高三数学一轮学案：指数函数

§2.8指数函数

【课标要求】1.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.2.理解指数函数的单调性、特殊

点等性质，并能简单应用.

指数函数及其性质

⑴概念：一般地，函数产出（A0,且aWl）叫做指数函数，其中指数工是自变量，定义域是.

（2）指数函数的图象与性质

a>\0<a<\

y=a\『

..米，％=1

图象-3-1

o|i7o\i

定义域

值域

过定点____________,即x=0时，尸1

当心>0时，__________;当x<0时，__________;

性质

当4Vo时，________当心>0时，________

______函数______函数

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（I）函数产"是指数函数.（）

⑵指数函数尸f与产,且aXl）的图象关于）•轴对称.（）

⑶若，且aW1）,贝ijm<n.（）

（4）函数.产"+2（G>0，且aW1）过定点（0,2）.（）

2.给出下列函数，其中为指数函数的是（）

A.y=x4B.y=xx

C.y=7rvD.y=4"

3.若函数,/W=/3>。，且。彳1）满足火2）=81,贝丫（一］的值为（）

A.±-B.±3

3

C.-D.3

3

4已知函数内0的定义域为R,及))=1,嫖=2,隽=2,嫖=2,篇2,…,春*2(〃写出满足上述

条件的一个函数：.

1.掌握指数函数图象的三个特点

⑴指数函数尸"m>o,且。羊1)的图象恒过点(0,1),(1,〃)，(-1,依据这三点的坐标可得到指数函

数的大致图象.

(2)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于)，轴对

称.

(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0"“<1<〃<力.

2.谨防一个失误点

讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数。的大小不确定时，需分。>1和0<。<1两种情况

进行讨论.

题型一指数函数的概念与图象

例1(1)(多选)下列选项正确的是()

A.函数f(x)=(2a23a+2\aK是指数函数，则

B.指数函数J(x)="(a>0,且的值域为(0,+°°)

C函数产且。工1)的图象可以由7U尸"的图象向右平移一个单位长度得到

D.函数)=d+3](a>o,且恒过定点(一10)

(2)(多选)若函数兀丫)="+伙其中G0旦的图象过第一、三、四象限，贝")

A.0<t7<lB.aB>l

C.lvXOD.bDcl

思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、

对称变换得到.特别地，当底数。与I的大小关系不确定时应注意分类讨论.

跟踪训练1(1)(多选)已知实数小〃满足等式3"=6'则下列可能成立的关系式为()

A.a=bB.O<b<a

C.a<Z?<0D.O<a<b

(2)若函数有两个零点，则实数b的取值范围是.

题型二指数函数的性质及应用

命题点1比较指数式的大小

例2⑴已知a=L05°6,Z?=0.6°-8,c=0.604,则a,b,c的大小关系是()

A.a>/?>cB.a>c>Z?

C.b>c>«D.c>Z?>«

21

(2)若a=G)3,b=(|)2,c=log4，则mb,c的大小关系为()

3

A.a>c>/?B.b>c>«

C.c>a>bD.c>b>a

命题点2解简单的指数方程或不等式

例3⑴已知p：a'vl(el),q：2x+ix<2,则〃是乡的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)已知函数及)=2国,则次2x)M2i+3)的解集为.

命题点3指数函数性质的综合应用

例4已知函数段)=2'+。2、是定义在R上的偶函数.

(1)求a的值，并证明函数./U)在[0,+8)上单调递增；

(2)求函数〃(幻可&)"入)，xG[O,1]的值域.

思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可

以借助中间量.

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，

要借助“同增异减”这一性质分析判断.

跟踪训练2(1)«=Q)3,b=2°\c=log3^的大小关系为()

A.avkcB.c<h<a

C.a<c<bD.c<a<b

(2)(2023・新高考全国I)设函数在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(8,2]B.[2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

（3）（多选）（2024・临沂模拟）己知函数尸聂+a（a£R）,则下列结论正确的是（）

A.f（幻的定义域为（8,0）U（0,+«>）

B.f（x）的值域为R

C.当时，«r）为奇函数

D.当a=2时，J（x）+J（x）=2

■微拓展

抽象函数

抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过人即）一/（工2）的

变换判定单调性、出现,/U）及八一X）判定抽象函数的奇偶性、换X为x+T确定周期性.

（1）判断抽象函数单调性的方法

①若给出的是“和型”抽象函数加：+判断符号时要变形为外2）一凡11）=/（。2—汨）+由）一人汨）或於2）

一/（即）=4X2）+X2）；

②若给出的是“积型”抽象函数“ry）—，判断符号时要变形为/2）-/（片）=/11•9一贝制）或以2）-/Ui）=

加2）-小詈）.

（2）常见的抽象函数模型

①正比例函数外）=日（2W0）.对应fix±y）=fix）±fl<y）；

②幕函数以）=式对应於>，）=心）九，）或/停）=编；

③指数函数/U）="（G>0,且。¥1）,对应/U+y）=/U）/U）或人工一月=借；

⑤正弦函数./U）=sini,对应危+），次r—），）=L/U）『一（/（v）?，来源于sin%—sin%=sin（a+4）sin5—£）；

cos

⑥余弦函数/（x）=cosx,对应+/：），）="（三^）（于）来源于a+cos//=2COS匕券COS一；

⑦正切函数段尸tanX,对应於分尸磊虢,来源于tan（a切尸器黑卷

典例（多选）已知函数,"）的定义域为R,且於+），）=加:）+四）,当x>0时段）>0,且满足12）=1,则下列说法正

确的是（）

A.f（x）为奇函数

B.f(-2)=-l

C.不等式12处一人工一3)>—2的解集为(一5,十8)

D.f(一2025)十«—2024)+…+五0)+--+/2024)+负2025)=2024

答案精析

落实主干知识

(1)R(2)R(0,+8)(0,1)

y>\0<><1y>\0<)<1

增减

自主诊断

l.(1)X(2)7(3)X(4)X

2.C3.C4.f(x)=2'(答案不唯一)

探究核心题型

例1(l)ABD［对于A,2a23a+2=］且a>0,aWl,则A正确；

对于B,不论0<«<1,还是a>\,值域都为(0,+8),B正确；

对于C的图象向左平移一个单位长度得到户口的的图象，C错误；

对于D,令2x+3=0,则x=l,产0,所以函数尸产力3>0,且。£］)恒过定点(一1o),D正确」

(2)BD|函数儿t)="+尔其中a>0且的图象过第一、三、四象限，根据图象的性质可得a>\,«°+/?<0,

即〃>1,*1.］

跟踪训练1(l)ABC［由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数尸3、和产6'的图象，如图所示，

由图象知，当a=b=0时，3“=6"=1,故选项A正确；

作出直线y=k，当Q1时，若y=6h=k,则0<b<a,故选项B正确；

作出直线y=in,当0<in<\时，若3a=6b=m,则a<b<0,故选项C正确；

当0*6时，易得2b>\,则y<3b<2h^h=6h,故选项D错误」

⑵(0,2)

解析在同一平面直角坐标系中画出产|2'2|与广〃的图象，如图所示.

・••当0V/K2时，两函数图象有两个交点，从而函数JU)=|2'2g有两个零点.

・♦・实数〃的取值范围是(0,2).

例2(1)B[依题意,a=1.05°S1.05°=l,b=O.6°-8<O.6o-4=c<O.6°=l,所以a,b,c的大小关系是a>c>b.]

⑵D[由题意得，

0s乐(步】,

。但I汽沪I,

c=logj>log]=l，

343J

,•联酢近

ci<b,*.c>b>a.]

例3(1)B「・・3<1,当公>1时，尸。是增函数,

.*./?：(x|x<0).

对于不等式2.々+2,

作出函数户2田与产x+2的图象,如图所示.

由图象可知，不等式2川<1+2的解集为{x|lV<0},

:.q(x|l<v<0).

又・・・31<iv0}1{出<0),

・•・〃是的必要不充分条件

⑵(-5,三)

解析由函数氏丫)=2用，可得其定义域为R,

且«r)=2年2M=/2,

所以」富户2国为偶函数，

当％以0,+8)时，於)=21

可得£v)=2国在[0,+8)上单调递增，

根据偶函数的性质，不等式/(2r)次2x+3),

即为解刈»|2%+3|),

可得|加>|必+3],

整理得3f+16x+5vO,

解得5<x<^,

所以汽公)42r+3)的解集为(一5,

例4解(1)因为函数外丫)在R上为偶函数，

所以志0寸(幻，

得2'+〃2'=2'+〃2,

(1。)(22)=0恒成立,即0=1.

所以人工)=2*+2、，

对任意的0WM<X2，贯即辿加)=(2*1+2-5)(20+2-M)

因为0W为<X2,2》】<2*2,

2%+应>1,2$+*21>0,

所以J3)勺(M),./㈤在区间[0,+8)上单调递增.

(2)函数/:(X)=7(X)+A1V)=2V+2V+22V4-21V=(2X+2-x)2+(2v+2v)2.

令/=k+2*=2"募，

因为工£[0,IJ,

所以，2],所以回2,1],

令3(。二尸+。，

故函数M0在[2,|]上单调递增，

当片2时，，7(X)min=9⑵=4；

当呼寸,〃(X)max=90=*

则函数/心)的值域为[%^].

3

3015

跟踪训练2(1)D=2<2,即0<a<b,c=log31<log31=0,所以c<a<b.]

⑵D|函数产2'在R上是增函数，而函数於)=2或)在区间(0,1)上单调递减，

则函数产武刈尸口一匀？?在区间(0,1)上单调递减，因此;21,解得,

所以。的取值范围是[2,+8).]

(3)ACD[对于函数危尸岛母3ER),

令2，1XO,解得xWO,

所以加)的定义域为(8,0)u(0,+8),故A正确；

因为2r>0,则2*1>1,

当2'1>0时，六>(),

所以；

2人一1

当IV21Vo时，/<2,

所以J,+〃<2+a,

2人一1

综上可