吉林省长春市2026届高三质量监测（二）数学试题（含答案）

长春市2026届高三质量监测(二)本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={-2,0,1,3},集合B={x|x²<4},则A∩B=A.{-2,0,1}B.{0,1}C.{0}2.已知平面向量a=(-1,2),b=(x,-2),若a⊥b,则x的值为A.-4B.-1C.1D.43.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若S₅=35,S₁₀=120,则a₈=A.13B.154.双曲线(a>0)的两个焦点分别是F、F₂,焦距为8,M是双曲线上的A.1B.3C.75.(1+ax)⁶的展开式中x³的系数为160,则a=A.-26.某精密仪器厂生产一种标准长度为52mm的金属垫片.现随机抽取200个垫片测量其实际长度(单位：mm),按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图.若规定长度在区间(51,53)内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为C.0.57.已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则球O的表面积为A.6πB.8π8.已知实数m>n>1,若且m"=n",则m²+n²=A.9B.21二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知复数,则下列结论正确的有A.z的虚部是iB.z在复平面内对应的点在第二象限10.已知函数f(x)=Asin(wx+4)(A>0,w>0,0<φ<π)的图象满足以下特征：图象经过点(0,√3),并且在y轴右侧的第一个零点为,第一个最低点为则下列有关函数f(x)及其性质的描述正确的是B.为函数f(x)图象的一条对称轴C.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象11.景区在春节期间推出A,B两种游玩套餐，已知某游客第一次选择A,B两种游玩套餐的概率分别为和,若该游客第一次选择A套餐，则第二次选择A套餐的概率为若该游客第一次选择B套餐，则第二次选择A套餐的概率为,则下列说法正确的是A.该游客第一次选择B套餐，第二次也选择B套餐的概率为B.该游客第一次选择B套餐的概率比第二次选择A套餐的概率小C.若该游客第二次选择A套餐，则他第一次选择A套餐的概率为D.若该游客第二次选择B套餐，则他第一次选择A套餐的概率为(长春二模)数学试题第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=2*-2×,若f(2°)+f(-4)>0,则a的取值范围是14.已知椭圆C:1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F₂.P为椭圆C上一点，|PF₁|=3|PF₂|.圆I与线段PF的延长线和线段PF₂的延长线分别相切于点A和点B,与线段FF₂相切于点M,且F₁M=λFF₂,,则椭圆C离心率的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表(单位：人).性别身高合计男8女6合计(1)依据α=0.005的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联?(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率.附：(a+bxc+axc+0x₆+d,其中n=a+b+c+d.α16.(15分)(1)求证：数列{an-1}为等比数列；17.(15分)如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2,且(2)若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为3,求平面A₁CC与平面A₁CB₁所成角的余弦值.18.(17分)已知抛物线E:x²=2py(p>0)上的点Q到焦点F距离的最小值为(2)若点A,B在E上，且线段AB的中点在直线V=x上，点i,求△PAB面积的最大值.19.(17分)在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量y=f(x)(单位：千只)与时间x(单位：月),满足函数f(x)=e⁻cosx(x>0),其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征.定义：若函数g(x)在(a,+∞)上满足：则称g(x)为震荡衰减函数.是否为0(不必证明).(2)根据定义判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为震荡衰减函数.如果是，给出证明；如果不是，说明理由.(3)设h(x)=|f(x)|+|f'(x)|(x>0).求证：h(x)(长春二模)数学试题第4页(共4页)数学参考答案与评分细则12345678BACDDCBD9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。依据α=0.005的独立性检验，可以认为该学校高二年级学生的性别与身高有关联.(2)从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率16.【详细解答】(1)由题意即数列{a。-是公比为3的等比数列(2)由(1)可得a。-1=(4,-1)×3”¹,即a=3”⁻¹+1,采用分组求和方式，设P为数列{#·3⁻¹的前n项和，Q为数列(n的前#项和，则P,=1×3°+2×3+…n×33P,=1×3³+……+(n-1)×3”①-②可得：数学答案第1页1共4页17.【详细解答】(1)证明：取AB中点M,连结MC,M4(2)由三棱柱ABC-ABC的体积为3.可知三棱锥4-ABC的体积为1.以M为原点，以M4方向为x轴，以CM以M方向为z轴，建立如图所示坐标系A(1,0,0),4(0,0.√3),C(0,√3,0),B(-2,0AC=(-1,-√3,0),A4=(-1,0.√3),n=(√3,-1即平面ACC₁与平面4CB,所成角的余弦值为数学答案第3页/共4页18.【详细解答】的焦点,准线为(1)抛物线E:x²=2py的焦点,准线为与抛物线E:x³=y联立箔去9可得则y+y₂=k(x±x₂)+2b=k²+2h,即AB的中点在直线y=x上，由弦长公式可知|AB|=√1+k²√(x₁+x₂)²-4x,x₂=√1+k²√k²+4b=√1+k²√2k-k²,点P到直线AB的距离为即△PAB的面积(1)由函数f(x)=e*cosx(x>0),即在这些极值点处，波动量的增长率为0.(2)由(1》可知令e*<m,则x>-Inm,令n=max{-(3)f(x)=e⁻*cosx,f'(x)=-e⁻(cosx(x)=f(x)|+|f'(x)=e(cosx+|