概率与统计题型归纳（培优热点专练）-2026年高考数学二轮复习原卷版

专题7.3概率与统计题型归纳

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；模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。

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A急点附容解裱I悌仆新…»

近三年：

1、统计基础的稳定考查与深化理解，

对统计图表（频率分布育方图、散点图）和数字特征（均值、申位数、标准差、极差）的考查已成为“必

选动作”。近三年的题目常将数据置于农业生产、社区调查、疾病研究等真实情境中，要求学生不仅能准

确计算，更要能解读数据分布特征、理解统计量在实际决策中的含义。例如，2025年多套试卷均出现了

要求判断频数分布表中的中位数、评估样本数据离散程度等题目。

2、概率模型的综合化与复杂化。

概率考查的重心已从单一古典概型，转向对复杂随机事件的建模与运算能力。核心趋势有两点：其一，离

散型随机变量的分布列与期望是绝对高频考点，常与二项分布、超几何分布相结合。其二，“概率与数列

递推”的深度融会贯通成为压轴题的标志性特征。无论是2023年新高考I卷的投篮问题，还是2025年全

国二卷（第19题）的乒乓球练习模型，都要求学生从动态随机过程中构建概率递推关系，并用数列知识

求解，这极大地考查了化归与逻辑推理能力。

3、统计推断与数学建模的价值凸显。

命题强调数学的实际应用价值。独立性检验的考查趋于常规化常以完善列联表、计算卡方值、下结论的

形式出现。条件概率、全概率公式等新教材内容的重要性日益提升。更关键的是，题目设计常落脚于“优

化决策”，例如要求比较不同方案下的数学期望，以做出最优选择(如2024年新高考II卷的投篮比赛策

略问题)，或将概率统计与函数、不等式结合求最值，实现了从“算概率”到“用概率做决策”的思维跃

升。

预测2026年:

基于以上分析，“在新颖、真实且跨学科的复杂情境中，完成数据驱动下的建模、推理与决策”的能

力，将是2026年高考概率统计模块的决胜关键。该板块的核心价值在于，它是最能体现数学学科应用性

与思维性、并直接对接大数据时代核心素养的领域，其“反套路、反刷题”的命题导向与高考选拔创新人

才的目标高度契合

题型01互斥、对立、独立事件的概率

期型07正态分布的应用

题型02古典概型的概率

题型08随机抽样样本的数字特征

题型03条件概率与全概率公式

题型09频率分布直方图

题型04离散型随机变员的分布列

题型10独立性检验

题型05二项分布及应用

题型11回归分析

题型06超几何分布及应用

C池立嵬型突破途T折解近"»

题型01互斥、对立、独立事件的概率

解I题I策I略

1、互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之

一必须有一个发生.

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条

件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.

2、判断互斥对立事件可根据

①利用互斥跟对立事件的定义来判断，互斥事件的定义比对立的更严。

②可以借助集合的方法来解决事件问题。

3、独立事件的概念与判断：设48为两个事件，若尸(4B)=P(/1)P(B),则称事件4与事件B相互独立.

如果事件4B互相独立，那么4与瓦耳与8,彳与白也都相互独立.

当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(川B)=P(A).

1.（多选）（2025多北武汉•模拟预测）已知事件A8,且尸（A）=0.3,P（3）=0.5,则（）

A.事件A与事件4互为对立事件

B.若事件A与事件8互斥,则尸（AUB）=0.8

C.若事件A与事件8互斥，则P（AB）=0.2

D.若尸旧研=0.35,则事件人与事件。相后独立

2.（多选）（2025•江苏镇江•模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞

答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放|用地随机抽取三次，每次抽取1

道题作答.设事件A为“第i次抽到选择题2,3）,则下列结论中正确的是（）

A.A与4互斥；&与人互斥

B.不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同

,2

c.

13

D.P（A=4）=不

3.（多选）（2026•云南大理•二模）已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红

球.先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设''从甲盒取出的球是向球”为事件A，”从甲盒取出的球是红球''为

事件为；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件4,“从乙盒取出的球地红球''为事

件斗，下列说法正确的是（）

A.A，&是互斥事件B.A，坊是独立事件

52

C.0①）=§D.P（ABJ=§

4.（2026•新疆•二模）己知事件人及C的概率均不为0,下列说法正确的是（）

A.若，（AD5）=P（A）+P（8）,则事件A与8为对立事件

B.若P（ADC）=P（8DC）,则事件A与8为相互独立事件

C.若P（Al3）=P（B|A）,则P（A）=P（3）

D.若尸（4耳）=P（,8）,则P（A）=P（B）

5.（多选）（2025•四川泸州•一模）记无片为事件4区的对立事件，已知P（A）=04P（4）=0.3,下列结

论正确的是（）

A.若BqA,贝IJ?（AB）=0.3

B.若A与8相互独立，则P（通）=042

C.若P（取）=0.2,则P（AB）=0.06

D.若P（4|8）=0.6,则P（,u8）=0.78

题型02古典概型的概率

解|题|策|略

1、确认是否为古典概型：试验样本空间有限（样本点总数有限），每个样本点发生的可能性相等。

2、明确样本空间：列出或计算所有可能的基本事件总数〃。

3、确定FI标事件：明确所求事件包含哪些基本事件,并计数〃心

4、计算概率：概率P=巴。

n

检查是否需考虑顺序、分组等，注意计数时使用排列还是组合，确保分子分母一致。

1.（2026・四川巴中・一模）某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二

段、业余三段三位选手，段位越高水平越高.已知高二每个段位的选手都比高•相应段位的选手强•些.比

赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手

出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利.在比赛之前，双方都不知道对方选手的

出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为,在一场比赛中高二获胜的概率为.

2.（多选）（2026•湖南株洲•一模）某电脑程序每次等概率随机输出L2,…,10中的一个数，X”和匕,分别表

示输出的前〃个数中的最大值和最小值.J知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数•则下列命

题正确的是（）

IIQ

A.^.=1）=^=1）=-B.P（X5=3）=—

7571

C.尸化=3）=旃D.P（x4<6|｝；>3）=-

3.（2026・山东•一模）已知盒中有10张纸条，分别写着1~10共10个数字，随机抽出一张，则恰好抽到3

的倍数或抽到4的倍数的概率是（）

A.0.5B.0.4C.03D,0.2

4.（2026・广西南宁•一模）某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏

珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力.某游客计划从这10个景

点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是.

5.(2026•安徽淮南•一模)2025年12月II日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等

7位学生约好2026年I月1日去科技馆志愿服务.现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同

组且丙丁同组的概率为()

25232227

A•而B-497C-30?口.赤

题型03条件概率与全概率公式

解I题I策I略

1、条件概率：一般地，当事件B发生的概率大于0时(即尸(8)>0),已知事件B发生的条件下事件4发生的

概率,称为条件概率，记作PWB\而且P(A\B)=与黑.

(1)如果8和C是两个互斥事件，则PEuci/Ou/Bi/O+hcm)；

(2)设8和万互为对立事件，则P(万|力)=1-P(B\A).

2、全概率公式：设A52,.../"是一组两两互斥的事件,A1UA2U…UA、=0,且尸(AZ)>0,i=

1,2,…，”则对任意的事件BUQ,有P(8)=£%P(4)P(B|Ai),f=l,2,n

3、贝叶斯公式:设A|<2,…4是一组两两互斥的事件,AiU/hU…U4〃=0,且P(4)>0,i=

1,2,...»〃，则对任意的事件8Gop(8)>0,有P(8|/)=无窑:)，i=

1,2,...,H

条件概率强调样本空间受限，全概率是由原因推结果的分解求和，贝叶斯是由结果推原因的概率修正。

I.(2026・重庆•一模)从I,2,3,4,5,6,7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件

4：“第一次抽到的数字是奇数、'，事件B：”第二次抽到的数字是偶数”，则P(84)=•)

2.(2026•江苏镇江•模拟预测)两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从太湖量头渚、苏州拙政园、镇江金

山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A=”两位游客

中至少有一人选择太湖焦头渚”，事件3=”两位游客选择的景点不同”，则P(3|A)=.

3.(2026・海南海口•一模)已知4,8是随机事件，若P(A+3j=|,P(8区)=|,则夕(A)=()

A-IB-ID.；

4.（多选）（2026•山东济南•一模）现进行如下试验：从1,2,3,…,1（）中任选一个数，记为q,若4=1,则

试验结束；否则再从L2,…,4-1中任选一个数，记为生,若4=1，则试验结束；否则再从1,2,…，电-1中

任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件4=”试验过程中，数字i被选到"，化表示事件从发生的

概率（/=1,2,3,--,10）,则（）

A.丹

D111

B.A=—+-Pio+gA

c.P（A[A＞）=P（AlAo）

D.P（44）="pJ（"e{12…,10}且添力

5.（多选）（2025•江苏南通•模拟预测）甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的I个黑球和

2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行〃（〃cN’）次操作后，甲盒

子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件A“，也，C”，则（）

A.P（&）［2

B.=§

C.P（A,+^）=—D.P区）=

「i）81

题型04离散型随机变量的分布列

解I题I策I略

1、判断分布类型

确认随机变量：明确问题中的随机变量X及其可能取值

识别分布类型：若为不放回抽样且关心“次品数”、“合格数”等一超几何分布

若为独立重亚试验（每次成功概率相同）T二项分布

若为有限等可能抽样口涉及特定计数一可考虑古典概型计算

2、确定参数并计算概率：根据类型选用公式，依次计算X取每一个可能值的概率

3、整理分布列，列成表格，验证概率和为1

1、应用与计算：求期望值或方差等。

注意：先判断类型再计算，避免公式误用，注意随机变量取值的完整性与互斥性计算后务必检查概率总

和是否为1（可避免计算错误）

1.（2026・重庆•一模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3

分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、。分的概率分别为J、!、：，乙不投3

424

2I

分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相

JJ

互独立，每次投篮也互不影响.

⑴记-•轮投篮后，甲的得分为乙的得分为N,求P(MNN)；

⑵记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

2.(25-26高三上•江西・月考)人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融

合r算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A氏c.每款模型的研发

分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两

个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.己知ARC三款模型通过算法设计评

审的概率依次为,通过工程部署验收的概率依次为

435345

(1)求A,S,C三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；

(2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率；

(3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，AB,C三款模型能成功上线的数量为随机变量X,求

X的分布列及数学期望E(X).

3.(2026•江苏徐州•一模)现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的

袋中，记袋中红球的个数为X。.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过〃次摸换，袋

中的红球个数记为X”.

⑴求P(X°=0)与P(与=2)；

(2)求P(X=1)：

(3)当X0=l时,求随机变量X2的数学期望.

4.(2026・四川巴中•一模)某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，

且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜

利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为小、小、小，假定

P1、〃2、〃3互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.

432

(1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若产,p=~,〃3=彳，求该小组比赛胜利的概率；

J2f1

(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求X的期望£(X)；

(3)已知1>〃|>〃2>外，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先

派出.

5.(2026・重庆九龙坡•一模)在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假

设甲发现故障的概率为;，乙、丙两人同时发现故障的概率是!，甲、丙两人均未发现故障的概率是］,

z0o

且三人各自能否发现故障相互独立.

(1)求乙、丙两人各自发现故障的概率；

(2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望£(X).

题型05二项分布及应用

解I题I策I略

1、判断是否为二项分布

满足以下3个条件可判定为二项分布：

试验次数固定：共进行〃次独立试验

每次试验只关注两个结果：“成功”与“失败”，1与0,“正确”或“错误”等

成功概率恒定：每次试验中成功概率p保持不变

记作：X〜B(n,p)

确定参数与可能取值：明确参数〃：试验总次数，P：每次试验的成功概率

确定随机变量取值：1(成功次数)的可能取值为0,1,2,…

概率的计算：使用二项分布概率公式：P(X=k)=CH--(1-py-k,k=0,1，…,n

列出分布列并计算期望值等。

2、二项分布列概率最大值的取得

对二项分布列P(X=k)=CMQ-py-k,k=0,1,2,3......P(X=Z)取最大项时有：

眠二器用m(类似二项展开式中系数最大项)

可解得「(几+1)-1工女工口5+1)次取这个范围内整数，当々由o增加到九时，P(x=k)的值先由小到

大，再由大到小。

1.(2026・全国•模拟预测)投壶游戏起源于中国古代六艺中的“射”艺，是射礼的演变和延续.甲、乙两位

同学为了参加投壶游戏比赛，进行了大量的投壶训练.从这些训练数据中随机抽取甲乙各100次投壶数

据，其中甲投中目标的次数为80次，乙投中目标的次数为85次.假设每次投壶相互独立，用频率估计概

率.

(1)若现在让甲投壶4次，求甲投中目标的次数X的分布列及期望；

⑵通过分析甲、乙的训练数据发现：若甲发挥正常，投中目标的概率为0.9,发挥不正常，投中目标的概

率为0.5；若乙发挥正常，投中目标的概率为0.95,发挥不正常，投中目标的概率为0.6.设甲、乙发挥正

常的概率分别为P，心计算并比较〃与，/的大小.

2.(2026•陕西宝鸡•一模)为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查.己知该

高中共有学生1200人，其中男生720人.现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查.调查中把

每天锻炼时间超过6()分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为，'锻炼不积极者”.已知在样本中：男性“锻

炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人.

(I)求抽取的60人中男生、女生各多少人.

⑵从抽取的60人中随机选取一人，设事件A为“选到男生”，事件B为“选到锻炼积极者”，试判断事件A、

〃是否相互独立，并说明理由.

(3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X,求X的

分布列和数学期望.

3.(2026•湖北荆州,一模)某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参

加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电：活动甲设

有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动

的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优

惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，

决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为。8答对每道填空题的概率均为0.4,每次答题相互独立.

(1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率；

(2)该款家电原价为〃元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由.

4.(2026・重庆九龙坡•一模)某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生

产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测.

(I)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取

3个零件，设抽取的零件为次品的个数为求J的分布列和数学期望；

(2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品.用

频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取〃(〃22)个零件，记这〃个零件中恰有2件为次品

的概率为4,求匕取得最大值时八的值.

5.（2026・重庆•一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点

数大于4,则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖〃次，中奖次数为X.

⑴若〃=3,求X的分布列和期望；

⑵若尸（X=1"P（X=Q,k=（）,1,2,3,…，〃，求〃的最大值；

⑶设未出现连续两次不中奖的概率为力.求〃一生，以，并说明当〃足够大时，凡的实际意义.

题型06超几何分布及应用

解I题I策I略

超几何分布的解题步骤：

1、模型识别与参数确定

确认试验符合不放回抽样特征，并确定三个参数：总体容量M总体中“成功”元素个数抽取样本

量n

则随机变最XX服从超几何分布X〜

2、概率计算

利用超几何概率公式直接计算X=k的概率：P（X=k）=

曲

3、分布列表示

将X的所有可能取值及其对应概率整理为分布列（通常用表格形式呈现）。

1.（2025•江西•模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物

的大致数量N（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉

100只，用X表示第二次捕捉的100只中有标记的数量.若以使得X=12的概率最大时N的值作为该保护

区内这种动物的数量的估计值，则N的估计值是.

2.（2025・河北•模拟预测）某校航模社团共有10名学生，研究”战斗机航模”的有6人，其中男生.4人女生

2人，另外4人研究“无人机航模”.

（1）从研究“战斗机航模”的6人中任意选出2人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概

率；

（2）从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛，设X表示来自研究“无人机航模”的人数，求X的数学期

望.

3.（25-26高三上•重庆・期中）甲、乙两工厂共同生产一种零件，经过抽样调查，质检人员发现：甲工厂

生产的一批零件的合格品率为85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为95%；若将这两批零件混合

放在一起，则合格品率为89%.

⑴设甲工厂生产的这批零件有加件，乙工厂生产的这批零件有〃件.求证：2〃?=3〃；

（2）按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取5个，再从这5个零件中抽取3个，记

这3个零件中来自乙工厂的个数为X,求X的分布列和数学期望.

4.（2025•四川达州•模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过

500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和维球（绿球的

个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得

二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是：，某

消费者抽奖一次.

⑴求其获得一等奖的概率；

⑵记抽到的绿球个数为3求4的分布列及其期望.

5.（2025・山东济宁•一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取1（）名学

生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下：

数据I（高三，1班）：68,80,58,75,65,70,54,90,88,92；

数据II（高三，2班）：72,55,83,59,56,90,83,52,80,95.

⑴求数据I（高三，1班）的第80百分位数；

（2）从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学

生人数为X,求X的概率分布列和数学期望.

题型07正态分布的应用

解I题I策I略

利用正态曲线的对称性求解相关概率问题，主要依据以下两个基本性质：

1、正态曲线关于直线X=N对称；

2、曲线与x轴所围成的总面积为1。

1.（2026•河北邢台•一模）若随机变量X〜N（2,/），且P（X41+"）=0.3,则P（X＜3

2.（多选）（2026・湖北荆门•模拟预测）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车

所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新

能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.每组电池的正常使用年限4~

（单位：年），尸值＞10）=0.8,尸偌＜30）=0.8,以下结论正确的是（）

A.〃二20B.P(|^-2O|<101=0.6

C.石（幺+1）=20D.这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.75

3.（2026・湖南邵阳•一模）已知随机变量X~N（2,3）,正实数a,〃满足P（XK3a+2）=Q（X24人一1）,则

乡+安的最小值为（）

4〃b

A.3B.4C.5D.6

4.（多选）（2026•广东肇庆•二模）已知随机变量乂~%（〃。2）,则（）

A.P（X<z/-2）+P（X<//+2）=l

B.〃越大，随机变量X的方差越大

C.随机变量X的分布越集中，。的值越小

D.X的取值在（,，〃-3司内是小概率事件

5.（多选）（2026•陕西延安•一模）陕西省某中学体能测试成绩服从正态分布可（75,02）,已知

P（X>85）=0.2,则下列说法正确的是（）（参考数据：P（〃—b<X<〃+b）=0.6827）

A.（T=10

B.P（65<X<85）=0.6

C.若随机抽取3名学生，则至少2人成绩超过75的概率为。

O

D.若随机抽取100名学生，则成绩超过85的人数期望为20

题型08随机抽样样本的数字特征

解I题I策I略

1、众数反映数据出现最频繁的取值，能够体现数据的“最大集中点”，但它对数据整体的分布不敏感，

容易忽略其他取值的信息，因此无法全面、客观地反映总体特征。

2、中位数将样本数据按大小排列后位于中间位置，可视作频率累积分布的中心分割点，它不受极端值

影响，对数据中的异常值具有较好的稳健性，适用于偏态分布或存在极端值的数据描述。

3.平均数标合考虑了样木中每•个数据的取值，能够反映出数据总休的集中趋势，包含较为丰富的总

体信息。然而，平均数容易受到极端值（离群值）的影响，在数据分布严重偏斜或存在异常值时，其代

表性可能会被削弱。

如果直方图的形状是对称的，那么平均数与中位数应该大体上差不多；但是如果直方图的性质不是对称

的，那么和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边。

I.（多选）（2026•广东湛江•一模）一组互不相等的数据从小到大排列为内,々，…，儿，去掉节后，则下列

选项正确的有（）

A.极差变大B.平均数变大C.中位数变小D.80%分位数变大

2.（多选）（2026.河北.模拟预测）已知一组样本数据为7,1,3,4,5,1,5,6,则下列说法中正确的

是（）

A.这组数据的极差是5B.这组数据的中位数是4.5

C.这组数据的第80百分位数是5.5D.这组数据的方差是4.25

3.（2026•云南昭通・模拟预测）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉

花纤维的长度（单位：mm）,整理得到下表数据：

纤维长度

123,30)130,37)[37,44)[44,51)151,58)158,65)

（mm）

频数30406012010050

根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（）

A.棉花纤维的长度的极差估计值大于42mm

B.棉花纤维中，其长度低于44mm的棉花纤维数占三分之一

C.棉花纤维的长度的中位数估计值介于44mm至51mm之间

D.棉花纤维的长度的平均值估计值介于37mm至40mm之何

4.（多选）（2026•四川泸州•二模）4知两组样本数据和占，%2，0％丁，其中6是看心，&，&的

中位数，则这两组样本数据的（）

A.极差不相等B.中位数相等

C.平均数相等D.标准差可能相等

5.（多选）（2026•全国•模拟预测）已知甲、乙两组样本各有1000个数据，甲、乙两组数据合并后得到

一组新数据，则（）

A.若甲、乙两组数据的平均数都为。，则新数据的平均数等于。

B.若甲、乙两组数据的极差都为从则新数据的极差可能大于〃

C.若甲、乙两组数据的方差都为c,则新数据的方差可能小于c

D.若甲、乙两组数据的中位数都为乩则新数据的中位数等于d

题型09频率分布直方图

解I题I策I略

1、频率分布直方图的基本关系

（1）面积即频率：每个小矩形的面积=组距X频率/组距=该组数据的频率，且所有矩形面积之和

为lo

（2）频率、频数与样本容量的关系：频率二频数样本容量频率:样本容显频数

样本容量=频数+频率频数=样本容量x频率

2、利用直方图估计数字特征的方法

（1）中位数：寻找使得直方图左、右两侧面积均为0.5的横坐标值，即累积频率首次达到或超过50%

的位置.

（2）平均数：取每个小矩形的面积乘以该组区间中点横坐标，再求和

（3）众数：最高矩形所在区间的组中值，代表数据出现最集中的位置。

补充说明

方差的估计：可先估算各组数据与平均数之差的平方，再结合频率加权计算。

图形理解：直方图的纵坐标（频率/组距）越高，表示该区间数据越密集；面积反映比例，是频率分析的

基础。

1.（2026・湖南株洲•一模）从某社区1万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每口运动时长数

据，整理得到如下频率分布直方图.

（1）求。的值;

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该社区全体居民的每n平均运动时长：

（3）若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4人，用X表示每日运动时长在50分钟

以上的居民人数，求随机变量X的数学期望E（X）.

2.（2026•河南南阳•模拟预测）某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的

真实度，工程师邀请了10。名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成6组,并绘制了如下的频率分布直方图.

（I）求。的值;

（2）试估计这100名用户评分的平均数：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（3）若从评分在［40,60）内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2

人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率.

3.（2026・辽宁大连•一模）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调杳，发现他们的用电量都在

50~350kW-h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中x的值；

（2）估计月用电量样本数据的中位数；

⑶在该小区所有居民用户中随机抽取一用户已知M的月用电量落在区间［100,250）中，估计M的月用

电量恰好落在区间［100.150）中的概率.

4.（2026•河北邢台•一模）某学校对某次高三质量检测化学考试成绩进行了汇总，并将化学成绩按赋分规

则转换为等级分数（赋分后学生的等级分数全部位于［30,100］内），整理后得到如图所示的频率分布直方图.

频率

⑴求频率分布直方图中小的值，并估计该校高三学生化学等级分数的第70百分位数；

⑵用分层随机抽样的方法从等级分数位于［80,100］内的学生中院机抽出8人，再从这8人中随机抽出3

人，记4为这3人中等级分数位于［80,90）内的人数，求^的分布列和数学期望.

5.（2025•内蒙古赤峰•模拟预测）从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的

月用水量分成［0,15）,［15,20）,［20,25）,［25,30）,［30,35］五组,面出频率分布直方图，如图所示.

上频率/组距

0.08................

m--------------

0.03

1520253035月用水量/吨

（1）求加的值，并求在被调查的用尸中，月用水量在15,20）内的尸数;

（2）用比例分配的分层随机抽样方法从月用水量在［15,20）和［25,30）内的用户中选取6户，再从这6户居民

中任选3户，记这3户居民中月用水量在［15,20）内的用户数为X,求X的分布列与期望.

题型10独立性检验

解I题I策I略

1.独立性检验的基木步骤

（1）提出零假设Ho：X和Y相互独立（即X和Y无关）

（2）根据2x2联表给出的数据算出［2=鼠，（其中71=。+力+c+山，得到随机变量

乃2,并与临界值我比较.

（3）根据实际问题需要的可信程度（小概率值。）确定临界值A。"X与Y有关系”，这种推断犯错误

的概率不超过P（H>k0）x100%,即H。成立；否则就说没有［1一PR>/c0）］x100%的把握认为“X

与Y有关系”，即H。不成立.

1.（多选）（2026・重庆•一模）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.为分析两种疗法效果是

否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行枪查，得到如下数据：

疗效

疗法

未治愈（y=o）治愈（y=i）

用（x=0）1552

乙(X=l)663

附常用小概率值及其相应的临界值表为:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

计算得/=4.881.则下列说法正确的是：()

A.以频率估计概率，有p(x=oly=o)=]

2

B.以频率估计概率，有p(y=ax=i)=方

C.若取a=0.05,可以认为疗效与疗法独立

D.若取a=0.01,可以认为疗效与疗法独立

疗效总数

疗法

未治愈(y=o)治愈(y=i)

甲(x=o)155267

乙(X=l)66369

总数21115136

2.(2026.湖北十堰.一模)某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统(A型与〃型)

对果实品质的影响.农场随机选取2()()株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表：

灌溉系统糖度达标糖度不达标合计

4型6238100

9型4555100

合计10793200

(1)根据小概率值a=0.05的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；

(2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量(kg)为X,通过测试得到使用无土

栽培时X的分布列为：

X11.52

P0.20.50.3

使用传统土壤栽培时X的分布列为:

X0.81.21.6

P0.40.40.2

从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番求的产量相互

独立，求抽到的2株番茄总产量大于3kg的概率.