《工程力学（第3版）》-第5章

5.1轴向拉伸与压缩的概念在工程实际中，许多构件承受拉力和压力的作用。如图5−2

所示的简易支架中，若忽略杆的自重，则AB、BC两杆均为二力杆，AB杆在通过轴线的拉力作用下沿杆轴线发生拉伸变形，而BC杆则在通过轴线的压力作用下沿杆轴线发生压缩变形。这类杆件的受力特点是杆件承受外力的作用线与杆件轴线重合，变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短，如图5−3所示。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩，简称拉伸或压缩。这类杆件称为拉杆或压杆。内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属于此类。返回5.2截面法、轴力与轴力图5.2.1内力的概念物体是由无数颗粒组成的，在未受外力作用时，各颗粒间就存在相互作用的力，以维持它们之间的联系及物体原来的形状。当构件受到外力（如载荷、约束力等）作用而变形时，各颗粒之间的相对位置将发生改变，与此同时颗粒间的作用力也要发生变化。这种构件内部由于外力作用而产生的相互作用力的改变量称为内力。内力是因外力而产生的，当外力解除时，内力也随之消失。例如用手拉弹簧，弹簧受外力作用而伸长时，在其内部产生抵抗力，它阻止外力使弹簧继续伸长，这种抵抗力就是内力。下一页返回5.2截面法、轴力与轴力图内力的大小及其在构件内部的分布规律随外部载荷的改变而变化，并与构件的强度、刚度和稳定性等问题密切相关。若内力的大小超过一定的限度，则构件将不能正常工作。因此，为了保证构件在外力作用下安全工作，就必须研究构件的内力。5.2.2截面法、轴力与轴力图确定在外力作用下构件所产生的内力的大小和方向，通常采用截面法。设直杆两端作用一对轴向拉力F，如图5−4（a）所示，为了求杆件任一横截面1—1上的内力，可假想地用与杆件轴线垂直的平面在1—1截面处将杆件截开；上一页下一页返回5.2截面法、轴力与轴力图取左段为研究对象，用分布内力的合力FN

来代替右段对左段的作用（图5−4（b）），由于直杆原来处于平衡状态，故切开后各部分仍应维持平衡，则由平衡方程∑Fx=0，可得FN=F。综上所述，取杆件的一部分为研究对象，利用静力平衡方程求内力的方法称为截面法。用截面法求内力可按以下三个步骤进行：（1）截开。在需求内力的截面处，用一假想平面将构件分成两部分。（2）代替。取其中一部分为研究对象，弃去另一部分，并以内力代替弃去部分对留下部分的作用，画出其受力图。（3）平衡。列出研究对象的静力平衡方程，确定未知内力的大小和方向。上一页返回5.3拉压时横截面上的正应力5.3.1应力的概念用截面法求出拉、压杆横截面上的内力，仅仅是求出了杆件受力的大小，并不能判断杆在某一点受力的强弱程度。例如，用同一材料制成粗细不等的两根直杆，在相同的拉力作用下，虽然两杆的轴力相同，但随着拉力的增大，横截面小的杆件必然先被拉断。这说明杆件的强度不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积的大小有关。因此，工程上常用单位面积上内力的大小来衡量构件受力的强弱程度。构件在外力作用下，某点处单位面积上的内力称为应力。下一页返回5.3拉压时横截面上的正应力5.3.2横截面上的正应力为了确定横截面上的应力，必须研究横截面上轴力的分布规律。为此对杆进行拉伸或压缩实验，观察其变形。取一等截面直杆，在杆上画两条与杆轴线垂直的横向线ab与cd（图5−7（a）中的实线），然后沿杆的轴线作用拉力F，使杆件产生拉伸变形。在此期间可以观察到：横向线ab和cd在杆件变形过程中始终为直线，只是从起始位置平移到a1b1

和c1d1

的位置（图5−7（a）中的虚线），仍垂直于杆轴线。根据对上述现象的分析，可作如下假设：受拉伸的杆件变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴线产生了相对平移，仍与杆的轴线垂直，这个假设称为平面假设。上一页下一页返回5.3拉压时横截面上的正应力设想杆件是由无数条纵向纤维所组成，根据平面假设，在任意两个横截面之间的各条纤维的伸长相同，即变形相同。由材料的均匀性、连续性假设可以推断出内力在横截面上的分布是均匀的，即横截面上各点处的应力大小相等，其方向与横截面上轴力FN一致，垂直于横截面，故为正应力，如图5−7（b）所示。其计算公式为式中，A为杆横截面面积。正应力的正负号与轴力的正负号一致，即拉应力为正，压应力为负。上一页返回5.4轴向拉压杆的变形和胡克定律5.4.1纵向线应变和横向线应变拉压杆的实验表明，当杆受到轴向力作用时，其纵向尺寸和横向尺寸都要发生变化。拉伸时，杆沿轴向伸长，而横向缩小（图5−9（a））；压缩时，杆沿轴向缩短，而横向增大（图5−9（b））。下面以杆件受拉为例讨论杆件的变形情况。设原长为l、直径为d的圆截面直杆，承受轴向拉力F后，变形为图5−9（a）虚线所示的形状。杆件的纵向长度由l变为l1

，横向尺寸由d变为d1

，则杆的纵向绝对变形为Δl=l1−l横向绝对变形为Δd=d1−d下一页返回5.4轴向拉压杆的变形和胡克定律为了消除杆件原尺寸对变形大小的影响，用单位长度内杆的变形量即线应变来衡量杆件的变形程度。与上述两种绝对变形相对应的纵向线应变为横向线应变为上一页下一页返回5.4轴向拉压杆的变形和胡克定律线应变表示的是杆件的相对变形，它是一个量纲为1的量。线应变ε、ε′的正负号分别与Δ

l、Δd的正负号一致。当应力不超过某一限度时，横向线应变ε′和纵向线应变ε之间存在正比关系，且符号相反。即ε′=−με（5−4）式中，比例常数μ称为材料的横向变形系数，或称泊松比。5.4.2胡克定律轴向拉伸和压缩实验表明，当杆内的轴力FN

不超过某一限度时，杆的绝对变形Δl与轴力及杆长成正比，与杆的横截面面积成反比，即上一页下一页返回5.4轴向拉压杆的变形和胡克定律式中，常数E称为弹性模量。材料的E值越大，变形就越小，故它是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。弹性模量E具有和应力相同的单位，常用GPa表示。由式（5−5）可以看出，对于长度相等、受力相同的杆，EA值越大，杆件变形越困难；EA越小，杆件变形越容易。它反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，故EA称为杆的抗拉（压）刚度。上一页返回5.5材料在轴向拉压时的力学性能5.5.1低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢（一般是指含碳量低于0.26%的碳素结构钢）是机械制造和一般工程中使用很广的塑性材料，它在拉伸试验中所表现的力学性能比较全面，具有代表性。下面以Q235钢为例，来讨论低碳钢的力学性能。图5−13所示为Q235钢的拉伸图。因拉伸图的形状与试样的尺寸有关，为了消除试样横截面尺寸和长度的影响，将载荷F除以试样原来的横截面面积A，得到应力σ；将变形Δl除以试样原长l，得到应变ε，这样得到的曲线称为应力−应变曲线（σ−ε曲线）。σ−ε曲线的形状（图5−14）与F−Δl曲线相似。下一页返回5.5材料在轴向拉压时的力学性能由图5−14可知，整个拉伸过程大致可分为四个阶段，现分别说明如下。1.弹性阶段从图5−14中可以看出，Oa段呈直线，表明在这一段内应力σ与应变ε成正比，材料服从胡克定律（σ=Eε）。a点是应力与应变成正比的最高点，与a点相对应的应力称为比例极限，以σp

表示。Q235钢的比例极限σp=190～200MPa。直线Oa的斜率为上一页下一页返回5.5材料在轴向拉压时的力学性能式（5−7）可以确定材料的弹性模量E值。超过比例极限σp后，从a点到a′点，σ与ε之间的关系不再是直线（即σ与ε不再保持正比关系），但当解除拉力以后，变形也随之消失，属于弹性变形阶段。a′点所对应的应力是材料只出现弹性变形的极限值，称为弹性极限，以σe表示。实际上在σ−ε图中a和a′两点非常接近，所以工程上对弹性极限和比例极限并不作严格区分。2.屈服阶段当应力超过弹性极限后，σ−ε曲线上出现一段沿水平线上下波动的锯齿形线段bc。说明这时应力虽有波动，但几乎未增大，而变形却迅速增长，材料暂时失去了对变形的抵抗能力。上一页下一页返回5.5材料在轴向拉压时的力学性能这种应力几乎不变，应变却不断增加，从而产生明显的塑性变形的现象称为屈服现象。材料出现屈服现象的过程称为屈服阶段。相对于b点的应力值称为上屈服点；在应力波动中，应力下降到最低值（对应于曲线中b′点）称为下屈服点。一般规定下屈服点作为材料的屈服点。与屈服点对应的应力值称为屈服极限，用σs表示。Q235钢的屈服极限σs=235MPa。当材料屈服时，如果试件经过抛光，这时可在试件的光滑表面上看到许多与试件轴线成45°倾角的条纹，如图5−15（a）所示。这是由于试件内晶格发生滑移而形成的，故通常称为滑移线。晶格之间的相对滑移是产生塑性变形的根本原因。机械零件和工程结构一般不允许发生塑性变形，所以，屈服极限σs是衡量塑性材料强度的重要指标。上一页下一页返回5.5材料在轴向拉压时的力学性能3.强化阶段经过屈服阶段之后，从c点开始曲线又逐渐上升，材料又恢复了抵抗变形的能力，这是材料产生变形硬化的缘故。图形为向上凸起的曲线cd，这表明若要试件继续变形，必须增加外力，这种现象称为材料的强化。强化阶段中的最高点d所对应的应力，是试件断裂前能承受的最大应力值，称为强度极限，以σb表示。杆件受拉时称抗拉强度极限，受压时称抗压强度极限。Q235钢的强度极限σb=375～460MPa。强度极限σb是衡量材料强度的另一重要指标。在强化阶段内，任选一点k（图5−14），若此时缓慢卸载，σ−ε曲线将沿着与Oa′近似平行的直线回到O1点。上一页下一页返回5.5材料在轴向拉压时的力学性能O1k1是消失了的弹性变形，而OO1是残留下来的塑性变形。若卸载后接着重新加载，σ−ε曲线将沿着O1kde变化。比较Oabcde和O1kde，说明重新加载时，材料的比例极限和屈服极限都将提高，但断裂后的塑性变形减小。这种现象称为冷作硬化。工程上常常利用这个性质，如冷拉钢筋、冷拔钢丝等，都可以提高材料在弹性阶段的承载能力。4.缩颈阶段当应力达到强度极限时，在试样较薄弱的横截面处发生急剧的局部收缩，出现“缩颈”现象（图5−15（b））。从试验机上则看到试样所受拉力逐渐降低，最终试件被拉断。这一阶段为缩颈阶段，在σ−ε曲线上为一段下降的曲线de。上一页下一页返回5.5材料在轴向拉压时的力学性能由上述的试验现象可以看到，当应力达到屈服点σs

时，材料会产生显著的塑性变形；当应力达到强度极限σb

时，材料会由于局部变形而导致断裂，这都是工程实际中应当避免的。因此，屈服极限σs

和强度极限σb

是反映材料强度的两个性能指标，也是拉伸试验中需要测定的重要数据。综上所述，塑性材料和脆性材料的力学性能的主要区别是：（1）塑性材料断裂前有显著的塑性变形，还有明显的屈服现象，而脆性材料在变形很小时突然断裂，无屈服现象。（2）塑性材料拉伸和压缩时的比例极限、屈服点和弹性模量均相同，因为塑性材料一般不允许达到屈服点，所以它抵抗拉伸和压缩的能力相同。脆性材料抵抗拉伸的能力远低于抵抗压缩的能力。上一页返回5.6轴向拉压杆的强度计算5.6.1极限应力、许用应力和安全系数由试验和工程实践可知，当构件的应力达到材料的屈服点或抗拉强度时，将产生较大的塑性变形或断裂，为使构件能正常工作，设定一种极限应力，用σ0

表示。对于塑性材料，常取σ0=σs

；对于脆性材料，常取σ0=σb

。考虑到载荷估计的准确程度、应力计算方法的精确程度、材料的均匀程度以及构件的重要性等因素，为了保证构件安全可靠地工作，应使它的工作应力小于材料的极限应力，使构件留有适当的强度储备。一般把极限应力除以大于1的系数n作为设计时应力的最大允许值，称为许用应力，用[σ]表示，即下一页返回5.6轴向拉压杆的强度计算式中，n称为安全系数。正确地选取安全系数，关系到构件的安全与经济这一对矛盾的问题。过大的安全系数会浪费材料，太小的安全系数则又可能使构件不能安全工作。各种不同工作条件下构件安全系数n的选取可从有关工程手册中查到。一般对于塑性材料，取n=1.3～2.0；对于脆性材料，取n=2.0～3.5。上一页下一页返回5.6轴向拉压杆的强度计算5.6.2拉（压）杆的强度条件为了保证拉（压）杆安全正常地工作，必须使杆内的最大工作应力不超过材料的拉伸或压缩许用应力，即式中，FN

和A分别为危险截面上的轴力与其横截面面积。该式称为拉（压）杆的强度条件。上一页返回5.7拉压超静定问题5.7.1超静定概念及其解法前面所讨论的问题，其支座约束力和内力均可由静力平衡方程求得，这类问题称为静定问题（图5−21（a））。有时为了提高杆的强度和刚度，可在中间增加一根杆3（图5−21（b）），这时未知内力有三个，而节点A的平衡方程只有两个，因而不能解出，即仅仅根据平衡方程尚不能确定全部未知力，这类问题称为超静定问题。未知力个数与独立平衡方程数目之差称为超静定的次数。图5−21（b）所示为一次超静定问题。解超静定问题时，除列出静力平衡方程外，关键在于建立足够数目的补充方程，从而联立求得全部未知力。这些补充方程，可由结构变形的几何条件以及变形和内力间的物理规律来建立。下一页返回5.7拉压超静定问题5.7.2装配应力所有构件在制造中都会有一些误差，这种误差在静定结构中不会引起任何内力，而在超静定结构中则有不同的特点。例如，图5−22所示的三杆桁架结构，若杆3制造时短了δ，为了能将三根杆装配在一起，则必须将杆3拉长，杆1、2压短，这种强行装配