高考数学复习讲义：直线和圆（解析版）

解密19直线和圆

【考点解密】

1.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式)'一刈=2(%—X。)不含直线X=X0

斜截式y=kx-\-b不含垂直于X轴的直线

V>1A—A|

两点式yi-yiX2—X1不含直线1=为和直线y=v

（41=#12，）'17丫2）

截距式a+b='不含垂直于坐标轴和过原点的直线

Ar+8），+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

（屋+B2R0）

2.两条直线的位置关系

⑴两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

(i)对于两条不重合的直线八，若其斜率分别为心，心,则有寸〃，20心=b

(诃)当直线/1,/2不重合且斜率都不存在时，lx//11.

②两条直线垂直：

(i)如果两条直线6的斜率存在，设为h，。，则有h依=一1.

(ii)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,

(2)两条直线的交点

直线/,：/l|x+Biy+Ci=O,/2：人2%+&｝，+。2=0,则八与b的交点坐标就是方程组

Aix+3]_y+G=0,

的解.

A2x+82_y+Q=0

3.几种距离

(1)两点P13，/1)，尸(2X2，口)之间的距离IP]P2I=N(工2—2)2+(.V2—丁1)2.

|A¥O4-BV（）+C|

⑵点2(X0,泗)到直线/：Ax+/fy+C=()的距离d=

y/A2+B2

IG-CI

⑶两条平行线Ar+8)，+G=0与Ar+8_y+C2=0(其中G/C?涧的距离〃=荷+/2

4圆的定义与方程

定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

圆心为(a,b)

2

标准式(x—a)+°，一力2=r(r>o)

半径为广

方充要条件：犷十层一4Q0

程圆心坐标：(一孝，一§

一般式x2+产+Dr+Ey+F=0

半径r=7\/D2+E2—4F

5.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离(/和圆的半径厂的大小关系.(最重要)

相交;"―rO相切；相离.

>00相交

⑵代数法：广饕f=。分相切

d=/r-4ad

<00相离

6.圆与圆的位置关系

设圆01：(1—〃1)2+()，—。］)2=水片>0),

。2：。-42)2+。一岳)2=Kg>0)

'、方法

位小、几何法：圆心距d与ri,ri代数法：联立两圆方程组成方程组的

的关系解的情况

关系

外离d>r\+n无解

外切d=r\+r?一组实数解

相交1"—r21Vd<八十r2两组不同的实数解

内切d=ln-RSNa)一组实数解

内含0Wd<»|—r21sH「2)无解

【方法技巧】

处理定点问题的思路：

(I)确定题目中的核心变量(此处设为攵),

（2）利用条件找到々与过定点的曲线/（%），）=（）的联系，得到有关k与乂丁的等式，

（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点（天,%），使得无论上的值如何变化，等式恒戌立,

此时要将关于k与乂），的等式进行变形，直至找到（看,%），

①若等式的形式为整式，则考虑将含A的式子归为一组，变形为“女•（）”的形式，让括号中

式子等于（），求出定点；

②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系,

可消去后变为常数.

【核心题型】

题型一：待定系数法求直线方程

1.（2022・北京・统考模拟预测）已知圆。：（63）2+（丁-2）2=1,直线/过点（1,3）且倾斜角为。，

则“直线/与圆。相切”是“。=°”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

4

【分析】先化简“直线/与圆C相切''得到。=0或者lana=-§,再利用充分条件必要条件的

定义判断得解.

【详解】当直线/没有斜率时，a=90，与圆不相切.

当直线/有斜率时，设直线方程为）-3=-y-八3=0,

\3k-2-k+3\I2k+1|4

由题得=1,.1.k=°或者k=—.

xlk2+\3

4

所以a=0或者tana=-§.

所以“直线/与圆C相切”成立，则"a=0”不一定成立；“a=0”成立，则“直线/与圆。相切”

成立.

所以“直线/与圆。相切”是“。=0”的必要不充分条件.

故选：B

2.（2023秋・北京石景山•高三统考期末）已知直线/：%+2），-3=0与圆。：丁+产-41=0交

于A,3两点,则线段的垂直平分线方程为（）

A.2x-y-4=0B.2x+y-4=0C.x-2y-2=0D.2x-y-2=0

【答案】A

【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.

【详解】由V+y2—4x=0=（x—2）2+），2=4,圆心坐标为（2,0）,

I31

由1:x+2y—3=0ny=-不x+；,所以直线/的斜率为-：，

因此直线/的垂直垂直平分线的斜率为2,

所以直线/的垂直垂直平分线方程为：y-0=2（x-2）=>2x-y-4=0,

故选：A

3.（2022•广东中山•中山纪念中学校考模拟预测）已知直线/经过点用（3,-1）,且被圆

f+），2—8x—2y+12=0截得的弦长为4,则直线/的方程是（）

A.>'=2B.x=3或3%一4）'-13=0

C.x=3D.y=2或x-），+l=0

【答案】B

【分析】考虑直线斜率不存在和存在两种情况，验证后得到x=3满足要求，当斜率存在时，

3

设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出k==,得到答案.

【详解】圆的标准方程为：（1J+（尸1）2=5,

由题意圆心到直线I的距离d=卜_令=75^4=1

（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=3,圆心到直线的距离d=l,符合题意，

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为），+1=女（工-3）,即依-）」1-3攵=0,

圆心到直线的距离为4=上*=1,解得k=贝IJ直线方程为3x—4y—13=0,

、/1+二4

综上，直线/的方程为x=3或力-4y-13=0.

故选：B.

题型二：已知两直线位置求参数或者范围

4.（2023•吉林•东北师大附中校考二模）直线/的方程为（2+2）x+（/l-l））」3/l=0（/lwR）,

当原点。到直线/的距离最大时,五的值为（）

A.—1B.—5C.1D・5

【答案】B

【分析】求出直线（Z+2卜+（丸-1）），-3九=0（丸611）所过定点庆的坐标，分析可知当OA_L/

时，原点。到直线/的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数4的值.

【详解】直线方程（N+2）*+（；l-l）y-3，=0（>lwR）可化为;l（x+y-3）+（2x-y）=0,

所以，直线(％+2)x+(/l-l)y—34=0(2£R)过定点4(1.2),

当。4_L/时，原点。到直线/的距离最大，且自八=2,

又因为直线/的斜率为左=-竽；+24=-=1,解得4=-5.

2-12

故选：B.

5.（2023秋•浙江嘉兴・高三统考期末）已知圆C过点（1,0）,且圆心在工轴的正半轴上，直线

/：y=x-l被圆C所截得的弦长为2贝，则过圆心C且与直线/垂直的直线的方程为1）

A.x+y-3=0B.x-y+3=0

C.x+y+3=0D.x-y-3=0

【答案】A

【分析】利用已知弦长先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线L垂直的直线的方程.

【详解】由题意，设所求的直线方程为x+y+/〃=o,并设圆心坐标为（。，0）,

则由题意知:

乂因为圆心在X轴的正半轴上，所以4=3,故圆心坐标为（3,0）,

•・•圆心（3,0）在所求的直线上，所以有3+（）+〃?=0,即加=-3,

故所求的直线方程为x+）=3=0.

故选：A.

6.（2023・吉林・统考二模）已知〃＞（）力＞0,若直线4：④+〃v-2=0与直线

4：2x+（l-a）y+l=O垂直，则。+2b的最小值为（）

A.1B.3C.8D.9

【答案】D

O1

【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得在利用基本不等式即可求得

ba

。十2万的最小值.

【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，

又因为两直线垂直，所以斜率乘积为-I,即=即2。+人=而，

bI\-a）

21

整理可得：+—=1,

ba

所以a+2b=（〃+处）［,+，）=与+1+4+且之5+2^^=9,当且仅当a=b=3时，等

号成立；

因此"％的最小值为9.

故选：D

题型三：直线的定点问题

7.（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）已知点A（—1,0）,8（2,0）与直线/:〃氏—y+〃7=0G〃£R）,

若在直线/上存在点P,使得|/科=2忙闿，则实数机的取值范围是（）

…下

A.-T-B.Jh*

LJ\JL/

c.^—5/3,5/3JD.（-00,-［石,

【答案】A

【分析】设出/，点坐标，由|网=2|阳进行化简，结合二次函数的性质求得，〃的取值范围.

【详解】对于直线/："a-），+〃?=0（〃z£R）,

即尸〃心+1）,所以A（-l,0）在直线）上,

设P«,/n（E+l））,其中rw-1,

由|R4|=2|冏两边平方得忙才=4归却，

即（/+1）2+加2（/+1）2=4［（-2）2+机2〃+1）2］,

整理得（”1）2/1产6"5=0,

2r-6r+5r+2r+l-8（r+l|+I2

由于1+1工0,所以次一工=-------;一T------------

1+1）”+1）

128।1

二一西+不一,其中下‘°.

I1128।

根据二次函数的性质可知，当「二不，=2时，-77二+二一1取得最大值，

r+l3（Z+1）-I

1「］］\Fin

且最大值为则“e0,-,解得机e--.

故选：A

8.（2023♦贵州毕节•统考一模）已知点P在直线/：3x+4y-33=0上,过点P作圆

C:（x-l）2+），2=4的两条切线，切点分别为A8,则圆心。到直线"的距离的最大值为（）

2

A.B.C.1D

33-I

【答案】B

【分析】根据题意，设打〃?，〃)为直线/：3x+”-33=0上的一点，由圆的切线的性质得点44

在以。为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C的方.程联可得直线48的方程，将其变

形分析可得直线A8恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案.

【详解】由题意可得C：(K-1尸+)，2=4的圆心C(1,O)到直线/：3x+4)，-33=0的距离为

.13-3310

a=——-——=6>2,

即/3x+4y-33=0与圆相离;

设打〃?,〃)为直线/:3x+4y—33=0上的•点，则3，〃+4〃-33=0,

过点。作圆。《-1尸+丁=4的切线，切点分别为4'则有CA_LPACB_LP8,

则点AB在以C。为直径的圆上，

以CP为直径的圆的圆心为(丝,g),半径为「」|CP|="〃-"+〃]

2222

则其方程为(工一^^^+(丫-。)2=。〃二])一+〃,变形可得/+)二一("l+l)x-〃>+〃?=0,

224

联立，(:2十,―:八，可得：(/n-\)x+ny-m-3=0,

x+y-(zzz+1)x-ny+in=0

又由3m+4〃_33=0,则有4(〃?-l)x+(33-3〃?)y—4〃7-12=0,

变形可得〃?(4x-3y-4)—4x+33y-12=0,

“I

则有竹-可得:,故直线AB恒过定点(1一),

-4x+33y-12=0515

V=15

设嗯，袅,由于弓-1)2+(2)2<4,故点M(1,令在C:(x-l)2+y2=4内,

则C3JLAB时，C到直线A4的距离最大，

22

其最大值为ICM|=1(1-1)+(-^)=|,

故选：B

题型四：直线有关的对称问题

9.（2023秋•贵州贵阳•高三统考期末）若M为圆。:/+），2_6》_45，-7=0上的动点，当“

到直线/：（，〃+2卜+（2〃?+1）），+〃?-1=0（〃好1i）的距离取得最大值时，直线/的斜率为（）

3223

A.—B.—C.—D.—

2332

【答案】B

【分析】求出直线/所过定点，的坐标，分析可知当M为射线PC与圆C的交点且PCJ_/时,

点M到直线/的距离最大，求出直线的斜率，可得出直线/的斜率.

【详解】圆C的标准方程为（工一3）2+（），-2）2=20,圆心为C（3,2）,

将直线/的方程变形为相（x+2y+l）+（2x+y-l）=0,

由|2r+；，-1=0得（v=-l，故直线/过定点「（LT），如下图所示：

©

当M为射线PC与圆C的交点且PCJJ时，点M到直线/的距离最大,

因为2"•=注=3,则直线/的斜率为攵

3—123

故选；B.

10.（2023•北京平谷•统考模拟预测）点M、N在圆C:V+y2+2依+2〃?），-4=0上，且M、N

两点关于直线x-），+1=0对称，则圆。的半径（）

A.最大值为比B.最小值为也C.最小值为逑D.最大值为逑

2222

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得

到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】由/+/+26+2，〃），-4二0,得（工+攵）2+（），+用『二二+〃/+4,

所以圆心。为（—&,-〃?），半径为,•=:为+,7+4,

由题意可得直线x-y+i=o经过圆心C（YT〃），

故有一&+m+1=0,即攵=〃2+1,

所以半径为厂=yjk2+/«2+4=+〃/+4=+>~~~，

当帆=-《时，圆C的半径的最小值为逑.

22

故选：C.

11.（2023•陕西西安•校考模拟预测）A（-2,0）,B（2,0）,C（0.2）,E（-l,0）,F（l,0）,一

束光线从点尸出发射到BC上的点O,经BC反射后，再经AC反射，落到线段人E上（不含

端点），则尸。的斜率的取值范围是（）

A.（-=<>,2）B.（0,+8）

C.（1,+<»）D.（4,+00）

【答案】D

【分析】先根据题意求得A（-2,0）关于直线BC对称的点为A（2,4），点£（-1,0）关于直线AC

的对称点为Ex（-2,1）,点E"-2,1）关于直线BC的对称点为E2（1,4），再数形结合得到点。的

变动范围，从而得到％e>以一由此得解.

[0=2k+b[k=-\

【详解】设直线BC方程为产质+"则。,解得匕0,即8C:），=r+2,即

2=b[b=2

BC:x+y-2=0,

y[

设4（—2,0）关于直线8c对称的点为A（x,y）,则入，，解得即42,4）,

IZ±4.1-2=0一4

22

=4,

同理可得：

点E（-l,0）关于直线AC:y=x+2的对称点为£（（-2,1）,

点七（-2,1）关于直线8C:y=r+2的对称点为耳（1,4）,

如图所示：

利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点A时，则其先经过点N；当这束

光线反射后最终经过点E时，则其先经过点

所以点M,N之间为点。的变动范围，

因为4(1,4),以1,0),所以直线广七，即直线用/斜率不存在，而1^=%=4,

所以即%J£(4,+8).

故选：D

12.(2023秋•江西吉安•高三统考期末)已知点A(T-2),8(0,4),若直线48关于丁二。的

对称直线/与圆C：(工-3广+)，2=18交于加，N两点，则|MZV|的最小值为()

A.2近B.372C.2MD.4及

【答案】C

【分析】求出直线A8关于直线的对称直线/,由广直线/恒过点尸，当且仅当CP_L/时,

圆心C到直线/的距离最大，|MN|取最小值可得答案.

【详解】•・・38=2+。，・•・直线4?关于直线)的对称直线/为y=—(2+a)x+a,

可得2x+y+a(x-l)=0,即直线/恒过点?(1,-2),

由(1-3)2+22<18得点。在圆。内，

圆C：口一3)2+)，2=18的圆心。(3,0),圆C的半径为「=3夜，

当且仅当CPU时，圆心C到直线/的距离最大，|MN|取最小值，

由一(a+2)xl=-1.得〃二一1.

所以/：x+y+l=0,圆心到直线/的距离d总=2夜，|A//V|=27^8=2x/10.

故选：C.

题型五：几何法求圆的方程

13.(2022秋♦河南•高三信阳高中校联考期末)已知点。是圆C:(x-5>+()，+12)2=1上的任

意一点，点用，N分别为圆O:d+)，2=4上的两个不同的动点，且|MN|=2x/5,点Q为线

段MN的中点，则俨。的最小值为()

A.11B.12C.13D.14

【答案】A

【分析】由圆内的弦长求得圆心。到弦中点。的长即得点Q的轨迹方程，从而转化成求两

圆上任意两点间距离的最小值.

【详解】因为点。为线段MN的中点，且|MN|二2V5,所以

|。2|=卜(喇=巧画=1.

所以点。在以原点。为圆心，1为半径的圆匕即：方程为/+)，2=1,

所以叽=|OC|-1=6+(-12丫_]=]2.所以|叫—=11.

故选:A.

14.(2023・全国•高三专题练习)已知人,3是圆C：(x-2)?+()，-/〃『=4(〃?>0)上两点，且

\AB\=2yf3.若存在awR,使得直线《："一y二。与4：x+@+2a-4=0的交点户恰为入台的

中点，则实数〃[的取值范围为()

A.[45-2,2]B.[>/5-2,>/5]

C.[2,2+V5]D.[括,2+百]

【答案】B

【分析】根据直线与圆相交弦长可得A8的中点M的轨迹方程为圆(x-2『+(y-又

根据直线《4的方程可确定交点P的轨迹(1-2)2+(>+1)2=5,若P恰为A3的中点，

即圆M与圆。有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数用的取值范围.

【详解】解：圆C:(x-2)2+()—〃『=4(小>0),半径/*=2,

因为M恰为A8的中点，直线与圆相交弦长陷=262_囚。「=2。所以|困=1,

：.M的轨迹方程是(％-2)2+()，一〃2『=1.

又直线小火―>'=。过定点Q(()，()),直线/2：工+〃)'+2。-4=0过定点5(4,-2),且《，匕

则点〃是两垂线的交点，所以〃在以QS为直径的圆上，则圆心(2,-1),半径为JQS|=6

.•.尸的轨迹方程是(1-2)2+()，+1)2=5由1，的斜率存在，所以点〃的轨迹要除去点(0,-2),

由已知得圆M与圆产有公共点，

.•.6-14|网《6+1,即石—14帆+1区逐+1,又,〃>(),所以石+6+1,解

得6-20於6

.•.实数〃]的取值范围为[占-2,6].

故选：B.

15.(2022.全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，动圆C:(x-炉+仃-1『=/与直线

)，+1=机(工-2乂〃?£用相切，则面积最大的圆的标准方程为()

A.(x-l)2+(x-l)2=4B.(X-1)：+(X-1)2=5

C.(x-l)2+(x-l)2=6D.(A：-l)2+(.r-l)2=8

【答案】B

【分析】据题意分析可知直线经过定点尸；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大,

即可得到面积最大的圆的标准方程.

【详解】直线方程为：丁+1="(工-2)(〃昨扭)可化为"7(工-2)-丁-1=0,

「•直线经过定点夕(2,-1),

易知：圆的半径最大时.圆的面积最大，・•・圆心到直线的距离最大时圆的面积最大，

又■动圆。：。-1)2+(匕1)2=心圆心为。(1,1),半径为小

・••当PC与已知直线垂直时圆的半径最大，.•.小、=|尸牛,(2一炉+(—i—i”百,

••・面积最大的圆的标准方程为：(一1)2+()，-1『=5.

故选：B

题型六：待定系数法求圆的方程

16.(2023,山西・校联考模拟预测)己知圆C：/+(),_〃『二片印》。)的圆心到直线

“一)，一2=。的距离为2a,则圆G与圆G：/+),2_2.丫_4)，+4=0的公切线共有()

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】B

【分析】先根据题意求得。=2,从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径

的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.

【详解】圆G：/+&_1)2=/的圆心为(0,〃)，半径为小

|0一〃-2|

所以圆心到直线X-)，-2=0的距离为〃==26,解得a=2或a=-6.

因为a>(),所以〃=2.

所以圆G：/+(),_2『=4的圆心为。(0,2),半径为4=2.

圆。2：x24-/-2x-4y+4=0的标准方程为(x—if+(y-2)2=l,

圆心坐标为G0，2),半径弓二1,

圆心距°/=小(0—1)2+(2-2)2=1=7；—内,所以两圆相内切.

所以两圆的公切线只有1条.

故选：B.

17.(2()23•全国•高三专题练习)与直线x-)=4=0和圆(x+iy+()，_l)2=2都相切的半径最

小的圆的方程是()

A.(jr+l)2+(y+l)2=2B.(x+l)：+(y+l)2=4

C.(x-l)2+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y+l)2=4

【答案】C

【分析】求出过圆心与直线垂直的直线方程，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距

离可得所求圆的半径，设所求圆的圆心为(〃⑷，且圆心在直线x-y-4=。的左上方，利用

/一24|=&、。+6=0可得答案.

V2

【详解】圆(x+1+(y-l)2=2的圆心坐标为(川),半径为正,

过圆心(T1)与直线x-y-4=。垂直的直线方程为x+)，=O,所求圆的圆心在此直线上，又

圆心到直线x-y-4=0的距离为专=3拉，则所求圆的半径为正,

设所求圆的圆心为(小〃)，且圆心在直线x+y=o的上，

所以忖击幺=&,且。+8=0,解得〃(。=3,〃=一3不符合题意，舍去),故

所求圆的方程为(x-l)2+(y+l)2=2.

故选：C.

18.(2023・全国•高三专题练习)如图，点A,B,。在圆「上，点C在圆「内，

AB=I1,BC=12,CD=5,若8CCO=0,且人8与C。夫线，则圆「的周长为()

A.，410乃B.—7：C.21乃D.24万

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求出圆的方程，然后可解.

【详解】以C为原点，8c和。。坐在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系,

则4T2,-11),8(-12,0),。(0,5),

设圆的一般方程为丁+产+以+@+/=。

I44+121-12D-11E+F=O3I--------------

则JI44-12D+F=O,解得，E=ll,所以『二,(3)2+112+32()=国

F=-802V36

25+5E+F=0

所以圆的周长为2幻-=24><£=?乃

63

题型七：几何法求弦长

19.（2023•全国•模拟预测）若直线2x-），-2=0与直线2.r-），-1=0被圆

。:,12+），2-2.1-6），-〃?=0（m>-10）截得的弦长之比为1：正，则圆。的面积为（）

c14n16

A.2兀B.—兀C.3几D.—n

55

【答案】B

【分析】求出圆心分别到两条直线的距离，根据勾股定理求出两条直线被圆截得的弦长，根

据弦长之比为I:逐列式求出〃?，可得圆的半径，从而可得圆的面积.

【详解】圆C的标准方程为（x-l）2+（y一3y=10+〃?（〃?>一10）,

12—3—213

所以圆心C（1,3）到直线2A），-2=0的距离为七^二金,

I9-3-iI?

到直线2x-y-l=0的距离分别为一忑—=

所以直线2X-）」2=0被圆。：.，+/一2、—6），—〃?=（）（〃?〉—10）截得的弦长为

2J10+加一=2J10—/"一看,

直线2x—），-1二。被圆C：/+y^-2x-6y-m=0（/n>-10）截得的弦长为

2J10+机2J10-W--

5

1OZ.

由题意可得=&,解得/〃二一M，满足机>70,

14

所以圆c的半径为Ji1嬴=,面积为M九

故选：B.

20.（2023秋・河南•高三校联考期末）在平面直角坐标系xQy中，已知圆C:

（工一。）2+（）,-2）2=/（〃>0）被不轴截得的弦长为2,且与直线y=2x相切，则实数〃的值为

()

【答案】D

【分析】由已知求出圆心2）.根据圆与x轴的关系可得产=5,进而由直线与圆相切可

|2〃-2|r-

得万不干解方程即可得出答案.

【详解】由己知可得，圆心C®2）,半径为

圆心到x轴的距离为4=2,则由已知可得2尸彳=2户。=2,

所以产=5,M=石.

,|2〃-2|一厂

又圆C与直线y=2x相切.则圆心。（〃,2）到直线2x-y=0的距离"=厅+（二/二m二心，

整理可得又〃>0,所以

故选：D.

21.（2022秋・四川广安•高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知双曲线上—《=1的

m2

渐近线被圆Y+y2+4y=0截得的弦长为华，则正实数机的值为（）

A.8B.4C.1D.-

2

【答案】A

【分析】求出圆心到一条渐近线的距离，利用弦心距、半径、半弦长的关系求解即可.

【详解】由f+y2+4y=0可得1+（y+2）2=4,即圆心为（。,一2）,半径为f=2,

加

由双曲线的对称性，取双曲线的一条渐近线），即y/2x-4my=0»

所以圆心到渐近线的距离为d=依题意得C+：=4,解得m=8.

V2+m〃?+25

故选：A

题型八：圆或者直线上的点的距离问题

22.（2023•福建福州•统考二模）已知O,:（x-2）2+（y-3）2=4,。。1关于直线ax+2），+l=0

对称的圆记为点区/分别为£。2上的动点，所长度的最小值为4,则。=（）

A.-;3或53B.弓5或=3C.3或5弓D.53或3;

26622662

【答案】D

【分析】画出图形，当EF过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，EF长度最小,

此时圆心。到对称轴的距离为4,根据点到直线的的公式建立方程即可求解.

由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当EF过两I员圆心且与对称轴垂直又接近于对称

轴时，E尸长度最小，

此时圆心Oi到对称轴的距离为4,

所以磔空1=4,（2。+7）2=16（〃+4）,解得。==或。=3.

77+426

故选：D

23.（2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测）在直角坐标系.9），中，已知点P是圆O：f+）J=i

上一动点，若直线/：6-y-22+3=0上存在点Q,满足线段尸。的中点也始终在圆。上,

则A的取值范围是（）

A.（-*。）B.收）

C.-y,0D.卜8,一弓］以0,+8）

【答案】D

【分析】由题意分析可知，只要。的圆心到直线/的距离不超过3,再结合点到直线的距离

公式即可求得&的取值范围.

【详解】由题意分析可知，直线/：履-）」2〃+3=0过定点M（2,3）,设。。的中点为A,

因为圆0：/+,2=］的圆心0（0,0）,半径为r=l,

若满足线段PQ的中点A点在圆上，则|=2俨八区2x2r=4,

又|尸。=2M。，则2W。44,即|A@W2,

所以|09引。4|+|4。43,

设圆心。到直线/的距离为d,则14因43,

所以上:女+303,舟隼得攵20或攵$一?，

>Jk2+\5

故左€（Y,-葭］U［。，+8）.

故选：D.

24.（2022秋・江西萍乡•高三统考期末）点M为抛物线）？=8x上任意一点，点N为圆

产+）,2一©+3=0上任意一点，P为直线奴-），-。-1=0的定点，则+的最小值为

（）

A.2B.>/2C.3D.2+0

【答案】A

【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线

性质分析得出最值.

【洋解】如图所示：

y

由丁=8%知，抛物线焦点尸（2,0）,

由d+y2-4x+3=0,化为（x-2y+y2=],

即为以（2,0）为圆心，1为半径的圆，

又ar-y-a-1=0,得y=a（工一1）一1,恒过定点（1,-1）,

过点M作ME垂直于抛物线的准线：主=-2交于点E,连接PE,

则|MP|+|M7V|21Mpi+|阿一1=阿1+1阳-12俨£卜1,

当P,M,石三点共线时，|PE|最小，此时为3,

所以|W"十|MN|的最小值为：3-1=2,

故选：A.

题型九：直线和圆的综合问题

25.（2023.重庆.统考二模）过抛物线E/-4），的焦点尸作斜率分别为船刈的两条不同的

直线4,%,且4与E相交于点A,3,6与E相交于点C,D.以A4,C。为直径的圆M,

圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为/.

（1）若人心2=2,求尸A//N；

⑵若K+&=2,求点M到直线/的距离的最小值.

【答案】（1）24

【分析】（I）根据题意设直线人的方程为y=火/+1,联立抛物线E的方程可得关于％的一元

二次方程，从而可得％+为，乂+刈，进而可得点M的丝标，即可得到厂M的坐标表示，同

理可得广N，求解尸M•月V即可；

（2）结合（1）,根据抛物线的定义得|E4|,|冏，进而可得|A8|,即可得到圆M的半径4，

从而可得到圆M的方程，同理也可得到圆N的方程，两圆方程相减即可得到直线/的方程，

再根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】（I）依题意，抛物线石的焦点为尸（0,1）,且其在抛物线内部，设直线乙的方程为

由，得ff4=0,

x2=4y

设A,8两点的坐标分别为（内,）［），（电，为），则X，%是上述方程的两个实数根,

（玉+/=44

所以y+1y2=4（斗+工2）+2=4&；+2,

所以点M的坐标为（2*26+l）,FM=（2&,2喻,

同理可得N的坐标为（2&2g+1）,川=（2加2后），

于是FM•FN=4化右+k；k；）,

又人•自二2,所以五M7N=24.

（2）结合（1）,

由抛物线的定义得|冏=*+1，|冏=>2+1，

所以|A同=*+%+2=喏+4,

所以圆加的半径4=2442,

所以圆M的方程为所-2幻2+所-26一a=（21+2尸,

化简得£+9_4价_2（2吁+1））=3二0,

同理可得圆N的方程为//-4如-2（2后+l）y-3=0,

于是圆M与圆N的公共弦所在直线/的方程为（&-K）x+（始-Y）y=。,

又k、+k1=2,则直线/的方程为x+2），=0,

17

所以点M到直线/的距离d=|%+2K+2|4-4-

加

故当｛=—；时，d取最小值二尸二拽.

44后20

【点睛】关键点点睛：解答小问（2）的关键是根据抛物线的定义求得|必|,|ra|,进而可

得|AB|,从而得到圆M的半径可得到圆M的方程，同理可得到圆N的方程，再根据点

到直线的距离公式求解.

26.（2023・湖北武汉•统考模拟预测）过坐标原点。作圆C:（x+2）2+），2=3的两条切线，设切

点为P,Q,直线PQ恰为抛物E：V2=2Px,（〃>0）的准线.

(I)求抛物线上的标准方程；

⑵设点7是圆C上的动点，抛物线E上四点AA，M,N满足：TA=2TM,TB=TTN,设八8中

点为。.

(i)求直线7D的斜率；

(ii)设△L44面积为S,求S的最大值.

【答案】⑴丁=24

(2)(i)0；(ii)48

【分析】⑴设直线也与％轴交于4卜多o),由几何性质易得：|CP|2=|CZ>|-|CO|,即可

解决；(2)设丁(如。*(知,),见孙力),(i)中，由于7X中点M在抛物线E上,得

(迎斗［=2・卫五，将人(牛))4(松为)，代入联立得。点纵坐标为^1二%，即可

(2J22

解决；(ii)由⑴得点D(西卢,yj,s=g|叫你-刃=苧4(/2步，又点T

在圆C上，得巾=-片-4》-1,可得：5=呼・$-(%+3)2+8］即可解决.

【详解】⑴设直线也与％轴交于《卜多。)

由几何性质易得：CP4与△O”相似，

所以回=回

所以|阿旧'

\CP^=\CP0\-\CO\,

即：3=f-f+21，2»解得：〃=L

所以抛物线七的标准方程为：丁=2儿

(2)设7(如％卜4(不凹),8("必)

(i)由题意，以中点M在抛物线E上，即(涧士入［=2.血士A,

I2)2

又犬=2再，将％=¥代入，

得：X-2为y+4%—y：=。，

同理：只一2%%+4%一)，；=(),

J，+=2＞，o

有［^2,此时D点纵坐标为注i=%,

所以直线7D的斜率为0.

（ii）国为X+W=）『+」二（,+一）2-2y必二3y：-4%

2442

所以点啦卢,yj,

此时S=#。心-%|，

叫=强产_见=翡_2让

lxf|=J（y+%『-盯。='8（）'；-2%）,

所以S=2%）,

又因为点了在圆。上，有伉+2），尤=3,即需=-4-4%-1,代入上式可得：

S=，J（f；-6x0—17二.J［_（/+3『+8'

由—2—y/3W玉）4—2+\/3,

所以为=-3时，S取到最大价迪•瓜=48.

2

所以s的最大值为48.

27.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆C夕+卓=1（"〃＞（））上点P（l，|）与圆

/+（），_』［=1上点用的距离的最大值为6