河北省邯郸市2025-2026学年高二年级上册期末数学试题（试卷+解析）

2025〜2026学年高二年级2月期末总结考

数学

考生注意：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知直线/的方程为百）'+6=°,则/的倾斜角为（）

兀71-5兀271

A.—B.-C.—D.—

6363

2.在等比数列｛〃〃｝中，q=l,%=9,则。3二（）

A.±3B.3C.-3D.73

3.已知平面夕的一个法向量7=（0,3,4）,点4（1,1,3）为a上一点，则点尸（2,3,4）到平面a的距离为

A.4B.3C.2D.G

4.已知数列｛qJ满足4=一1，an+l=\--,则｛4｝的前2026项和$2026=（）

2

A.2023B.2025C.2026D.2137

5.直线/：2工一），+5=。被圆C：（工一。）2+（），-2。）2=9所截得的弦长为（）

A.2B.3C.4D.5

6.已知抛物线C：），2=8x的焦点为尸，准线为/，点P为。上一点，。为/上一点，PQL,若

NPFQJ，则点P的横坐标为（）

6

D.1

7.已知数列｛《,｝满足q=L（〃+2）a”+],记｛可｝的前〃项和为S〃，则Szo”=)

20252023—40524048

A.----B.----C.----D.----

1013101220272025

22

8.已知人，工分别为双曲线石：0-4=1（。>。*>（））的左、右焦点，过原点的直线交E于尸，。两

点，若|P£|+|Q用=4〃，△"鸟为锐角三角形，则上的离心率的取值范围为（）

A（1,V2）B.（2,3）C.（0,2）D.粤）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4：x-ay+a-1=0,/2：ox+y-1=0（«eR）,则下列说法中正确的有（）

A.《1/2B.存在〃，使得4/〃2

C.直线4过定点（1,1）D.直线4过定点（1，°）

10.记s“为等差数列｛4｝的前〃项和，若生+%<0，%>0,则（）

A.4<0B.510<0

S

c.J,与｛4｝的公差相等D.S“取得最小值时〃=4

11.如图，在棱长为2的正方体A3C。一中，动点尸满足丽=〃?反1+〃西，其中机〃£[0,1],

则（）

A.若〃z=2〃=1,则AP—3

B.若机=〃，则三棱锥P-AC仅体积为定值

C.若〃2+〃=1,则AP最小值为指

D.若〃=0,则直线CJ一定不与平面ABC。垂直

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若圆/十>2-2工+3)'+/=0的半径为1,则尸=.

2

13.已知双曲线C：f-21=1的左焦点为尸，。为。上在第一象限内的一点，则直线方尸的斜率的取值

3

范围为.

14.已知数列｛〃,满足q=2,an+｝=^)+—+—6f3H-1—%,则数列｛4｝的通项公式为=

2~3n

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆C的圆心。在直线x+y-l=O上，并且过4(2,2)和8(—1,5)两点.

(1)求圆。的标准方程；

(2)过直线y=2x-6上一点尸作圆C的切线PD，切点为E,D,求四边形PEC。面积最小值.

16.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，q=l,S5=25.

(1)求｛《7｝的通项公式；

(2)若等比数列出｝的公比为3,且么+%=18,求｛。急｝的前〃项和却

17.如图，在直三棱柱ABC—A由G中，AB=BC=M，M=3,AC=6,D.E分别为棱40,

84的中点，尸为棱AG上一点，4尸二1AG.

(1)证明：AE//平面30产；

(2)求平面KC厂与平面434A的夹角的余弦值.

18.己如椭圆C；，十为一1（。>〃>0）的左、右焦点分别为K，E，A，/?分别为。的上、下顶点,

四边形4耳88的面积为2,。的离心率为等.

（1）求C的方程；

（2）已知过用的直线/与。交于。，。两点，且/不过。的任何一个顶点.

（i）若/的倾斜角为g,求△尸。死的面积；

（ii）若点P在北轴上方，直线"，A。的斜率分别为勺，Q且勺&=1,求直线/的方程.

19.定义：已知数列｛4｝前〃项和为A”，若对任意正整数〃，存在mEN,使得凡=J/,则称数列

｛4｝为“和完全平方数列”.

4n--1

（1）若数列也〃｝满足勿=匕；二;>2〃WN判断也｝是否为“和完全平方数列”•

⑵若数列｛qj的前〃项和［=（〃+42（/IEZ,且九vO）,那么是否存在九使得数歹ij｛Cl｝为“和

完全平方数列”？若存在，求出所有的力的值；若不存在，请说明理由.

（3）若等差数列｛%｝是“和完全平方数列”，求数列｛4｝的通项公式.

2025〜2026学年高二年级2月期末总结考

数学

考生注意：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知直线/的方程为百）'+6=°,则/的倾斜角为（）

兀71—5兀2兀

A.—B.-C.—D.—

6363

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案.

【详解】因为直线/方程为工-6），+6=0,故直线/的斜率为当，

设/的倾斜角为a,则lana二小，又0«。＜兀，即a=

36

故选：A.

2.在等比数列｛4｝中，q=l,%=9,则小=（）

A.±3B.3C.-3D.73

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式可求答案.

【详解】设｛q｝的公比为小所以％=q/=^=9,因为公比9为实数，所以^20,所以夕2=3,所

以《==3.

故选:B.

3.已知平面a的一个法向量7=（0,3,4）,点A（l,l,3）为a上一点,则点尸（2,3,4）到平面a的距离为

（）

A.4B.3C.2D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用点面距的向量公式求解即可.

—APnjo

【详解】由题意得4尸二（1,2,1）,所以点尸到平面a的距离

n5

故选：C.

4.已知数列｛《7｝满足％=-；，^+i=l--,则｛q｝的前2026项和52026=（）

2n

A.2023B.2025C.2026D.2137

【答案】D

【解析】

【分析】应用数列的周期性计算求和.

।111o।12,11

【详解】由""工,得电=1-「,…丁针小丁丁

1111

所以q+3=1--------=1+。”T=

4+2

所以｛%｝是以3为周期的周期数列,

又…+%=£

191

所以S.”675xh二二2137.

62

故选：D.

5.直线/：2工一），+5=。被圆。：（.1一。）2+（）,—24）2=9所截得的弦长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】应用平行线间距离公式结合几何法求出弦长.

【详解】由题意得圆心。（4,〃7）在直线4：y=2x±,直线二者之间的距离4逐，

所以圆心C到直线/的距离为逐，

所以直线/被圆。所截得的弦长L=2,9一（鬲=4.

故选:C.

6.已知抛物线C：），2=8”的焦点为产，准线为/,点〃为。上一点，Q为/上一点，PQL,若

ZPFQ=\则点尸的横坐标为（）

6

237

A.—B.—C.-D.1

348

【答案】A

【解析】

【分析［根据条件求出直线Q尸的倾斜角，进而求出直线。产的方程，再逐次求出。，。的坐标.

【详解】不妨设P在工轴上方，由抛物线定义得|PQ|=|P目，所以NPQ/=/力9=已，

所以直线Q77倾斜角为浮，所以直线。方的斜率为一立，

63

又*2,0）,所以直线QP的方程为），=-走（x-2）,

故选：A.

7.已知数列｛qj满足q=1,（〃+2）4什］N）记｛4｝的前〃项和为S“，则S202s()

2025202340524048

A.-----C.-----D.-----

1013101220272025

【答案】A

【解析】

【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求$2025.

a.n

【详解】由5+2)4讨=〃勺，得才n+^=不

a.1a,2a.3凡="1

当心2时，-=y-=^--

%〃+i

an2

以上各式相乘'得*=E,又4=1，所以4=-------in>2)

〃(〃+1)

2

因为。口满足上式，所以旷诉nwN)

(1所以$2025=21-；+；一；+…+11A_2025

因为q=2——2026)~1013

n+\)2025

故选:A.

V22

8.已知E,居分别为双曲线■-v方=1(〃>0/>0)的左、右焦点，过原点的直线交E于。两

点，若归用+|Q用=4/"”人为锐角三角形，则E的离心率的取值范围为()

B.(2,3)C.(>/3,2)D.

【答案】D

【解析】

【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出|户用=3。，\PF2\=at再结合余弦定理得出边长间关系得出

c25

2<^<-,即可得出离心率范围.

a22

【详解】由题意知，尸，。关于原点对称，

不妨设点尸为第一象限内一点，则用=归用"产用一|尸用二2〃,

又|P周+|0用=4々"尸制+|尸闾=4°,所以|尸制=3匹户图=%

记两国=2c,因为“4鸟为锐角三角形，

所以|至「+|呐2T耳图2>0,附『十忻图2卡司2>0,内国2十归国2T叫2>0,

即9。2+。2-4。2>0，9a2+4cz-a2>0»4c工+/-9。？>0，

解得2<二<?,所以血<0<巫.

a222

故选:D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4：x-ay+a-\=Q,/2：ox+j-1=0（6/eR）,则下列说法中正确的有（）

A./（1/2B.存在。，使得4//4

C.直线4过定点（1』）D.直线。过定点（1，。）

【答案】AC

【解析】

【分析】根据垂直及平行系数关系分。=0，0计算判断A,B,求解定点判断C,D.

【详解】若4=0,4：X—1=0,/2：y-1=0,《_L/2显然成立，

若〃。0,4的斜率为,，4的斜率为一。，--（-«）=-1*所以《，匕所以无论。为何值，4,4,故

aa

A正确，B错误；

/\[x-1=0fx=1/、

4的方程可化为工一1一〃（）」1）=0,即所以4过定点（1,1）,故C正确，

x=0x—0

<二A一「所以6过定点（0」），故D错误•

y-1=（）[y=]

故选：AC.

10.记3为等差数列｛qj的前〃项和，若%+%<。，%>0,则（）

A.q<0B.So<0

S

C.|言与｛4｝的公差相等D.S“取得最小值时〃=4

[2]AD

【解析】

【分析】应用等差数列通项公式及下标和性质计算判断A,应用等差数列求和公式结合下标和性质判断

B,应用等差数列求和公式计算判断C,结合数列的正负判断D.

【详解】因为％+%=%+%＜0，%＞0，所以。4＜。，〃5＞0，故公差d一%＞。，所以

4二%一33vO，故A正确；

又4=仆+”＞0,所以a。=1°（一°）=5（生+4）＞°，故B错误；

S〃=〃q+〃（；7）d,则｝=q+-d=q+（〃—l）x?,所以，§｝也是等差数列，公差为又

6/＞0,故二者的公差不相等，故C错误；

因为d＞0,所以q＜。2＜生＜〃4＜。＜4＜4＜一・，则S”取得最小值时〃=4,故D正确.

故选：AD.

11.如图，在棱长为2的正方体A3CO-A181cl。中，动点p满足丽=〃?比+〃西，其中，几〃w[O,l],

则（）

A.若〃z=2〃=l,则AP=3

B.若〃2=〃，则三棱锥P-ACA的体积为定值

C.若加+〃=1,则AP的最小值为遥

D.若〃=0,则直线GP一定不与平面A8CO垂直

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先通过向量参数方程确定动点P的轨迹，进而结合几何性质进行分析•：A选项通过代入特定参数

确定点位置并计算空间距离；B选项利用线面平行转化得到点到平面距离为定值，从而证明体积不变：C选

项将向量条件转化为三点共线，通过几何特征求垂线段最短得到最小值；D选项通过构造特殊位置的反例判

断命题不成立.

【详解】若帆=2〃=1,则点p为。G的中点，易求4尸=3,故A正确；

若〃2=〃，则点尸在线段8G上，易证BGIIA。，

因为BG（z平面AC。，ARu平面ACR,所以8Gli平面4CR,

乂PwBG，故点尸到平面AC"的距离不变，乂△ACQ的面积为定值，

故三棱锥尸一ACR的体积为定值，故B正确；

若加+〃=1,则用，C,尸三点共线，连接4与，AC,B0,

易知AC=ABi=BC=2『i,所以当P为e。的中点时，A尸IB。，AP最小，

此时AP=2>/^xsin60。=C，故C正确；

若〃=0,则点尸为棱8C上的点，当点尸与点C重合，

即〃?=1时，。/，平面48。。，故D错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若圆/+）,2一2工+3'+厂=0的半径为1,则/=.

9

【答案】-##2.25

4

【解析】

【分析】将一般式方程化为标准方程，再根据半径求解即可.

【详解】原方程可化为标准方程得：（工一11+（），+［）=1+；一产，

go

所以1+——F=l2,解得尸=—.

44

9

故答案为：-

4

2

13.已知双曲线C：/-匕=1的左焦点为尸，〃为。上在第一象限内的一点，则直线FP的斜率的取值

3

范围为.

【答案】（0,6）

【解析】

【分析】借助双曲线渐近线定义结合斜率定义即可得.

【详解】由渐近线的定义知，当尸的横坐标Xfy时，点，无限接近于渐近线），=JIr,

夕的斜率趋近于G，当P趋近于右顶点时，严的斜率趋近于0,

所以/手的斜率的取值范围为伍,后）.

故答案为：（0,6）.

14.已知数列｛qj满足q=2,an+l=a｝+-«2+-a3+•••+-«„,则数列｛q｝的通项公式为q二

3AT

2,/?=1

【答案】.

【解析】

【分析】利用已知S“求明的方法，分别讨论〃=1时，与〃22时,。〃的通项，再进行验证;

【详解】由=q+彳生+［。3+.一+一。“，

23n

当〃=1时，七=q=2,

当〃>2时，a”+…+白々”.I，

23n-\

两式相减，得4+「%='%，即4+1=——凡，

nn

所以幺也二%(〃22),

〃+1n

所以％=•••="=1,

nn-\2

所以C7“=//(//>2),

由于〃=1时，不满足上式,

2,n=1

所以4

/?>2

2,〃=1

故答案为：4

77,7Z>2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆C的圆心C在直线x+y-l=O上，并且过4（2,2）和8（-1,5）两点.

（I）求圆C的标准方程；

（2）过直线y=2x—6上一点p作圆C的切线尸石，PD,切点为E，D,求四边形PEC。面积最小值.

【答案】（1）（x+l）2+（y-2）2=9

⑵3而

【解析】

【分析】（1）根据题意，设。（。,1一〃），列出方程J（〃-2）2+（l—〃—2）2+—a—5）2求得

a=-l,求得圆C；

（2）根据题意求得，当b=3时，得到P（3,0）,|尸4取得最小值，进而得出面积最小值.

【小问1详解】

由题意，圆心在直线x+y-1=0上，可设。（。,1一々），

因为圆。过点A（2,2）,且过点3（T,5）,

可得J（4_2y+（1_〃_2）2=4a+l）2+（j_5）2,整理得（a_2）2=（a+4）2,

所以a=T,即。（一1,2）,且半径r=3

所以圆。的方程为（x+iy+（）」2『=9.

【小问2详解】

由（1）知，圆C:（x+l『+（y-2『=9,圆心。（一1,2）,半径〃=3,

则四边形PECD的面积S=2sAps=2xlx|PD|x3=3|PD|,

设P(〃,2〃—6),因为|PQ|二J|户C『_9=Je+l『+(29_8y—9=,52—3)2+9,

所以当b=3时，|PD|.=屈，

1mm

此时四边形PECD的面积最小，最小值为3而；

16.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S〃，4=1,S5=25.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）若等比数列｛〃｝的公比为3,且4+4=18,求｛为d｝的前〃项和7；.

【答案】（1）an=2n-l

（2）7＞（"l）x3"+l

【解析】

【分析】（1）设｛4｝的公差为d,根据求和公式求出d,即可求出通项；

（2）求出出，即可求出4，从而求出〃”的通项公式，即可得到%勺=（2〃-1）x3""，再由错位相减法计

算可得.

【小问1详解】

5x4

设等差数列也｝的公差为d,由题意得q=l,55=56/1+—t/=56/,+10J=25,

解得d=2,

所以％=1+2（〃-1）二2〃-1.

【小问2详解】

由（1）知％=9,

由题意得4=18-%=9,所以4x3?=9,所以仇=1,

所以a二3〃T,

则=（2〃-1）x3"。

所以7；=1x1+3x31+5x3?+...+（2〃-l）x3'i,

两边同乘以3,得31=1x3+3x32+5x33+…+（2〃—1）x3",

两式相减，得一27；=l+2x3i+2x32+・・・+2x3"T—（2〃—l）x3"

=1+2（3+32+・・・+3'1）—（2〃-1）x3〃

=1+2>\3~2"1）X3"

=（2—2〃）x3"—2,

所以7；=（〃一l）x3〃+L

17.如图,在百二棱柱ABC-A,或G中,AR=RC=A,M=3.4c=6.D.E分别为棱耳G.

的中点，尸为梭4G上一点，=

(1)证明：AE//平面3OF；

(2)求平面8。户与平面A的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵空.

25

【解析】

【分析】(1)先证明垂直关系，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面垂直;

(2)求出两个平面的法向量，利用向量夹角求解平面的夹角.

【小问1详解】

证明：分别取AC,AG的中点。，M,连接OB,OM,易证OBJ_4C,0M1.AC,

因为平面_L平面平面ACGAD平面A6C=47，OBu平面/WC,

所以03，平面4。£4,又QMu平面ACGA，所以OB_LQM,

所以。4,OB,OM两两垂直，以O为坐标原点，直线。4,OB,分别为1轴，＞轴，z轴建立如

图所示的空间直角坐标系，

(31

则八(3,0,0),5(0,1,0),D--,-,3产(1,0,3),%(3,0,3),

I，z\2)

所以丽=卜永-川，丽=（|，-别，痔,3』,尚

31cC

—x—y+3z=(),

iiBD=0,22-

设平面40尸的一个法向量3=（又乂z）,贝।卜一即

51

«DF=0,—x—y=n0,

.22“

4-(…4

令工=1,得y=5,z=—,所以〃=1,5,-

3I3

._,3、4

所以4足〃=-3x1+1x5+——x—=0,

k2/3

因为A?a平面8DF，所以平面8。「

【小问2详解】

-(4、一.___.

由(I)知，平面BDb的一个法向量〃=1,5,-,Afi=(-3,1,0),AA=(0,0,3),

\3)

庆•通=0,—3ci+〃=0,

设平面A844的一个法向量a（4,b,C）,则，即

3c=0,

m-AA]=0,

令〃=1,得Z?=3,c=(),所以〃z=(1,3,0),

设平面厂与平面4344的夹角为氏则

/_mn1624

cos0=cos'（m,n/）=同--加---=.=-------=—25

24

即平面8。尸与平面的夹角的余弦值为二.

18.已知椭圆C：£+今=1.>〃>0）的左、右焦点分别为耳，F2,A,8分别为C的上、下顶点,

四边形5的面积为2,C的离心率为日.

（I）求C的方程；

（2）已知过片的直线/与C交于尸，Q两点，且/不过。的任何一个顶点.

（i）若/的倾斜角为g,求△尸的面积；

（ii）若点夕在4轴的上方，直线"，A。的斜率分别为勺，八，且尢&=1，求直线/的方程.

【答案】（1）—+/=1

2

⑵（i）（ii）3x+y+3=0.

7

【解析】

【分析】（I）根据面积列式结合离心率及计算求解:

（2）（i）设直线联立直线和椭圆得出韦达定理得出面积求解：（ii）设直•线联立方程组得出韦达定理,

再计算斜率积求解参数得出直线方程.

【小问1详解】

—x2Z?x2c=2,

2

c\[2

记忖见=2c(c=J7=P"),由题意知|A3|=2〃,

厂三’

cr=/r+c'

解得a=亚，b=c=l,所以。的方程为、+），2=1.

【小问2详解】

（i）由（1）得万（一1,0）,5（1,0）,忻用=2,因为直线/的倾斜角等于

所以/的斜率为tan]=JJ,所以/的方程为y=g（x+l）,

，r，I

---1-=1,

由]2•得7f+12x+4=0,

卜=6(%+1卜

124

设P（XI，）'J，。（/，）’2），则罚一工2二一亍,^2=~

2/a3

所以y+y2=6(*+勺+2)=:，y%=3(内/+%+/+1)=一,，

所以△PQ6的面积期=J后马|y-%|=J()L+)J-4y»

.4xp4m

I77

(ii)由题意知/的斜率不为。且/不过A,B点,故设/的方程为x="7)-l(〃2W±l),P(%,yJ,

Q(w，%)，

X2_]

由<2+)一，得,7+2)y2―2〃7)，_]=0,

lx=/ny-1,

Im1

则A=4/??2+4(〃/+2)=8(m2+!)>(),且y+必=

-V1-1L_>,2-1

因为A(O,1),所以尢二

芭x2

(yT)(%T)_(弘一乂％-()1+必)+1

所以

XX

]2(w,-l)(7ny2-l)"外力_"(y+%)+l

12m

+1

m2+2m2+2m2-2m+11-w

=1,

m2_2/n2十]2(l-w2)2(1+/??)

m~+2nt~+2

19.定义：已知数列｛q｝的前〃项和为A”，若对任意正整数〃，存在〃ZEN,使得A“二/〃2,则称数列

｛4,｝为“和完全平方数列”.

二〃二Lc…判断｛2｝是否为"和完全平方数列

(1)若数列｛2｝满足〃=•

2〃+l,〃N2,〃eN,"।

(2)若数列匕｝的前〃项和？；=(〃+⑷2(/IwZ,且zUO),那么是否存在九使得数列｛lq』为"和

完全平方数列”？若存在，求出所有的4的值；若不存在，请说明理由.

(3)若等差数列｛q｝是''和完全平方数列”，求数列｛4｝的通项公式.

【答案】(1)｛bn｝“和完全平方数列“，理由见解析；

(2)存在；1=一1,使得｛|c“|｝为"和完全平方数列”，理由见解析；

(3)4