《工程力学（第3版）》-第7章

7.1扭转的概念和外力偶矩的计算7.1.1扭转的概念机械中的轴类零件往往承受扭转作用。如汽车传动轴（图7−1（a）），左端受发动机的主动力偶作用，右端受传动齿轮的阻抗力偶作用，于是轴就产生了扭转变形。图7−1（b）所示为汽车传动轴的计算简图。此外，带传动轴、齿轮传动轴及丝锥、钻头、螺钉旋具等，工作时均受到扭转作用。从以上实例可以看出，杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、方向相反的力偶（图7−1（b））。杆件的变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动（图7−2）。杆件的这种变形称为扭转变形。下一页返回7.1扭转的概念和外力偶矩的计算工程中把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴，工程中大多数轴在传动中除有扭转变形外，还伴随有其他形式的变形。本章只研究等截面圆轴的扭转问题。7.1.2外力偶矩的计算为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往不是直接给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、转速和力偶矩之间存在如下关系：M=9550P/n（7−1）上一页下一页返回7.1扭转的概念和外力偶矩的计算式中，M为外力偶矩，单位是牛·米（N·m）；P为轴传递的功率，单位是千瓦（kW）；n为轴的转速，单位是转/分（r/min）。应当注意，在确定外力偶矩M的转向时，凡输入功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向一致，凡输出功率的从动力偶矩的转向与轴的转向相反。上一页返回7.2扭矩和扭矩图7.2.1扭矩圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形时，其横截面上将产生内力。求内力的方法仍用截面法。以图7−3（a）所示受扭转圆轴为例，假想地将圆轴沿任一横截面1—1切开，并取左段作为研究对象（图7−3（b））。由于整个轴是平衡的，所以左段也处于平衡状态。轴上已知的外力偶矩为M，因为力偶只能用力偶来平衡，显然截面1—1上分布的内力必构成力偶，内力偶矩以符号T表示，方向如图7−3

所示，其大小可由左段的平衡条件∑Mx=0求得。由T−M=0得T=M下一页返回7.2扭矩和扭矩图由此可见，杆件扭转时，其横截面上的内力是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩T称为截面1—1上的扭矩。扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米（N·m）及千牛·米（kN·m）。如取截面的右侧为研究对象（图7−3（c）），也可得到同样的结果。取截面左侧与取截面右侧为研究对象所求得的扭矩，应数值相等而转向相反，因为它们是作用与反作用的关系。为了使从两段杆上求得的同一截面上的扭矩的符号相同，扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看作矢量，右手的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向。上一页下一页返回7.2扭矩和扭矩图若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正（图7−4（a）、（b））；反之，若扭矩矢量的方向指向截面，则扭矩为负（图7−4（c）、（d））。这样，同一截面左右两侧的扭转不但数值相等，而且符号相同。7.2.2扭矩图通常，扭转圆轴各截面上的扭矩是不同的，扭矩T是截面位置x的函数。即T=T(x)以与轴线平行的x轴表示横截面的位置，以垂直于x轴的T轴表示扭矩，则由T=T(x)绘制的曲线称为扭矩图。上一页返回7.3圆轴扭转时的应力与强度条件7.3.1圆轴扭转时横截面上的应力为了求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解应力在截面上的分布规律。为此，首先进行扭转变形的实验观察，作为分析问题的依据。取图7−6（a）所示圆轴，实验前，先在它的表面上划若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线。实验时，在圆轴两端加力偶矩为M的外力偶，圆轴即发生扭转变形（图7−6（b））。在变形微小的情况下，可以观察到如下现象：（1）两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形。（2）轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。下一页返回7.3圆轴扭转时的应力与强度条件根据观察到的这些现象，我们推断，圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相对地转过了一个角度。这就是扭转时的平面假设。根据平面假设，可得两点结论：（1）圆轴横截面变形前为平面，变形后仍为平面，其大小和形状不变，由此导出横截面上沿半径方向无切应力；又由于相邻截面的间距不变，所以横截面上没有正应力。（2）由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，纵向线倾斜了同一角度γ，出现了切应变，故横截面上必然有垂直半径方向的切应力存在。上一页下一页返回7.3圆轴扭转时的应力与强度条件7.3.2圆截面极惯性矩IP及抗扭截面系数WP的计算1.实心圆截面对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ

的圆环形微面积（图7−10），dA=2πρdρ，则实心圆截面的极惯性矩IP

为上一页下一页返回7.3圆轴扭转时的应力与强度条件2.空心圆截面对空心圆截面（图7−11），其极惯性矩IP

可以采用和实心圆截面相同的方法求出：如令d/D=α，则上式可写成上一页下一页返回7.3圆轴扭转时的应力与强度条件7.3.3圆轴扭转时的强度条件为保证圆轴正常工作，应使危险截面上最大工作切应力τmax

不超过材料的许用切应力。由此得出圆轴扭转的强度条件为扭转强度条件也可用来解决强度校核、选择截面尺寸及确定许可载荷等三类计算问题。上一页返回7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件7.4.1圆轴扭转时的变形如前所述，轴的扭转变形用横截面间绕轴线的相对转角，即扭转角ϕ来表示。由式（7−5）可知，相距dx的两截面间的扭转角为下一页返回7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件式（7−10）就是等直圆轴相对转角的计算公式。相对转角φ的单位是弧度（rad），其转向则与扭矩的转向相同，所以扭转角的正负符号随扭矩的正负符号而定。对于阶梯状圆轴以及扭矩分段变化的等截面圆轴，需分段计算相对转角，然后求代数和。由式（7−10）可以看出，在T和l一定的情况下，GIP

越大，则扭转角φ越小，说明圆轴的刚度越大。故称GIP

为截面的抗扭刚度，它反映了材料和横截面的几何因素对扭转变形的抵抗能力。7.4.2圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时，不仅要满足强度条件，还应有足够的刚度，否则将会影响机械的传动性能和加工所要求的精度。工程上通常是限制单位长度上的转角θ，使它不超过规定的许可转角[θ]。上一页下一页返回7.