《工程力学（第3版）》-第10章

10.1应力状态的概念10.1.1一点的应力状态以前讨论拉（压）、扭转、弯曲等强度问题，主要分析了杆件横截面上的应力情况，因为横截面是一个特殊的截面，考虑杆件的尺寸是以横截面尺寸来衡量的，另外，像铸铁的拉伸、低碳钢的扭转都是在横截面上发生破坏的。因此，分析横截面上的应力对解决强度问题是必要的，但是我们也发现，低碳钢拉伸时与杆轴成45°的斜面上出现滑移线，铸铁的扭转破坏沿约45°的斜面断裂。由此可见，为了全面地分析强度问题，仅仅分析横截面上的应力还不够，还必须对各个不同方向的斜面上的应力进行分析。通过物体内某一点不同截面上的应力情况，叫作该点的应力状态。下一页返回10.1应力状态的概念10.1.2单元体的概念为了研究受力构件内某一点的应力状态，假想围绕该点取出一个微小的正六面体——单元体来进行分析。因为单元体的边长是非常微小的，所以可以认为单元体各个面上的应力是均匀分布的，相对平行的平面上的应力大小相等、性质相同。若令单元体的边长趋于零，则单元体各不同方向上的应力情况就代表了该点的应力状态。一般情况下，杆件横截面上的应力是可以求得的，因此，在截取单元体时，常以横截面为基础，用一对横截面和相互垂直的两对纵截面，就可以从受力杆件中截取一个各侧面上的应力均为已知的单元体。上一页下一页返回10.1应力状态的概念例如，在图10−1（a）所示矩形截面简支梁的m—n截面上，有剪力和弯矩，横截面上的正应力和切应力分布规律如图10−1（b）所示。m—n截面上C点处在梁的下边缘，围绕该点所取的单元体（图10−1（c））只在左右两个面上有正应力σ，图10−1（d）是其平面单元表示。图10−1（e）、（f）、（g）、（h）分别为m—n截面上边缘A点、中性层B点及任意点D、E处截取的单元体。这些单元体中各侧面上的应力均可通过杆件的外载荷求得，故称为原始单元体。上一页下一页返回10.1应力状态的概念10.1.3主平面、主应力单元体中切应力等于零的平面称为主平面。作用于主平面上的正应力称为主应力。图10−1（d）和图10−1（e）所示单元体的三对面上均没有切应力，所以三对面均为主平面；三对面上的正应力（包括正应力为零）都是主应力。根据弹性理论可以证明，在受力物体内的任一点处，总可以找到具有三个互相垂直的主平面组成的单元体，称为主单元体。相应的三个主应力，一个最大，一个最小，通常用σ1

、σ2

、σ3

表示，并且规定按它们代数值的大小σ1≥σ2≥σ3

顺序排列。例如图10−2所示的单元体，σ1=0，σ2=−20MPa，σ3=−80MPa。上一页下一页返回10.1应力状态的概念10.1.4应力状态分类一向应力状态：一个主应力数值不等于零的应力状态（图10−1（d）、（e））。二向应力状态（平面）：两个主应力数值不等于零的应力状态（图10−1（f）、（g）、（h））。三向应力状态（空间）：三个主应力数值都不等于零的应力状态（如火车轮与钢轨的接触点、高压厚壁容器内壁各点）。一向（单向）应力状态也称简单应力状态，二向、三向应力状态也称复杂应力状态。上一页返回10.2平面应力状态分析10.2.1斜截面上的应力图10−3（a）所示的单元体，设x平面（外法线沿x轴的平面）上的应力σ

x、τx

和y平面上的应力σy

、τy

均已知。由于垂直于z轴的两平面上没有应力作用，为主平面，该主平面上的主应力为零，因此，该单元体也可用图10−3（b）所示的平面状态表示。利用截面法可以求出与x轴正向α角的任意斜截面上的正应力σα

和切应力τα

（图10−3（c））。上一页返回下一页10.2平面应力状态分析10.2.2主应力的大小和方向由式（10−1）和式（10−2）可知，斜截面上的正应力σσ=α和剪应力ττ

=α随α角的改变而改变，即σσ

=α和τ=τα

都是α的连续函数。对式（10−1）求导，即可确定极值正应力所在平面的方位。令上一页返回下一页10.2平面应力状态分析10.2.3最大切应力理论分析证明，在复杂应力状态下，最大切应力与主应力之间存在如下数量关系：最大切应力τmax

的作用面与最大主应力σ1和最小主应力σ3

均成45°，与主应力σ2

垂直，如图10−5所示。上一页返回10.3强度理论10.3.1强度理论的概念对于构件的基本变形，已经建立了强度条件。如受轴向拉压时，σmax=FN/A≤[σ]；圆轴扭转时，τmax=T/WP≤[τ]。许用应力[σ]和[τ]分别是通过拉压与扭转试验测得的极限应力除以安全系数获得的。因此，基本变形的强度条件是以试验结果直接建立的。但是，工程中构件的受力形式较为复杂，构件上的危险点往往处于复杂应力状态。根据材料试验来测出失效时的极限应力是比较困难的。这是因为在复杂应力状态下，材料的失效不仅取决于主应力σ1

、σ2

及σ3

的大小，还取决于它们之间的比值。由于σ1

、σ2

、σ3

有无数个不同的组合，因而要确定材料的极限应力就必须做无穷多次试验，这显然是不可能的。上一页下一页返回10.3强度理论所以复杂应力状态下的强度条件不能直接由试验确定。人们在大量的试验观察、理论分析、实践检验的基础上，逐步形成了这样的认识，认为无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料按某种方式的失效（如断裂或屈服）都是由某一特定的因素（如应力、应变或变形能等）引起的，只要导致材料失效的这一因素达到极限值，构件就会被破坏。这样就可以根据简单应力状态的试验结果来建立复杂应力状态的强度条件。关于引起材料失效的决定性因素的各种假说，称为强度理论。10.3.2常用的四种强度理论由于材料的破坏按其物理实质可分为脆断和屈服两类，因而强度理论也相应分为两类，第一类强度理论以脆断作为破坏标志，包括最大拉应力理论和最大拉应变理论；第二类强度理论以屈服作为破坏标志，包括最大切应力理论和形状改变比能理论。上一页下一页返回10.3强度理论10.3.3四种强度理论的适用范围材料的失效是一个极其复杂的问题，四种常用的强度理论都有它符合实际的一方面，又有它不符合实际的片面的一方面。大量的工程实践和试验结果表明，上述四种强度理论的适用范围与材料的类别和应力状态等有关。（1）脆性材料通常以断裂形式失效，宜采用第一或第二强度理论。（2）塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四强度理论。上一页下一页返回10.3强度理论（3）在三向拉应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑性材料或脆性材料都将以断裂形式失效，宜采用第一强度理论——最大拉应力理论。（4）在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是塑性材料或脆性材料都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。上一页返回10.4组合变形的强度计算10.4.1弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算设有一矩形截面杆，一端固定，一端自由（图10−8（a）），在自由端受到集中力F的作用，固定端A受约束力FAx

、FAy

以及约束力偶MA

的作用，如图10−8（b）所示。为了分析杆件的变形，将F分解成两个正交的分力Fx

和Fy

，则Fx=Fcosα，Fy=FsinαFx和FAx

使杆轴向拉伸，Fy

、FAy

和MA

使杆发生平面弯曲，故杆的变形是弯曲与拉伸的组合变形。上一页下一页返回10.4组合变形的强度计算10.4.2弯曲与扭转组合变形的强度计算机械中的转轴，通常是在弯曲与扭转组合变形下工