湖南省长沙市某中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）

湖南师大附中25・26学年第一学期期末测试卷

九年级数学试卷

时量：120分钟总分：120分

一、选择题共10题，每小题3分，共30分）

1.长沙2025体育中考“一分钟仰卧起坐”项目女生满分标准是每分钟45次，若把47次记为+2,则应把

43次记为（）

A.-3B.-2C.-1D.+3

【答案】B

【脩析】

【分析】本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用等知识点，理解正负数表示相反意义是解题的关键.

以满分标准是每分钟45次，正数表示超过满分次数，负数表示不足满分次数.据此列式运用有理数减法运

算法则求解即可.

【详解】解：由题意，满分标准是每分钟45次，把47次记为+2，

则正数表示超过满分次数，负数表示不足满分次数，

所以应把43次记为43-45=-2.

故选B.

2.中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图

是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查几何体的三视图知识点，解题的关键是理解主视图是从物体的正前方观察得到的视图.

从给定彩瓷杯子正面观察，确定其形状对应的选项.

【详解】从杯子正面看，会看到梯形，选项D符合从正面看到的形状.

故选：D.

3.长沙市自然资源和规划局发布的《长沙市国土空间总体规划（2021—2035年）》中指出，到2035年，长沙

市域常住人口规模严格控制在14000000人以内，城镇化率达到90%.其中数据14000000用科学记数法可

表示为()

A.1.4xl08B.14xl06C.1.4x107D.0.14xl09

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示方法，正确确定m〃的值是关键.

科学记数法的表示形式为。乂10”(1«同＜1()),确定〃值的方法：把原数变为。时，当原数的绝对值大于

等干10时，小数点向左移动位数即为〃的值；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即

为n的值，由此即可求解.

【详解】解：14000000=1.4x1()7,

故选:C.

4.无理数的发现，引发了首次数学危机，也引发了数学家们对元理数的深入研究.下列各数中，是无理数

的是()

A.1.2B.ipric.--D.72

2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的

关键.

【详解】解：A、1.2是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意；

B、立方=-3,是整数，属于有理数，该选项不符合题意；

C、-,是分数，属于有理数，该选项不符合题意；

2

D、也是无限不循环小数，是无理数，该选项符合题意；

故选：D.

5.下列计算正确的是()

A.a+2a=3a2B.o'-^cr=«'

C.(-4)L/=_〃5D.(2a3)2=2«6

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幕的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断

求解，掌握整式的运算法则是解题的关键.

【详解】解：A、a+2a=3a,该选项错误，不合题意；

B、该选项正确，符合题意；

C、该选项错误，不合题意;

D、(2/丫=4不，该选项错误，不合题意;

故选：B.

6.如图，48是。。的直径，若NC=36。，则NA。。的度数是()

A.62°B.66°C.72°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的•半.根据圆周角定理求解即可.

【详解】解：・・・NC和NAOO都对着AO，

ZAOD=2ZC=2x36。=72°.

故选：C.

7.拉布布(Lab而u)作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心沪，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更

是中国文化输出的创新范式.某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是2.2万元和2.5万元.设今

年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为x,依题意可列方程为()

A.2.2(1-x)2=2.5B.2.5(1-x)2=2.2

C.2.2(1+4=2.5D.2.5(1+x)2=2.2

【答案】C

【解析】

【分析】本题主耍考查了元二次方程的实际应用，设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增K率为

X,则7月拉布布的销售额为2.2（1+x）万元，则8月拉布布的销售额为2.2（1十X），据此列山方程即可.

【详解】解：由题意得,2.2（1+4=2.5,

故选：C.

8.最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上•个新的台阶.已知某款机器狗最快移动速度

Mm/s）是载重后总质量〃z（kg）的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量〃z=80时，其最快

移动速度口等于（）

A.2.5B.5C.10D.40

【答案】A

【解析】

【分析】本题考杳了反比例函数应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键.根据图象的信息.，利用待定

系数法求出反比例函数解析式，然后再将〃?=80代入计算即可.

【详解】解：设反比例函数解析式为口=巴,

m

根据图象可知，机器狗载重后总质量〃?=40时，它的最快移动速度u=5,

/.5=—,

40

解得〃=200,

?00

..•反比例函数解析式为——，

tn

当=80时，v==2.5,

80

故选：A.

9.如图，AE,即是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档AB,CD,E尸互相平行.已知

AC=50cm,/IE=75cm,OF=20cm,那么B。的长为（）

B

A.50cmB.30cmC.60cmD.40cm

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理应用，根据平行线分线段成比例定理，即可解答.

【详解】解：•・•AC=50cm,4E=75cm,

CE=AE-AC=75-50=25(cm)；

-AB//CD//EF,

ACBD

••1=1,

CEDF

.50BD

"25-^0，

BD=40cm.

故选：D.

10.如图，在菱形ABC。中，AB=6,ZB=30°,点£是8C边上的动点，连接AE，DE，过点A作

AF1OE于点E设。七=x，AF=y,则)，与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围)

()

A..y=-B.y=—c.D.,y=—

xxxx

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三

角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键.过。作。H_L8C,交3C延长线于〃，则

ZDHE=90°,根据菱形的性质和平行线的性质得到CD=AZ)=A3=6,ZADF=ZDEH,

NDCH=/B=3(T,进而利用含30度角的直角三角形的性质£>"=!8=3,证明二&得到

2

AWAn

一=一,然后代值整理即可求解.

DHDE

【详解】解：如图，过D作。HJ_8C,交BC延长线于H,则/DHE=90°,

:・AB〃CD,AD//BC,CD=AD=AB=BC=6,

:・ZADF=/DEH，4DCH=4B=3V,

在RlZ\C。"中，DH=、CD=3,

2

•：AFLDE，

:・ZAFD=/DHE=9Q0,又乙\DF=/DEH，

:-AFD^DHE，

AFAD

/.-----=-----，

DHDE

•/DE=x,AF=yt

3x

,18

・・y=—，

x

故选：C.

（法二：同理，DH=3,BC=6,

VAD|BC,

•,SAED=2S菱形A8CC，

：.-DEAF=-BCDH，

22

DE=x,AF=yf

•**.vy=6x3=18,

.一18

••y=—,

x

故选：C.）

二、填空题共6题，每小题3分，共18分)

11.函数)，=叵?中的自变量的取值范围是.

【答案】

x>—且xwl

2

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的

被开方数必须非负，得到关于工的不等式，解不等式求出自变量的取值范围.

【详解】解：・・,函数)，=’21一1有意义,

X—1

；2x-l>0

可得：।一

x—1w0

解得：工之!且XW1：

2

故答案为：尤之大且工工1.

12.因式分解如一9后.

【答案】x(x+3)(x-3)

【解析】

【分析】先提取公因式-再利用平方差公式进彳丁分解.

【详解】解:3一%,

=x(A-2-9),

=x(x+3)(x—3).

【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式

要初底.

13.为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”、“高钵酸钾制氧气”、

“电解水”、“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂中给学生实验展示，则“电解水”实验被

选到的概率为.

【答案】

4

【解析】

【分析】本题考查了概率公式,熟练掌握概率的计算方法是解题的关键.

根据概率的计算方法：一般的，如果在一次试验中，有〃种等可能的结果，事件A包含其中的有，〃种结果，

那么事件A发生的概率P(4)='，即可得到答案.

n

【详解】解：二•共有四种实验，"电解水”实验只有1种，

•••“电解水”实验被选中的概率是：7-

4

故答案为：7-

4

4

14.在VA8C中，NC=90。，tanA=—，则cos3=.

3

4

【答案】-##0.8

【解析】

【分析［本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是关键.设AC=3x,由正切函数的定义表示

出8C,再使用勾股定理计算出48,最后使用余弦函数的定义求出cos8.

【详解】解：如下图，设AC=3x,

BC4

在直角VABC中，tanA=——=-,

AC3

4

/.BC=AC-tanA=3x—=4x,

3

由勾股定理可得，AB=dAC、BC2=J(3"+(4X)2=5X，

BC4x4

由余弦函数的定义可得，cos8=—

AB5x5

4

故答案为：—.

15.如图，有一个底部呈球体的烧瓶，球的半径为5cm.若瓶内液体的深度CD=2cm,则截面圆中48的

长为cm.

【解析】

【分析】由题意知，AI3=2AC,利用勾股定理求AC长即可得A8.

［详解】解：:OA=5cm,CD=2cm,

•**OC=5-2=3cm»

・•・AC=yJo^-OC2=4cm，

•**AB=2AC=8cm»

故答案为：8.

【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.

16.随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中

很重要的一个组成部分就是车门设计.好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等.如

图，某汽车车门的底边长为］m，车门打开后的最大角度为75。，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫

过区域的最大路径长是_______.

【答案】—m

12

【解析】

【分析】本题主要考查了弧长计算公式的运用，求车门底边扫过区域的最大路径长，由汽车车门的底边长是

半径，车门侧开后的最大角度是圆心角，根据弧长计算公式计算即可，熟记弧长计算公式是解答本题的关

键.

【详解】解：畸1

75XTT

~180

5乃/\

=—（m,

12v7

答：这扇车门底边扫过区域的最大路径长是红m.

12

故答案为：—m

12

三、解答题共9题，其中17、18、19题6分，20、21题8分，22、23题9分，24、25题10

分，共72分）

17.计算：卜叫+位+（71+1）°-tan60°.

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查实数的混合运算，锐角三角函数，零指数制和负指数累，熟练掌握相关知识是关键.

先将负指数零零指数察以及锐角三角函数化简，再按照实数的混合运算法则进行计算即可.

【详解】解：卜++（兀+1）。一tan6（）0=6+2+1—g=3.

丫+3r—11

18.先化简，再求值：2\-------;，其中x=JL

x-2,x+1x+3xx—1

【答案】一,，一立

X3

【解析】

【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，先约分，再正行减法运算，化简后，代值计算即可.

X+3A-11

【详解】解：原式"百.E—k

]__1

x(x-1)x-\

l-x

中-1)

1

当了=行时，原式=1

3

19.梅溪湖城市岛如图I,是位于长沙梅溪湖西岸的标志性建筑.以双螺旋观景平台为核心.兼具现代设

计美学与城市观景功能，整体呈现磅礴大气的视觉效果.数学兴趣小组的小溪同学，想要利用自己的数学

知识测量城市岛的高度，如图2,她先在离地面高2.8m(即EF=2.8m)矩形平台上的点A处用测角仪

测得观景台顶部。的仰角为45。，然后前进8m到B处，测得观景台顶部。的仰角为53°.根据以上测量

434

数据求城市岛的高度CO.(结果保留整数，参考数据：sin53°«-,cos53°«-,tan53°«-)

353

D

图1图2

【答案】35m

【解析】

【分析】延长AB交CD于H，得到矩形EFCH，从而将已知条件转化到两个直角三角形和.BDH

中，再根据三角函数和线段关系计算出OH,进而求出CO.本题主要考查了解直角三角形的实际应用，

涉及到矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角函数的运用.熟练掌握直角三角形的边角关系,

通过作辅助线构造合适的直角三角形是解题的关键.

【详解】解：延长A8交。OfH，则C〃=M=2.8m,

■:ADAH=ZADH=45°,

：,AH=DH,

在Rt.DBH中，NDBH=53。,/BHD=90。，

・•・BH=--------^-DH,

tan5304

3

AB=AH-BH=DH一一DH=8m,

4

.**DH=32m,

，城市岛的高度

C£>=DH+CH=32+2.8=34,8«35(m).

答：城市岛的高度约为35m.

20.某中学欲开设A实心球、B立定跳远、C跑步、D足球四种体育活动，为了了解学生们对这些项目的

选择意向，随机抽取了部分学生，并将调会结果绘制成图I、图2,请结合图中的信息，解答下列问题:

（1）本次共调查了一名学生;

（2）将条形统计图补充完整;

（3）求扇形C的圆心角的度数;

（4）某班喜欢“跑步”的学生有3名，其中有2名男生，I名女生，现从这3名学生中选取2名，请用画

树状图或列表的方法，求出刚好抽到一名男生和一名女生的概率.

2

【答案】（1）150；（2）见解折；（3）144°；（4）见解析，一

3

【解析】

【分析】（1）从两个统计图可得，“A组”的有15人，占调查人数的10%,可求出调查人数；

（2）求出“C组”人数，即可补全条形统计图：

（3）样本中，“C组”占1-10%-30%-20%=40%,因此圆心角占360。的40%,可求出度数;

（4）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一男一女，的结果数，进而求出概率.

【详解】解：（1）15X0%=1501人），

故答案为：150；

（2）150・15・45・30=60（人），补全条形统计图如图所示：

答：扇形C的圆心角的度数为144。；

（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下:

2人

男1男2女

第

男1男1男2男1女

男2男2男1A男2女

女女男1女男2

共有6种可能出现的结果数，其中一男•女的有4种,

49

因此，刚好抽到一名男生和一名女生的概率为一=一.

63

【点睛】此题主要考查统计调查的应用与概率的求解，解题的关键是根据题意列出表格表示出所有的情

况.

21.如图，△COQ是VA03绕点。顺时针方向旋转30。后所得的图形，点C恰好在48上.

（2）CD交OB于点、E,求证：CEDE=BEOE.

【答案】（1）75°

（2）见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，

对于（1）,根据旋转的性质得40=CO,ZAOC=30°,再根据等腰三角形的性质得出答案：

对于（2）,根据旋转可得ND=N3,即可得然后根据相似三角形的对应边成比例得

出答案.

【小问1详解】

解：：△COQ是VA08绕点。顺时针方向旋转30。后所得的图形,

1A0=8,ZACX：=30°,

180。-30。

NA=NACO==75°

2

【小问2详解】

解：由旋转可得ND=NB,

•・•4CEB=NOED,

・•・ABCESADOE.

.CEBE

'''OE~~DEy

：.CEDE=BEOE.

22.湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，长沙主场球赛更是一票难求，贺龙体育中心附近

商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱.某商店也准备销售“湘超”文创产品，已知吉祥物“超超”

购进单价是吉祥物“湘湘”购进单价的1.2倍，用2400元购进吉祥物“湘湘”比用1440元购进吉祥物“超

超”的数量多40个.

（1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元?

（2）该商店将“湘湘”的售价定为每件35元，若将购进的这批吉祥物全部售出，要使得总利润不低于

64。元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？

【答案】（1）该商店“湘湘”的购进单价为30元

（2）“超超”的售价最低应该定为每件42元

【解析】

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题

的关键.

（1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则该商店“超超”的购进单价为1.24元，根据用2400元购进

吉祥物“湘湘”比用1440元购进吉祥物“超超”的数量多40个建立方程求解即可;

（2）设“超超”的售价应该定为每件加元，根据总利润不低于640元建立不等式求解即可.

【小问1详解】

解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则该商店“超超”的购进单价为1.2x元,

24003=4。

由题意得,

x1.2x

解得r=30.

经检验，x=30是原方程的解，E符合题意；

答：该商店“湘湘”的购进单价为30元；

【小问2详解】

解：设“超超”的售价应该定为每件〃，元，

由（1）可知该商店“超超”的购进单价为1.2x30=36元,

贝探^（35—30）+^^（加—36）2640,

解得m>42，

・•・，〃的最小值为42,

答：“超超”的售价最低应该定为每件42元.

23.如图，A3为半圆。的直径，C为半圆上一点，连接AC,点。为A。的中点，过。作龙〃4C,交

0。的延长线于点E.

（1）求证：OE是半圆。的切线.

（2）若OC=3,CE=2,求AC的长.

24

【答案】（1）见解析（2）^C=—

【解析】

【分析】（1）连接OO,先证明OQJ.4C,根据平行线的性质，再证明。。人DE即可.

DE4

⑵利用勾股定理求出DE的长，进而求出cosZFCO=cosE=3g=w，利用三角函数的定义求出。尸

的长，即可得解.

【小问I详解】

如图，连接OD交AC于点F.

E

是AC的中点，

•*-AD=CD，

・•・ZAOD=ZCOD,

•・•OC=OA,

ZODIAC,

-：DE//AC,

：,OD1DE,

，DE是半圆。的切线.

【小问2详解】

V0C=3,CE=2,

：.0E=5,OD=OC=3,

・••在RlZXOOE中，DE=yJOE2-OD2=^52-32=4>

•.•cos”E—_QE_—4,

OE5

VAC//DE,

:,乙FCO=/E,

4

cosZ.FCO=—,

5

・•・FC=OCcosZFCO=3x-=—,

55

ZODIAC,

AAC=2FC=—.

5

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的三线合一，三角函数

余弦的计算，熟练掌握圆的基本定理，灵活运用三角函数是解题的关键.

24.我们约定，当巧，与，M，必，“，〃满足|百+/—2时+Jx+%—2tt=0,且％*々时，称点

(不凹)，(9,%)为一对“「〃，〃】中心点”.若某函数图象上至少存在一对“【〃？，〃】中心点”，

就称该函数为“[加,n]中心函数”，请根据该约定,解答下列问题：

(1)判断下列命题是否正确(在括号内打Y或者x)

①(6,1),(1,6)为一对“[3.5,3.5】中心点”()

②无论人为何值，函数)="―6Z+1一定为“【6,1】中心函数”()

4

③反比例函数y=一“【1,1】中心函数”()

X

(2)若关于x的一次函数》=依+〃(%为常数)为“【—1，1】中心函数”，函数图象上的点

尸(%，y)和。(W，%)满足片公+专式+(2-2&)(芭%+x2y2)+2&2_4Z+2=0,且为,x2均为整

数，试求该一次函数的解析式；

(3)已知关于工的二次函数y=+2日(火为常数)是“【〃，1】中心函数”，求攵的取

值范围.

【答案】(1)T；T；x

(2)y=x+2

,5

(3)k>—

3

【解析】

【分析】(】)①根据题十给定义进行判断即可;

②根据一次函数的解析式表示出入+丁2,将内+9=12代入，可得另十%=2,从而得出结论；

③根据题意构造出关于4或与的一元二次方程，计算判别式判断根的情况可得结论：

(2)对工；)，；+考式+(2—2公(斗)[+工2%)+2公一必+2=0进行分组因式分解可得，

(玉乂+1-2『+(/)，2+1一4)2=°，由非负数的性质可得，玉片=巧/=k-1.根据题干的定义和一

次函数的解析式，消去》和打，得到关于巧和Z的方程.利用一元二次方程根与系数的关系，得到内+为

与1/2关于我的代数式，消去々后再变形得到(玉+1)(/+1)=—1.结合巧，%均为整数，求出X+W的

值，从而求出女的值，并计算出一次函数的解析式；

(3)根据题意可得，%+々=2〃，y+)，2=2,代入二次函数的解析式可得，A与％为方程

/_2nx+2/?2-2nk+1=0的两根，根据其判别式大于0，得到)_诋+1<0-根据题意,

当1W〃W3时，不等式〃2一2左/;+1<0恒成立.构造二次函数），=1—26十1,根据后的范围分类讨

论，计算每种情况下y的最大值，根据），<0,求出左的取值范围.

【小问I详解】

解：1%+9一2时+yjyi+y2-2n=0,

V+N—2讨>0,+y2-2n>0,

I%+W=2m

・・〔）1+%=2〃'

x+x=2m

，若点（X，）'J，（W，y2）为一对“【，〃，〃】中心点”，则满足方程组•i2

y+必=2n

x+X=

对于①，\26+1=2x3.5=7,yx+y2=l+6=2x3.5=7,

*•*|x(+x2—7|+Jy+)%-7=0»故①正确：

对于②，设点(%,%)，(%,%)为一次函数〉=依-64+1图象上的两点，

:.匕二4玉一64+1,%=%才2-64+1，

:.y+），2=+迎）-12Z+2,

当占+%2=12时，兄+%=12k-124+2=2为定值，

・•・无论％取何值，总存在两点（西方），仇,为）使得|内+&_12|+。［+%_2=0成立,故②正确;

对于③，设点（%,%），（9,%）为反比例函数y=3图象上两点，

44

・•・%二一,乃二一，

44

・•・K+匕=—+一，

4

•・•反比例函数》=一是"【1,1】中心函数”，

x

44c

.,•当％+x2=2时，另+%=2,即一+——=2

X\X2

44c

将工,=2-%代入---1------=2,得,

占X?

444

-----1----------=乙,

占2-多

化简，得X：—2为+4=0,

判别式△=（—2）2—4xlx4=—12<0,

，该方程没有实数根，故③错误；

故答案为：Y；«；x.

【小问2详解】

解：：点P（x,x）和。（七,必）在一次函数）'=丘+〃的图象匕

工％=kxl+b,y2=kx2+b,

・•・州+%=刈石+刈+⑦

・・•一次函数），="+〃为“1,1】中心函数”，

・,•当4+,=-2时,凹+为=2,

・・・2=-2k+2b,即〃=1+A,

V+W4-（2—24）（芭x十巧乃）+2k2-402=0,

；・xjyj+（2—2A）%y+—2k+1+戈2~为~+（2—ZZ）.%+——2k+1=0,

222

册2y2+2（1—火）内,+（l-Z:）4-x2^2+2（l-^）x2y2+（l-k『=0,

，（%y+1-％）+（%2）‘2+1-&）2=0，

*/（4y+1—>0，（x2y2->0»

/.>r1y1+1-4=0,且x2y2+1-A=0,

=x2y2=k-1,

•//1=kx、+b=kx、+k+1,

.xly\=kx^+（4+1）内=女_],即kx；+（R+1）F-A+]=0,

同理，仇2+(4+])/一&+1=0,

:.々与占为方程"？+(2+\)x-k+1=()的两根,

由韦达定理可得，X.+X,)----------=-1------,x.x=---------=-1+—,

kk[9~kk

：.xx.+x+x=-i-i---\--=-2

ll2kk

/.x]x2+xi+x2+l=-l,

A(x1+I)(x24-l)=-l,

尤2均为整数,

%同1+1==-11或1

=

X,+x2—2

・'・-1--=—2

k

解得，k=l,此时〃=1+A=2,

・••该一次函数的解析式为y=x+2.

【小问3详解】

解：设点P(N，yJ和。(%,%)为二次函数》二一/+2辰图象上的两点，且为一对“【〃,1)中心

点”，

匕=一X；+Zkx、,y2=-+2kx,),

2

:.yx+y2=-X1—/2+2A(%+/),

•・•点P(M，X)和Q(W，)，2)为一对“【〃，1】中心点”，

/.x}+x2=2n,即x2=2/7-X],且y+j2=2,

**•2——X；—(2/2-F)~+4〃4,

化简，得X；-2nX\+2/?2-2nk+1=0,

该方程对丁々同样成立，且内/马，

・•・4与x2为方程/_2nx+2/_2碗+1=0的两根，

•・•该方程有两个不相等的实数根，

・•・判别式△=（2，『一4x1x（2/-+1）>0,

化简，得〃2—2%+1v0，

由题意可得，当1W〃W3时，该不等式恒成立.

构造二次函数），=/一2辰+1,则当1WXW3时，），<0恒成立，即）'的最大值小于0,

•・•该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=Z,

・••高对称轴越远，函数值越大，

①当&<2时，

•：\l-k\<\3-k\,

・••当x=3时，）'取得最大值32-62+1=10-6%，

・・・]0—64<0,解得，k>"

3

・.一〈女<2；

3

②当女=2时，

•：\l-k\=\3-k\,

・•・当x=l或3时，）'取得最大值1-4+1=-2<0,符合题意；

③当々>2时，

•：\l-k\>\3-k\t

・••当冗=1时，取得最大值产—2攵+1=2—23

・・・2-2攵<0,解得，k>l,

・•・Q2；

综上所述，〃的取值范围为女>3.

3

【点睛】本题考查新定义，非负数的性质，完全平方公式，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与

系数的关系，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键.

25.如图，已知的半径为4,等边VABC内接于。0,点P是圆周上一动点，从点4开始沿圆周逆时

针方向运动•周再问到点4

(1)如图I,当点。在A8上运动时(不包含A，B两点),求证：PC平分NAPB；

(2)在点P的运动过程中，当PA=4应时，求钻的度数；

(3)如图2,当点夕在8C上运动时(不包含。两点)，PA交弦BC于点E；

①求证：PB,PC是关于x的方程f-P4x+P4PE=()的两根；

PE

②当一的值最大时，求四边形ABPC的面枳.

PA

【答案】(1)见解析(2)/PAB=15。或75。

(3)①见解析②16

【解析】

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数

的关系，垂径定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键.

(1)由圆周角定理得出/APC二/APC,故可得结论：

(2)连接。4、OP,证明N4OP=90。，分