高中数学复习 第六章 平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）

第六章平面对量及其应用（公式、定理、结论图表）

「思维导图

平面向量的实际背景与概念

平面向量的概念平面向量的几何表示

相等向量与共线向量一

平面向量的加、减运算

「平面向量的运算平面向量的数乘运算

平面向量的数量积

平面向量

及其应用

平面向量基本定理

平面向量基本定理

平面向量的坐标表示

及坐标表示

平面向量运算的坐标表示

用向量方法解决平面几何问题

平面向量的应用用向量方法解决物理问题

—___余弦定理、正弦定理

知识梳理1

I.向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有方囱的量叫做向量，向量的大小叫做向量的度.

⑵零向量：长度为9的向量，其方向是任意的.

⑶单位向量：长度等于1个单位的向量.

⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.

（5）相等向量：长度相等且方向相国的向量.

⑹相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运

定义法则（或几何意义）运算律

算

交换律：a+b=h±_

芬a

加法求两个向显和的运算三角形法则

结合律：（。+力）+c=

a+（〃+c）

平行四边形法则

求。与力的相反向量

减法a—b=a-\-(—b)

一》的和的运算a

三角形法则

|；.a|=UM，当力＞0

时，久。与。的方向

MNa)=(/4i)a；

求实数2与向量。的相同;

数乘(2+〃)。=：

积的运算当2Vo时，"与a

A(a+b)=/.a-\-/.b

的方向相反;

当2=0时，/«=0

3.两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数九使得b=/.a.

4.平面对量基本定理

假如幻，的是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量。，宜且区包一对实数为，

12，使a=Lei+）.2e2.

其中，不共线的向量0，C2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底.

5.平面对量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设。=（X1，），］）,b=（X2，J2），则

a-\-b=（xi+%2，丫1+「2）»a~b=（占一期，刈一口），

)。=(届，4川,|a|=\/立+1.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设4(X1，y)，8(X2，及)，贝」44=(也一片，刀一")，

HB|=\f(的一大)？+(Y2一宣)2.

6.平面对量共线的坐标表示

设〃=(汨，)，[),b={X2,\2),其中bWO,a〃、'2—X2Yl=0•

7.向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量。和〃，作—=mOB=b,则乙404就是向量。与b的夹角.

⑵范围：设。是向量。与力的夹角，则0°W«W180°.

(3)共线与垂直：若夕=0°,则。与方回回；若。=180°,则。与力反向；若。=90°,则。与力垂直.

8.平面对量的数量积

设两个非零向量。，〃的夹角为仇则

定义

lall/d・cos_〃叫做a与b的数量积.记作a-h

1aleos/叫做向量a在方方向上的投影，

投影

庭里，叫做向量b在。方向上的投影

数量枳ab等于a的长度⑷与b在。的方向

几何意义

上的投影仍Icos「，的乘积

9.向量数量积的运算律

(\]ab=ba.

(2)(加)-b=A(a'b)=a(i.b).

(3}(a+b)-c=a-c+b-c.

10.平面对量数量积的有关结论

己知非零向量。=(汨，V),6=(X2，、2)，。与力的夹角为。.

结论几何表示坐标表示

模\a\=y[g：aI«I=A/3±3

,?」土+)'1'2

夹角as,雇1cos19.)r«>।o

。_£力的充

。山=0两制+丫日户。

要条件

＜常用结论》

1.五个特殊向量

(1)要留意0与0的区分，0是一个实数.0是一个向量，且|0|=0.

(2)单位向量有很多个，它们大小相等，但方向不肯定相同.

(3)任一组平行向量都可以平移到同始终线上，因此平行向量也叫做共线向量.

(4)与向量〃平行的单位向量有两个，即向量潦和一卷

2.五个常用结论

(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的向量,

即第孤+AI：+…+A,3A”=A[“.特殊地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.

(2)若P为线段A/T的中点，0为平面内任意一点，则为=；(—+拉?).

(3)若A,B,C是平面内不共线的三点，则前+两+元=0㈡P为△A8C的重心.

(4)在AABC中，AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC

的重心，则有如下结论：

①昌+初+贫?=0；

—►1——►-►

@AG=^AB+AC)；

③6b=/(初+族〉

(5)若苏=2为+〃衣(九〃为常数)，则A,B,。三点共线的充要条件是2+〃=1.

3.基底需要的关注三点

(1)基底约，&必需是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

[AI=JUI,

(3)假如对于一组基底白，62，有。=筋白+2262=413+4202，则可以得到J,

.42=42.

4.共线向量定理应关注的两点

(1)若。=(M，>'i),b=(.X2>>,2).则"〃力的充要条件不能表云成号=9由于上，”有可能等于0,应表

y2

示为x\y2~X2y\=0.

(2)推断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定.

5.两个结论

(1)已知尸为线段A8的中点，若A(x”JI),B(M，竺)，则尸点坐标为("七，"21).

⑵已知△48C的顶点4(汨，6)，3(必》2)，。(心，力)，则△ABC的重心G的坐标为gg'，

6.两个向量m1的夹角为锐角台。力＞0且。，「不共线；

两个向量a,b的夹角为钝角㈡46Vo且。，b不共线.

7.平面对量数量积运算的常用公式

(1)(〃+力＞(。一方)=4一".

(2)(。+力)2=〃2+2。仍+/＞2.

(3)(。-")2=02-2。一十/.

〈解题方法与技巧〉

一、辨析向量有关概念的五个关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.

(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0,规定零向量与任何向量共线.

典例1：设的为单位向量，①若。为平面内的某个向量，则。=|a@)；②若。与ao平行，则。=|0的；

③若。与的平行且⑷=1,则。=a).上述命题中，假命题的个数是()

A.0B.I

C.2D.3

解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，。与⑷的的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命题：若

。与4()平行，则。与的的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时〃=一⑷的，故②③也是假命题.综

上所述，假命题的个数是3.

典例2：设°,5都是非零向量，下列四个条件中，使奇，成立的充分条件是()

A.a=—bB.a//b

C.a=2bD.〃〃力且⑷=向

解析：选C.由于向量启的方向与向量a相同，向量卷的方向与向量力相同，且裾=j|p所以向量。与向

量b方向相同，故可排解选项A,B,D.

当”=2b时，合=僚=备2a=2亡是端=粉’成立的充分条件.

典例3：给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若⑷=|。|,则a=b或〃=-6；

③若A,B,C,。是不共线的四点，且检=成，则A8C。为平行四边形;

@a=b的充要条件是⑷=|臼且a//b；

⑤己知九〃为实数，若痴一曲,则。与〃共线.

其中真命题的序号是.

解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不肯定有相同

的起点和终点.

②是错误的，\a\=\b\,但a,。方向不确定，所以a,力的方向不肯定相等或相反.

③是正确的，由于赢=爪7,所以|赢|=|的且Q〃虎；又A,B,C,。是不共线的四点，所以四边形

ABCD为平行四边形.

④是错误的，当a〃人且方向相反时，即使同一同，也不能得到a一九所以同一网旦a〃〃不是。一〃的

充要条件，而是必要不充分条件.

⑤是错误的，当2=〃=0时，。与b可以为任意向量，满足m=口力，但。与〃不肯定共线.

答案：③

二、平面对量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则.

(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量

的和用三角形法则.

典例4：(1)在△ABC中，4D为8C边上的中线，E为A0的中点，则还=()

A翔-标B.拗一派

C.涧/D.拗+泳

(2)在四边形4BCD中，BC=AD,AC与8。交于点。，E是线段。。的中点，AE的延长线与CQ交于

点F,则()

A.AF=^C+1^DB.AF=^AC~\-^BD

C.酢'=荻:+河D.AF=^AC-\-^BD

【解析】(1)

法一：如图所示，港=访+加=颉)+g(嬴+病)+女嘉一族：)=汕一"危，故选A.

法二：前=矗一危=前一颉)=赢一；X氐嬴+应7)=汕一；/，故选A.

(2)

«

在四边形ABCD中，如图所示，由于诙=病，所以四边形A8C。为平行四边形.由已知得命=；说,

,v[fIf4-2—2—f2BD—ACBD—AC—>—>

由题意知则。〃=牙4"所以C〃=]CO=Q(OD-OO=QX—5-=-7—，所以4r=AC

,->一，BD-AC2-，1一…

+CF=AC+—5—=?AC+1BZ),故选B.

【答案】(1)A(2)B

典例5：如图，在直角梯形43。。中，DC=^AB,BE=2EC,且能=麻+.口3,则2r+3s=()

A.1B.2

赢+多Q)+%B)=T赢+%]

一一一12

由于4E=MB+sA。，所以/•=],s=y则2r+3s=1+2=3.

-A-►—>-A—>-A—►I"A2""A1-«A2-►-AI->

法二：由于所以整理，得

8E=2EC,AE-A8=2(AC-AE),AE=DY8+QAC=1y8+£JAO+DC)=5乙AB+

f1-

法三：如图，延长A。，8C交于点P,则由。得。C〃/AB,且4B=4OC

.A»»4，.

义BE=2EC,所以E为PB的中点、,且

法四：如图，建立平面直角坐标系xAy,依题意可设点8(4〃?，0),Z)(3/w,3"),a4加，2人)，其中〃?>0,

/z>0.

由AE=M4+sA。，得（4机，2A）=M4〃b（））+S（3/〃，3/I）»

fl

4〃?=4〃〃+3叱，2'

所以解得<.

2〃=3加，_2

［s~r

所以2r+3s=1+2=3.

【答案】C

三、共线向量定理的3个应用

(1)证明向量共线：对于向量*b,若存在实数九使。=址(力/0),则〃与，共线.

(2)证明三点共线：若存在实数九使嬴=求，则A,B,C三点共线.

⑶求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

［留意］证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

典例6：设两个非零向量a与方不共线.

(I)若蕊=a+〃，证=2«+84Cl)=3(a-b),求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定实数匕使总+》和a+旧共线.

【解】(1)证明：由于赢=。+力，证=2a+8"CD=3(a-b),所以丽=&:+诙=20+86+3(〃一。)

=5(〃+5)=5后，

所以赢，访共线，又它们有公共点8,

所以人，B,。三点共线.

(2)由于初+力与。+姑共线，

所以存在实数九使履+力=i(a+M),

即(&-N)a=(M—1)b.

义a,。是两个不共线的非零向量，

所以k-X=/.k-1=0.所以K-1=0.

所以攵=±1.

四、平面对量基本定理应用的实质和一般思路

(1)应用平面对量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数

乘运算.

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.

I提示］在基底未给出的状况下，合理地选取基底会给解题带来便利.另外，要娴熟运用平面几何的一

些性质定理.

典例7:如图，在直角梯形人BCO中，AB=2AD=2DC,石为边上一点，BC=3EC,户为人E的中点,

B.^AB—^AD

D.一3A+W。

(2)在梯形A8CO中，AB//CD,AB=2CD,M,N分别为CD,8C的中点.若赢=Hf+4病，则2+

〃=------------

【解析】(1)

法一：如图，取48的中点G,连接。G,CG,则易知四边形QC8G为平行四边形，所以淅=济=病

—►►I->-A►►~~►2~1A-►D—^AB^=^AB)于是泳=亦一矗=；成

fG=4。一5”，所以AE=A8+8E=A8+产'=48++1/4£,

一丽=氐58+.。)一赢=一,赢+/^，故选C.

法二：BF=BA^-AF=BA^AE

=一赢+茎病+舔+砌

=-靠+茎病+械+；同

=一赢+领)+；赢+:(诙+扇+砺

=一,赢+;Ab.

—>—>—>—►—>—►—♦>—>—►->—>—*I—>—>>->X->

(2)由于A8=AN+N8=AN+CN=AN+(CA+4N)=24N+CW+MA=2AN—zA8—AM,所以A8=0N—

484

-=--

555

【答案】(I)C(2)1

五、平面对量的坐标运算

(1)向量坐标运算的策略

①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；

②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；

③解题过程中要留意方程思想的运用及正确使用运算法则.

(2)向量问题坐标化

当题目条件中所给的几何图形便利建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐

标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解.

典例8：(1)已知向量”=(5,2),力=(一4,-3),c=(x,)，)，若3G—2A+C=0,则C=()

A.(-23,-12)B.(23,12)

C.(7,0)D.(-7,0)

(2)平面直角坐标系宜川中，已知A(l,0),B(0,1),C(-l,c)(c>0),且|的=2,若灰?=母"〃为,

则实数;1+4的值为.

【解析】(1)3。-2B+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=-12,故选A.

(2)由于|6&|=2,所以|6&F=1+C2=4,由于C>0,所以C=J5.由于庆=入6入所以(一1,小)=

入(1,0)+认0,I),所以入=-1,m=小，

所以入+^=小一L

【答案】⑴A(2)<3-1

典例9：(1)向量

a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=2a+,〃力(九〃£R),则;=.

(2)在矩形ABCD中，AB=\,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若丽=派+"而,

则).+4的最大值为.

【解析】(1)以向量。和力的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),

则4(1,-1),8(6,2),C(5,—1),所以。=n=(一1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(~\,一3).由

[T+6〃=—1,1

于c=ia+〃b,所以(一1,—3)=4(—1,1)+"(6,2),即|解得2=—2,〃=一弓，所以一=

4+2〃=—3,乙"

4.

⑵

以A为坐标原点，AI3,A。所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B(l,

2_2

0),C(l,2),。(()，2),可得直线的方程为2x+y-2=0,点C到直线B力的距离为圆C:

yp+22-忑

(x—1产+(厂2)2=1，由于P在圆。上，所以。(l+¥Wx)s6,2+"Win6),浦=(I,0),病=(0,2),

JJJ

2^/5

cos6=2,

52\/r5\rI5

崩=而+〃病=(九2〃)，所以厂4+〃=2+T-COS6+与sin6=2+sin(0+9)W3,

2+<in8=2",

J

tan夕=2.

【答案】(1)4(2)3

六、平面对量共线的坐标表示

(1)两平面对量共线的充要条件有两种形式：①若。=3,y),b=gy2),则的充要条件是xi”

-x2yi=0;②已知〃关()，则。〃》的充要条件是〃=油。££).

(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零

实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

典例10：(1)已知平面对量。,b,c,a=(—1,1),b=Q,3),c=(-2,k),若(a+6)〃c,则实数人

(2)已知梯形ABCQ,其中48〃。。，且OC=2AB,三个顶点A(l,2),8(2,1),C(4,2),则点。的坐

标为.

【解析】(I)由题意，得。+力=(1,4),由3+/>)〃c,得|XA=4X(-2),解得2=-8.

(2)由于在梯形中，AB//CD,DC=2AB,所以方2=2成.设点。的坐标为(x,y),则52=(4,2)

-(x,y)=(4-x,2-y),赢=(2,1)-(1,2)=(1,-I),所以(4-x,2-y)=2(L-I),即(4一斯2~y)=

[4—x=2,x=2,

(2,-2),所以，解得故点。的坐标为(2,4).

(2-y=-2,y=4,

【答案】(1)-8(2)(2,4)

典例11：已知向量d=(2,12),08=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,。三点共线，则攵的值是()

A.-jcD.|

R空i

【解析】AB=OB-OA=［4-k,-7),AC=OC-OA=(-2k,-2).由于A,B,C三点共线，所以

AB,启共线，所以一2X(4T)=-7X(—26，解得仁一多

【答案】A

七、平面对量数量积的三种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a6=|a||A|cos〈小力〉.

⑵当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若〃=(即，M),b=(X2,”)，则“6=X|X2+.VD2

(3)利用数量积的几何意义求解.

［提示］解决涉及几何图形的向量的数量枳运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量税的运算律

化简后再运算.但肯定要留意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.

典例12：如图,在梯形A3c。中,A8〃CQ,CO=2,NBA。寸若石•位?=级荒),则危公=.

【解析】法一：由于赢后=2赢病，所以矗后一矗而=魂•俞，所以初灰•访.

由于AB〃CZ),CD=2,ZBAD=l，所以2|丽=|丽・国＞8寸，化简得丽|=2，1故屐)元=疝(最)

+DC)=|病产+危灰=(2啦尸+2啦X2co寸=12.

法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意,可设点。(/”，〃?)，C(m+2,m),B(nf0),其中机＞0,〃＞(),则由八戢?=2而启，得(〃，0)(m

+2,m)=2(n,())•(〃?，/"),所以〃(6+2)=2/〃〃，化简得〃?=2.故A£MC=(〃?，〃?)=2//+26=12.

【答案】12

八、求向量的模的方法

(1)公式法：利用|。|=倚及(处方)2=1〃|2±206+|呼，把向量模的运算转化为数量积的运算.

(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

典例13：⑴已知平面对量”，力的夹角为会且同=小，g|=2,在AABC中，AB=2a+2b,AC=2a~

6b,。为BC的中点，则|屐)|等于()

A.2B.4

C.6D.8

(2)已知在直角梯形A8CO中，AD//BC,ZADC=90°,AD=2,BC=\,P是腰。。上的动点，则|就

+3而|的最小值为.

【解析】⑴由于病=«B+充)=/2。+2力+加-6勿=20—2力,

所以丽|2=43—〃)2=4(/-2"a+〃)=4X(3-2X2xy5xcos^+4)=4,则丽|=2.

⑵

建立平面直角坐标系如图所示，则4(2,0),设P(0,y),C(0,b),则8(1,b),则诙+3丽=(2,-y)

+3(1,b—y)=(5,3b—4y).

所以|或+3两|

=、25+(38一4、)2(0WyWb).

当了=%时，而+3而Imin=f.

【答案】(1)A(2)5

九、平面对量的夹角

(1)争辩向量的夹角应留意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，留意向

量夹角的取值范围是|()°,180°］；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos^=-r==±2W=

Vrf+yf・7达+货

求解.

(2)数量积大于。说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于。说明不共线的两向量的夹角为直角,

数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.

典例14：⑴已知”，力为单位向量，且4力=0,若c=2a—小b,则cos(a,c〉=

(2)若向量a=(k,3)"=(1,4),c=(2,1),己知2a~3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是

【解析】⑴设。=(1,0),b=(0,1),则c=(2,一小)，所以cos〈°,c〉=-7==1

1X.4+53

(2)由于2a—3力与c的夹角为钝角，

所以(2。-3b>c<0,

即(2L3,-6).(2,1)<0,

所以软一6—6<0,所以攵<3.

2

【答案】(l)j(2)(—8,3)

十、两向量垂直问题

(1)当向量。与〃是坐标形式时，若证明“_!_〃，则只需证明00x1x2+》”=0.

(2)当向量”，力是非坐标形式时，要把小》用已知的不共发向量作为基底来表示，且不共线的向量要

知道其模与夹角，进行运算证明“6=0.

(3)数量积的运算是对非零向量而言的，若。=0,虽然有。仍=0,但不能说〃_10

典例15：(1)已知。=(1,1),b=(2,w),a.L(a-b),则向=()

A.0B.1

C巾D.2

(2)已知向量后与公的夹角为120°,且|矗|=3,|无1=2.若力=•+就，且亦上肝，则实数7的值

为•

【解析】(1)由题意知。一力=(—1,1—/??)-由于a~L(。一份，所以e(“一b)=-1+1—，〃=0,所以〃?=

0,所以力=(2,0),所以步|=2.故选D.

(2)由于崩"L或所以还灰=0.

又崩=通+后，BC=AC-AB,

所以(标+充)•(启一赢)=0,

即1)启易一属2+松=0,

所以(幺一1)1GliB|cos120°一92+4=0.

所以(2一1)*3乂2乂(-3一%+4=0.解得人=(.

【答案】(l)D(2)9

十一、平面对量与三角函数的综合问题

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函

数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向

量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

典例16：己知两个不共线的向量a,b满足。=(1,小)，b=(cos0,sin。)，℃.

(1)若2«—6与a—7b垂直,求|。+目的值;

(2)当。£[0,于时，若存在两个不同的"使得|"+小"=成立，求正数，〃的取值范围.

【解】(1)由条件知⑷=2,|^|=1,又2a—8与。一7。垂直，所以(2。一。)“一7b)=8—15。仍+7=0,

所以ab=\.

所以|a+〃F=|aF+2a协+仍『=4+2+1=7,故|。+臼=巾.

(2)由|a+小力|=,得|a+、和。F=I”/.

即MF+2小°0+3步|2=*”,

即4+2小。仍+3=4〃?2,7+23(cos6+V5sin0)=4m2.

所以4小sin(9+，=4"i2—7.

由0G0,y,得〃+劳£季，用，

由于存在两个不同的〃满足题意，所以数形结合知4Wsin@+ge[6,4小),即6忘4加—7〈45，即

乐加<2±篝…,所浊Uv苧.

即实数m的取值范围为

十二、向量与平面几何综合问题的解法

(1)坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表小，这样就能进行相应的代数运算和

向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.

典例17：(1)已知O是平面上的肯定点，人，B,C是平面上不共线的三个动点，若动点夕满足苏=后

+刈b+而，4G((),4-oo),则点P的轨迹肯定通过△ABC的()

A.内心B.外心

C.重心D.垂心

(2)在平行四边形A8c。中，4)=1,ZBAD=60a,E为C。的中点.若应?•诙=1,则A8=.

【解析】⑴由原等式，得成一万1=晨寿+/)，即成=4亚+/)，依据平行四边形法则，知寿+

去?=匆)(。为8c的中点)，所以点。的轨迹必过△A3C的重心.故选C.

—♦-►—>—►1—►—>1—►—>—►—►—►—►

(2)在平行四边形ABC。中，BE=BC+CE=BC^CD=AD-^AB,又由于AC=4O+A&所以ACEE=

(病+赤.(而一舔)=而2-；而赢+病.嘉一;诵2=1丽丽||丽COS60°一;丽2=1+1X1X；|丽

一肯嬴F=i.所以赢1)1嬴1=。，又I蕊i#o,所以|然|=/

【答案】(1)C(2)1

十三、平面对量与函数、不等式的综合应用

通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的学问解决,同时也要留意平

面对量的坐标运算在这方面的应用.

典例18：(1)设〃是两个非零向量。，〃的夹角，若对任意实数，，|。+冽的最小值为1,则下列推断正确

的是()

A.若⑷确定，则J唯一确定

B.若一确定,则〃唯一-确定

C.若。确定，则向唯一确定

D.若夕确定，则⑷唯一确定

(2)已知向量”，b为单位向量，且。•力=—；,向量c与。+。共线，则|G+C|的最小值为.

【解析】(1)设g(f)=(a+力)2=万2尸+2以山+〃2,当且仅当|=一既?=一建就一时，g⑺取得最小值],

所以yX同筹8—2〃.收琳就，+<?=1,化简得/sin28=],所以当。确定时，⑷唯一确定.

(2)法一：由于向量。与〃+〃共线，所以可设。=/(。+力)(/£R),所以“+<?=(/+1)。+/〃，所以(〃+。)2=

。+1)%2+2«/+1)4。十由i■向量4,。为单位向量，口。•。一一:,所以(a+c尸一(1+1)2—r7+1)+/一产

+/+12*所以|a+c|2坐，所以|G+C|的最小值为坐.

法二：由于向量a,b为单位向量，且。•力=一