高中数学一轮复习-三角函数的图像和性质

专题5.4三角函数的图像和性质

1.用五点法作正弦函数和余弦函数在区间[0,2m上的图象

(1)“五点法”作图原理：

在正弦函数y=sinx,xe[0f2n]的图象上，五个关键点是：

(0.0),1),(7T,0),(芸—1)，(2",0)•

在余弦函数y=cosx,xE[0,2扪的图象上，五个关键点是：

(0.1),&0),5,-1)信,0),(2匹1).

(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

三角函

y=sinxy=cosxy=tanx

数

i

yy

图象UJ

04viyx04vLz*y\/\

定义域RR{无卜+kn,kez}

值域[-14][-14]R

周期2n2nTC

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称轴方程WZ

对称轴方程=]+对称中心：詈,0),k€

对称性对称中心:C+k%0)，kEZ

对称中心:(E,0),k€ZZ

单调递增区间：卜5+

单调.递增区间：[-7T+

单调递增区问

2时,kez2kn,2kn],keZ/nn\

单调性(--+kn,--^kn),keZ

单调递减区间：⑵br,兀+2尿],/cW

单调递减区间：J+2k喏+2kn],ke

Z

Z

当X=g+2k7r,k£W4,ymax=l

当x=2kn,kEZ时，为1ax=1

最值无最值

当％=：+2/^/€2时,〉皿“二一1

当x=Jr+2kn,AWZ时，ymin=

教材改编

1.【人教A版必修一5.4.2练习5P207］函数f(x)=3s讥咛一2%)的一个单调递减区

间是()

A・度，翳］B.瑞阳C.［―蓊D.［聋卓

2.【人教A版必修一习题5.4第1题P213］已知函数f(%)=Asin(a)x+(p)(A>Ota)>

0,0V0V/)同

时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为小②最大值为2；③/(0)=-1；

@/(-n)=O-

(1)求函数/(X)的解析式，并利用“五点法''画出f。)在XW［0,初的简图；

(2)求函数/(x)在xG［一;,0］的值域.

考点一三角函数的定义域和值域

【典例精讲】

例1.(2025•江苏省无锡市•模拟题)函数/(X)=7sinx-cosx的定义域是()

7T7T7T3n

A.B.

Ar2.L474J

C.—Fkic,--1-kn(kEZ)D.—I-Z/CTT,---1-Z/CTT(kEZ)

.44JL44

例2.(2025•广西壮族自治区桂林市♦月考试卷)函数/(x)=2cos2x+3cos(x-)在白泉上

的值域为()

A.[3,4]B.[3手+1]C.[3谭]D.呼+1谭]

例3.(2025•广东省•单元测试)(多选)己知函数/(%)=s勿+g)的定义域为

V几)，值域为[一],力则几一小的值可能是()

A.—B.-C.—D.—

122124

例4.(2025•浙江省•单元测试)函数y=cosx-sin2x-cos2x+：的值域为：函数

/(%)=子的值域为

''"2+sinx-----------

例5.(2025•贵州省遵义市・期中考试)已知函数/(外=cos(2x+)记/(%)在卜3+1上的

最大值为M(t),最小值为m(t),若£6邑3，则m(t)-M(t)的取值范围是.

【方法储备】

1.三角函数定义域的求法

根据三角函数本身的属性，及求其他函数求定义域的规律，如分母不为零，偶次根式下

被开方数大于或等于0,真数大于0等，构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三

角函数图象来求解.解三角不等式时要注意周期，且kEZ不可以忽略.

2.求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型

(1)形如y=asinx+b(aH0)或y=acosx+b(a±0)：可利用三角函数的有界性求值

域；

(2)形如y=asina)x+be"+k：可设sinw=春，cos?=京云'利用辅助角公

式，转化为

y—Asin(a)x+卬)+k求值域，即由4的范围->cox+w的范围-将幻尢+3看作一个整体,

求正弦函数的值域T将sin(3X4-秋)看作一个整休，求一次函数的值域;

注意：常见求值域问题中，要先利用两角和、差的正余弦公式及逆用、二倍角公式等先

做变形，再利用辅助角公式将函数转化为y=4s沅(3%+R)+/C的形式求值域；

(3)形如y=as)2%+bsinx+c(aH0)：可设sinx=f,化为关于t的二次函数y=at2+

尻+c求值域(最值)，注意换元后士的范围；

注意：可先利用二倍角余弦公式升吊，灵活运用sin2%=1-cos2x,cos2x=1-sin2x,

转化为y=as讥2%+bsinx+c的结构.

(4)形如y=Qsinxcosx+b^sinx±cosx)+c：可设sinx+cosx=t,则sinxcosx=

t2+i

2，

或s出T-cosx=t,贝ijsinxcosx=与匚，转化为关于t的二次函数求值域，注意换元后t的

范围；

补充：

⑴形如y=黑鬻(QCH0)：用y表示sEx,利用smx的有界性求值域，或分离常数结合

不等式性质求值域；

⑵形如y=也禺3c工0)：转化为Asinx+Bcosx=C,再利用辅助角公式及三角函数的

'acosx+b

有界性求其最值，或将cosx,si3：看作借助单位圆上点的坐标，转化为斜率问题解决.

【拓展提升】

练l・L(2025•浙江省杭州市•期末考试)函数y=72sinx-S的定义域为()

A.[2而+.,2也+等--Z)B.[21乃+,,2而+争(kWZ)

B.\2kn-^t2kn-^(keZ)D.[2kn-^,2kn-^\(k£Z)

练l・2.(2025•新疆维吾尔自治区•期末考试)函数y=，gs讥x+J.-cosx的定义域

是•

练1-3(2025•陕西省渭南市♦期中考试)函数y=3-3sinx-2cos2工的最小值是.

考点二三角函数的单调性

【典例精讲】

例6.(2025•广东省广州市•模拟题)已知函数/(x)=sin(2x+8)(-VV0V几)，若/(%)工

|靖)|恒成立，且/⑺>/($,则/⑶的单调递增区间为()

A.[/CTT+—,kjiH——](kGZ)B.[/CTT—kTC+—](Zc€Z')

B.[/C7r-p/c7r+^(kGZ)D.\knfkn~^\(keZ)

例7.(2024•广东省阳江市•月考试卷)已知3>0,函数/(x)=sin(3x+9在(》")上单

调递减，则a的取值范围是()

乩(。，2]B.(咽C.g,|]D•品

例8.(2025•广东省中山市•月考试卷)己知0Ve<*,a=cosa)fb=tana,c=costo—

sino),则()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

【方法储备】

1.与三角函数的单调性有关的问题

⑴求函数y=Asin^x+9)(4>0,o>>0)或y=Acos(a)x+租)04>0,o>>0)的单调区

间，将⑦无+@视作整体，代入y=$)%或丫=cosx相应的单调区间所对应的不等式，

即对于y=Asin(a)x+0)Q4>0,6o>0)=>

(a)x+(pE-1+2k7T,1+2hr|EZ7增区间

[(n)x+cpE5+2kir,+2/CTTJ,kE.Z—>减区I可

―/、,、+0E[―TT+2/CTT,2攵7],攵€Z->增区间

对于y=/lcos(3x+3)(A>0,a)>0)=.

(g%+9W[2kn,n+2kn],kGZ减区间

注意：当4Vo时，要注意单调区间的变化，y=s沅(cox+9)或丫=COSQJX+g)的递增

(减)区间，是原函数的递减,(增)区间.

⑵当3Vo时，可先利用诱导公式将x前的系数转化为正数，再求函数的单调区间.

2.比较三角函数值大小的步骤:

⑴异名函数化为同名函数；

⑵利用诱导公式把角化到同一单调区间上；

⑶利用函数的单调性比较大小.

3.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围

⑴子集法：求出原函数的相应单调区间，则已知区间是某单调区间的子集，列不等式（组）

求解；

⑵导数法：利用导数与单调性的关系求解.

【易错警示】

1.正切函数在定义域上天具有单调性.

2.正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在…上都是增函

数，且单调区间不能写成闭区间.

【拓展提升】

练2・1.（2024•辽宁省鞍山市♦月考试卷）函数f（%）=2Jcosg-3x）的单调递减区间是

（）

A.［—声等*+等］（〃WZ）B.成+W泻+午］（屐Z）

8」一袤+一*+等］（展2）D.琮+等W+等］（ZEZ）

练2-2（2025♦安徽省安庆市•模拟题）已知函数/（%）=sin^x+（p）（a）>0f\（p\<（0）=

?，且函数/（x）在区间（看上单调递减，则3的最大值为.

考点三三角函数的奇偶性、周期性、对称性

【典例精讲】

例9.（2025•四川省成都市,月考试卷）已知函数/（%）=asinx+cos%的图象关于直线x=：

对称，则/（午）的值为.

例10.（2025•河南省•期末考试）已知函数f（x）=sin（x+伊）—V-3cos（x+*）满足f（5=2»

则函数/(%十金是1)

A.奇函数，关于点5,0)成中心对称B.偶函数，关于点5,0)成中心对称

B.奇函数，关于直线X=7T成轴对称D.偶函数，关于直线X=7T成轴对称

例n.(2025•河南省洛阳市•期末考试)(多选)已知函数/0)=淅(2%+匀+85(2%一

票)+2加52%+。的最小值为1,则下列说法正确的是()

A.f(%)的最小正周期为兀B./⑺图象的一条对称轴为直线久=y

B.f(x)图象的一个对称中心为点偌,0)D./(x)在|一“］上单调递增

【方法储备】

三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路：

1.已知奇偶性求参数

若/(%)=Asin(a)x+(p)(A>0,co>0)为奇函数,则f(0)=Asln(p=0,则p=kn,k6Z；

若/(x)=Asin(cox+9)(A>0,3>0)为偶函数，则/(0)=Asin(p=±A,则租=1+

ku,kEZ.

2.求三角函数的周期

(1)定义法：对于％取定义域内的每一个值时，都有f〔X+/)=f(%)(T为非零常数)，则为

T为周期；

⑵公式法：即将函数化为y=Asin(cox+3)+B或y=Acos(a)x+9)+B的形式，则最小

正周期7=当；

y=tan(a)x+9)的最小正周期T=~

⑶由对称性求周期：相邻两对称轴间的距离为g相邻两对称中心间的距离也为看相邻对

称轴和对称中心间的距离也为二

4

(4)解析式含绝对值:

如y=\Asln(a)x十桃)|的最小正周期T=~y=\Asin(a)x+0)十8|的最小正周期

丁271

T二百

V=sin|x|不是周期函数.

注意：

⑴函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.研究某周期函数的性质，一般只需要研究

它在一个周期内的性质.

⑵将函数在某个周期内的性质扩展到整个定义域时，要补上最小正周期的整数倍.

3.三角函数对称轴和对称中心的求解方法

(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于X轴的直线，对

称中心是图象与％轴的交点，即函数的零点.

(2)公式法：对于函数y=Asin(a)x+cp),令s沆(3兀+(^)=±1，则3%+野=+k7i,ke

z,故对称轴方程为％=在—2+也,kez；

2333

令si?i(sx+9)=0,则①％+0=",kEZ,故对称轴中心为(-(+容0),/cWZ；

【拓展提升】

练31(2024•北京市原创试题)已知函数/(x)=sin(2x+8)"V《|),那么函数/(x)的

最小正周期是：若函数/(%)在弓，引上具有单调性，且/©)=-/偿)，则卬=.

练32(2025•浙江省・期末考试)己知函数f(%)=cos(2x+(p)(0<9<])的对称中心为

G，0),则能使函数/(%)单调递增的区间为()

6

A.[。曰B.[*]C.碎，引D.尊扪

练3・3.(2025•福建省•期末考试)关于函数/(x)=V_3sin2x-2cos2x+1有下述四个结论,

其中结论错误的是()

A.fQ)的最小正周期为兀B./(%)的图象关于直线％=彳对称

B./(x)的图象关于弓兀,0)对称D.f(x)在[0,勺上单调递增

新题放送

22

1.(2025•江西省赣州市•期末考试)已知函数/'(x)=log2(sinx-1)+V4TT-x,则f(x)

的定义域为()

A.(一詈，一勺B.麻书

B.[-2n,2n]D.(一詈，一季)U场冷)

2.(2025♦河南省新乡市♦联考题)(多选)对于函数/(x)=Acos^x+%)(3>0),g(x)=

sin(x+(p2),\(pi\<\i=1,2,/(%)相邻零点之间的距离为g,直线％=既是/(x)图象的

对称轴也是9(%)图象的对称轴，f(x)的最大值与9(%)的最小值之差为5,则()

A.A=4

B.3=2

C.存在一条直线是/(%)图象的对称轴但不是g(x)图象的对称轴

D.存在一点既是〃工)图象的对称中心也是g(x)图象的对称中心

3.(2025•北京市♦模拟题)已知函数/(幻=卷能，下面四个结论：①/⑴的图象是轴对称

图形；②八%)的图象是中心对称图形；③/(%)在(0，)上单调；④/(%)的最大值为:其中正确

的有.

【答案解析】

1.【人教A版必修一5.4.2练习5P207]

解：•••函数f(%)=3sin(Y—2x)=—3sin(2x—等,

在—乂+2/CJT42%——<—+2kn,kGZ上单调递减，即土+kii<x<-k江(kGZ),

2321212v7

当々=0时，^1<X<^；k=-l时，一詈WxW—泰k=l时，詈WxW詈，

•・・哈，专是/(%)的一个单调递减区间・

故答案选：B.

2.【人教A版必修一习题5.4第1题P213】

解：(1)若函数/。)满足条件③，则f(0)=4sin中二一1.

这与4>0,矛盾，故函数f(x)只能满足条件①②③.

由条件①，得舒=兀，又因为3>0,所以3=2；由条件②，得A=2

由条件④，得/(-卷=2s比(一£+0)=0,又因为Ovgvg,所以0=3

故/(%)的解析式为/(%)=2sin(2x+g).

6

由“五点法”找出函数/(%)在一个周期内的五个关键点，列表如下：

5n2nUn

X312T12

37r

n2n

。£T

1的020-20

(3)xW[—，0]时,2x+?W[—勺，sin(2x+g)W[―

乙ooooZ

故f(%)的值域为[—2,1].

例1

解：因为f(x)=Vsinx-cosx=Jx/-2sin(x-

对于函数/(x)有sin>0,

可得2/nr<%—^<2kn+7t(kEZ),

解得2也+牌>W2尿+号@WZ),

故函数f(x)=Jsinx-cosx的定义域为+2上江,§+2/CTT](/CGZ).

故选：0.

例2

解：依题意：/(%)=2cos2x4-3cos(x—^)=—2sin2x4-3sinx+2,

令sinx=t,tE[苧,1],

故可转换为二次函数f(t)=-2t2+3t+2,tE[?,1],

困数图象开口向下，顶点的横坐标为：£=：,

4

则%)=§，/(?)=1+*，〃1)=3,

故当时，函数有最大值?，当t=l时，函数有最小值3,

故所求值域为[3需.

故选：C.

例3

解：函数f(x)=sinxsin^x+-)--=-sin2%+—sinxcosx--=-sin(2x—；).

3422426

由于函数值域为[一匕口，则sin(2x-^)6[-1,1],

24o2

所以2%——E[2/CTT——,2/CTT+—],(kGZ)，

666J

故无£[kTT—彳，上兀+J(/cGZ),所以kv+g—%7T+1=拳

故几―租的最大值为拳

当n—m最小时，2m—三=2kji—三,2n--=2kn+则血=攵兀一巳，n=to

626666

此时九-ni的最小值为g,故;<n-m<y.

故选：ABC.

例4

解：①函数y=cosx-sin2x-cos2x+：=cosx-sin2x-cos2x+sin2x+:

=-cos2x+cosx+：=-(cosx-1)2+2,

当cosx=：时，ymax=2,当cosx=-l时，ymin=-j.

故函数的值域为［-32］.

②函数f(x)=1^黑，整理得y=；；：；：，转换为2y+ysinx=3-sinx,

整理得sinx=上曳，由于一1WsinxW1,故一1S上曳W1,

l+yl+y

整理得“工，解不等式组得：|<y<4,故函数的值域为［|,4］.

kl+y--1

故答案为：［一%2］；0,4】,

例5

解：由16［不曰，

43

所以+詈，*函数y=cosx在片,TT上单调递减,

又因为£+249塔

—出/.41TTT

所以2«+9+9千年函数y=cosx在3

所以fCOmin=-lJWmax=f(t+：)=COs\2(t+》+§=-sin(2t+|),

所以m(£)-M(t)=sin(2f+以-1,

又因为t€邑勺,所以为+)€修,用,

4336

所以sin(2t+；)w

所以m⑷-M(t)=sin(2£+g)-1W-1,

故答案为：—1,—.

练14

解：v2sinx-1>0,

•••si•nx、>1

2

•••2/CTT+-<x<2kn+—(/<6Z),

66

故选6.

练1・2

解：要使函数y=lgsinx+J.一cosx有意义,

sinx>0

{I-cosx>(T

,,2kn<x<n+2kn,kEZ

,

解得也+2/CTT<x<—+2kn,kEZ

33

解得2/CTT+£4XV2/C"+7T,(kGZ),

3

所以函数y=Vsinx+二二cosx的定义域为［2/CTT+2/CTT+n)(kGZ).

故答案为［2"+g,2kn+n)(k6Z).

练1・3

解：y=3-3sinx—2cos2x=2sin2x-3sinx+1=2(sinx-

因为一1<sinx<1,

所以当sinx=7时，ymin=-^

则函数y=3-3sinx-2cos%的最小值是一；.

8

故答案为：一工

O

例6

解：函数，（北）=sin（2x+尹），

由〃%）<If（切恒成立，可得/©）=±1=sin@+争=±1,

得@+如=三+k"，k£Z,解得@=一三+攵兀，k£Z,

326

又一兀<（p<71,则0=一涎0=等

由/（7T）>/（：）=sin（27r+（p）>sin（；+9）=sincp>coscp,

所以9=朋则/（%）=sin（2x+»

由2/CTT—<2x+—<2/CTT+—,kE,Z,解得k/r——W%Wk.Tc——>kWZ,

26236

则〃、）的单调递增区间是［旧r—9,攵兀一eZ）.

36

故选。.

例7

解：XG（-,7T）,得丝+2<3》+石<3n+二

\2J2444

又y=sbix的单调递减区间为［2/CTT+p2/CTT+y］,kEZ,

（-+->-+2/CTT1_

所以2n3n攵EZ,解得4k+14342k+kEZ.

ton-+-<—+2kn,24

42

乂7T—=,得3<2,

综上，

24

故选：D.

例8

解：当0V3〈三时，则Q=Cosco>cos^=匚，b=tanto<tan-=—,c=coseo—

124263

sinto=V_2cos（3+彳），

由于0V3〈S，则fv3+£<9所以

12443\2/

又Q-c=sin3>0,所以Q>c,又*>C,所以c>b,

23

所以Q>c>b.

故选4.

练2・1

解：以x)=2Jcos©-3x)=2Jcos(3x->

由题意y=cos(3x-3)单调递减，且cos(3x>0,

则2/CTT43x—三《巳+2k兀,kWZ,解得？■+《2+军^,kWZ,

4212343

所以/(X)的单调递减区间是wZ).

JL/OJ

故选：D.

练2・2

解：因为f(%)在区间隐1)上单调递减，所以合己宅=$所以0V3&16，

因为/(。)=sing=詈，又⑷号，所以0=9，则f(%)=sin(ax+§

又函数/(%)在区间(93)上单调递减，

168

/37T.7T7T,n

-------1—>—F2HTT,

所以Xn37TZ,解得4+32n<w<10+16n,几取0,即4<w<10,

愕+9吟+2所,

故3的最大值为10.

故答案为：10.

例9

解：因为函数/(%)=asinx十的图象关了直线工=:对称，

所以对任意的％ER,有/©+")=/(：-％)，

则/(0)=械)，

BRasinO+cosO=asin-+cos-,即1=Q+0,所以a=1.

22

所以f(x)=sinx+cosx,所以f(如)=sin—+cos—=———=0.

444ZZ

故答案为0.

例10

解：己知函数/(%)=sin(x+斗)-v~3cos(%+租)=2sin(x+(p-g),

则rg)=2且为最大值，得3+8-3=1+2271#€2,即得@=2k兀+工,kWZ,

即/(x)=2sin(x+0-乙)=2sm(x+-),则/(%4--)=2sln(x4--)=2cosx,

\3x442

则函数y=/('+》为偶函数，对称中心为(攵兀+5,0)，kEZ,

直线％=TT为其对称轴，故A3C均错误，。正确.

例11

解：/(x)=sin(2x+6)+cos(2%—早)+2cos2x+a

<311

——sin2%+-cos2%--cos2x+sin2x+1+cos2x+a

乙乙乙

=2sin(2%4--)4-a+1.

6

••,/(%)的最小值为1,Q+1—2=1,・•.Q=2,•••f(x)=2sin卜工+,)+3,

・•.f(x)的最小正周期为费=7i,故A正确；

v/(y)=2sin詈+匀+3=—2+3=1,而1为函数的最小值，

・••/(%)图象的一条对称轴为直线％=?,故3正确;

••・函数图象的对称中心的纵坐标为3,

・・.(,,0)不是函数图象的对称中心，故C错误；

7TH

2x+-G

告十屋卜6Z3

y=2sin£在卜苗］上单调递增,

.•./(%)在上单调递增，故O正确;

故选：ABD.

练3・1

解：因为函数/(%)=sin(2x+8)(|g|V]),

所以7=3=几，故函数/(口的最小正周期是zr；

因为照)=-/(由，则函数/(')的一个对称中心为(莘,0)，即关于点(詈,0)对称,

令2x?+R=kii,解得R=—产+kn,kGZ»乂因为%故伊=

J343

当W=-g时，/(x)=5in(2x-当之£成,由时,2T噌，争,

又困数y=sbtx在上单调递减，

JJ

故函数f(x)在苧引上具有单调性，符合题意.

练3・2

解：由f(x)图象的一个对称中心是(£,0),所以COS(2X£+9)=0,

66

则2x工+尹=kji+—,k€Z,即尹=kn+~tkE.Zt

又因为OVtpvg,所以p=g得函数/Xx)=cos(2x+£),

266

令2/CTT-TT42%+，42/CTT,keZf即k/r一号《x4/czr—卜kEZ,

故f(乃的单调递增区间为刖一录"一勺，kwZ,

而当/c=l时，单调递增区间为偌,翳］,又因为岁争w偌,詈］，

所以C正确，其余区间都不符合题意.

故选：C.

练3-3

解：，(%)=V^~3sm2x—2COS2X4-1=\/~~3sin2x—cos2x=2sin(2x--),

6

.•.7二§=「所以f(%)的最小正周期为TT,则A正确；

令2%—巳=攵兀+1攵EZ,则％=处+2，kEZ,

6223

所以f(x)的对称轴方程为％