解析】(1)由丽=4+怎,历二宿+码及赤〃而得,

存在几使得丽=2西，即加;+4不=41+24耳'，

故'：[2,解得〃=2,即。月=(2,4).

(2)若砺=(3,4),则).加=苗+2可.(31+4可=3/+io或石+81

=3|^|2+10|^|­|^|COS60°+8|?|2=3+10x1+8=16,

故丽•丽=16.

(3)由|。4『=1|+20)=e1+49+44~=l+4xg+4=7,

故|次|=6，

所以与丽同向的单位向量为气詈=，"+乎小即坐标为(?,乎｝

变式15.(2024・湖南益阳•高一安化县第二中学校考阶段练习)已知无=(2,1),O4=(l,7),丽=(5,1),

设C是直线OP上的一点(其中。为原点).

(1)若C?=；lCS，AeR,求点C坐标；

⑵求可•丽取最小值时向量反的坐标.

【解析】(1)是直线O尸上的一点，

设OC=/JOP=(2〃,〃)，

・'•曰6=4函得，OA-OC=A(OB-OC),即("2〃'7—〃)=丸(5-2〃/一〃),

・•(498J9

22

(2)由(1)得，C%C«=(l-2//X5-2//)+(7-/i)(1-/7)=5z/-20//+12=5(Ja-2)-8,

••・〃=2时，瓦•加取最小值，此时玩=(4,2).

变式16.(2024.福建福州•高一校联考)在平面直角坐标系X。)，中，已知点41,1),8(3,2),尸(1,2),点M

是直线OP上的一个动点.

(1)若M为OP的中点，求+的值；

(2)求/加的最小值.

【解析】(1)因为M为OF的中点，所以"(!」)，

因为41,1),8(3,2),MA=MB=

所以碗+加=(3,1),

所闵诚+网=出匚了=丽；

Lilli

(2)由题意可得O尸=(1,2)，

因为点M是直线。尸上的一个动点，所以丽=4药MwR,

所以M(2,24),

A^A=(l-2,l-2z),MB=(3-2,2-22)

M4M§=(l-2,I-2^)(3-2,2-2/l)=(l-/l)x(3-2)+(l-2/i)x(2-2/l)

=3-42+22+2-6A+422=522-10A+5,

公工1,

2x5

所以当2=1时，砺.硒取得最小值0.

过关检测

一、单选题

1.(2024・青海•高三校联考阶段练习)已知向量不=则归+万卜()

A.10B.5C.V10D.石

【答案】C

【脩析】因为d=(2,-I),6=(1,2),所以M+万=(3,1),所以忸+耳="+产=加

故选:C

2.(2024.陕西西安.高三校联考阶段练习)已知向量3=(2,2),/；=(3,1),若£与B的夹角的余弦值为

蛔，且Z_L入贝般可以是()

10

A.(3,4)B.(-3,4)C.(；,；)D.1

【答案】B

【解析】向量％=(42),5二(3,1),若3与耳的夹角的余弦值为噜，

,rab32+23>/108/8、

则有8sd丽飞+”.用+厂力，解得、，则有不七,2),

设。二("2),由ZJ,2，则有无3=：〃7+2〃=0,解得'==,B选项符合.

3n4

故选:B

3.(2024・贵州六盘水•高二统考)已知等边三角形A8C的边长为2,D,E分别是BC,AC的中点，则

ADBE=()

31

A.—B.—1C.—D.0

22

【答案】A

UUEuur］/innuiwi\「］/Uiiiuir、］i/UinuiuumxfUIMIILI\

［解析］AD/?E=-(A/?+ACj--［BC+BA］=#5+43+3。)严+网

I/innuax.uiinuirxi/uiu2innuu'uir2\i(\\3

=Z(248+8C)(8C+叫=a(8C-BC^A-2BAj=-l4-2^-81=-^.

故答案选：A.

A

4.（2024・全国•模拟预测）已知向量G=（一1,一2）,^=（4-2）,若,一何_1（"〃），则（〕

A.42/7=IB.4A//=-1

C.4（义+〃）=1D.4（2+/z）=—I

【答案】A

【解析】法一：用坐标表示向量”加@+〃白

由题意可知，不一劝=（—1—4A,—2+24）3+,ib—（—1+4〃,一2—2"）,

由（。一注）1（万+〃5）得，

（―1—42）（—1+4〃）+（—2+24）（一2—2〃）=0,

整理得，5-202/7=0,

所以4初=1.则A对；

法二：因为向量4=（-1,-215=（4,-2）,

所以同=6/?卜26小/?=-4+4=0,

又（〃-4）闽，

所以（0一♦,+）=（/+（〃-2）d・〃一A/.ib2=5-20〃/=0,

所以4掰=1.

故选：A.

5.（2024.河北石家庄.高一校考）已知平行四边形ABCO中，DE=^DCt若配=4族+〃亚，则

%-〃=（）

A.-B.—C.2D.—2

22

【答案】D

【解析】在YA5C。中，DE=^DC,即E是。。的中点，则尼+而=2版,

又亚+丽=而+诙+及+屈=2而，即A/5=g（4E+8E）,

__1i3

因此KC=2荏-而=2荏-2（荏+题）=一上丽+己近,

222

而恁=4“+〃Ag,的，荏不共线，

故选:D

6.（2024•广西玉林•高一博白县中学校考开学考试）如图，在△48C中，中线A。、BE、CF相交于点G,

点G称为“18。的重心，那么4G:GO是（）

【答案】B

__1一1一

【解析】因为A。为“IBC的中线，所以AO=；A8+；AC,

设前=mGH，则4力二丝里从石，

m

故*而*福+3痔所以而=品金品1和

因为*=2痔所以在缶通+品优

因为民G,七三点共线，可设的=〃而，则而-血=〃（通-4邛，

故=〃荏+（1-〃）而，

tnm,mm,

故而不r〃'西二「〃’相加得而西+西二|,

解得〃?=2,故AG:GO=2:1.

故选:B

7.（2024.安徽•高二合肥一中校联考阶段练习）已知边长为2的菱形ABC。中，/。八8=方，点E是8c上

一点，满足B£=3瓦S则荏.丽=（）

1I4

A.:B.——C.--D.-3

223

【答案】B

【解析】以A为坐标原点，人8所在直线为工轴，垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系,

则00,6）,4（2,0）,。9,6）,人（0,0）,设石（以〃），

8.（2024•河南省直辖县级单位•高一校考阶段练习）已知I，[是不共线的非零向量，则以下向量可以作

为基底的是（）

—r-•—•—•-•—•-•—♦—♦

A.4=0，b=e[+e2B.a=3q+3/，力=4+弓

1UU一一一11111―一一

C.a=ei-2e2,b=e[+e2D.a-ex-2e2»〃=2q-4g

【答案】C

【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；

对于B：因为1=3冢+3£，B=所以：=3]，所以此两个向量不可以作为基底：

对于C：设）=4,即不-24=/1体+&,则所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一

一乙一4

组基底；

对于D：设二=，-2：