河北衡水中学2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科试题（解析版）

2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三

数学学科

考试时间：120分钟；试卷满分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（共58分）

一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分)

Mxx23x0Nxyx1

1.已知集合，，则MN（）

A.0,3B.1,3C.0,3D.1,3

【答案】B

【解析】

【详解】由x23x0，可得xx30，解得0x3，所以M0,3，

由x10，得x1，所以N1,，

所以MN1,3.

2.已知向量a(1,4)，b(2,3)，则向量a在向量b上的投影向量为（）

1015101520302030

A.,B.,C.,D.,

1313131313131313

【答案】C

【解析】

【详解】因为a(1,4)，b(2,3)，ab124310，b4913，

babab102030

则向量在向量上的投影向量为.

ab2b2,3,

131313

bbb

3.已知zz2，z为虚数，则zz的值可能为（）

A.2B.1C.0D.1

【答案】A

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【解析】

【分析】设zabi且b0，根据复数的运算由zz2得a1，进而得zz1b21，即可求

解.

2

【详解】设zabi且b0，由zz2得a2b2a2b2，解得a1，

所以z1bi,z1bi，所以zz1bi1bi1b21，

故A正确，B错误，C错误，D错误.

故选：A.

4.一个圆台的母线长为13，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（）

A.26πB.32πC.78πD.86π

【答案】A

【解析】

【分析】先根据圆台的结构特征求出圆台的高，然后利用圆台的体积公式求出其体积即可.

【详解】取上下底面的圆心，则OO即为圆台的高h，如图所示，

在ACB中，AB13,BC523，

根据勾股定理可得ACOOh13322.

11

所以圆台的体积为VπhR2Rrr2π22541026π.

33

故选：A.

51

5.已知0π，则“cosα=”是“cos2”的（）

39

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

121551

【详解】由cos2，得2cos1，解得cos，则“cosα=”是“cos2”

99339

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的充分不必要条件.

y2x2

6.设双曲线C:（1a0,b0）的焦距为2c，若a2、b2、c2成等差数列，则该双曲线的渐近线方

a2b2

程为（）

2

A.y2xB.yx

2

3

C.yxD.yx

3

【答案】B

【解析】

【分析】利用双曲线中a,b,c的关系和等差数列可求答案.

2222

【详解】因为a2、b2、c2成等差数列，所以2b2a2c2，又c2a2b2，所以2baab，

a2

即b22a2，所以.

b2

a2

该双曲线的渐近线方程为yxx.

b2

故选：B

x

7.已知yf(x)满足f(x1)f(1x),f(x2)f(x)2，且当x[0,1]时，fxe，则

2023

f的值为（）

2

1111

A.e21011B.e21010C.e21011D.e21010

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值.

【详解】由f(x1)f(1x)，可知函数图像关于x1对称，

又f(x2)f(x)2，由累加法可得：

202333

ff5052f5052，

222

311

又ffe2，

22

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20231

所以fe21010，

2

故选：B

22

8.已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，圆M：x1y16与C交于A，B两点，若

直线AM与直线BM的斜率之积为3，则AF（）

7

A.3B.C.4D.5

2

【答案】C

【解析】

【分析】先由已知条件解出A，B两点坐标，再由焦半径公式求得AF.

2

【详解】由圆M：x1y216可知，圆心M(1,0)，半径为4.

而圆M和抛物线C都关于x轴对称，则可设A(x,y)，B(x,y)(x0).

yyy2

22

由kAMkBM23，得y3x1.

x1x1x1

222

因为点A在圆M上，又有x1y216，即x13x116，

2

而x0，则解得x1，所以y231112.而点A又在抛物线C上，

则有122p1，所以p=6，则F(3,0).

p

所以AFx314.

2A

二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)

9.下列说法正确的是（）

A.样本相关系数r越大，则线性相关性越强

B.1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15

2

C.随机变量X的方差D(X)20，期望E(X)6，则EX16

D.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学

生的数学成绩的方差为10.8

【答案】BD

【解析】

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【详解】A：样本相关系数r的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误；

B：该组数据共8个数据，又875%6，

1218

因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即15，因此B正确；

2

222

C：因为DXEXEX，由方差DX20，期望E(X)6，可得EX56，即C错误.

32

D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为908588，

55

322254

因此方差为490886858810.8，即D正确.

555

22

已知xy的左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，

10.C:1ab0F1,F26M6,1C

a2b2

点N在椭圆C上，则下列说法中正确的有（）

6

A.椭圆C的离心率的取值范围是,1

3

椭圆上存在点Q使得

B.CQF1QF20

2236

C.已知E0,2，椭圆C的离心率为，则NE的最大值为

32

NF1NF2

D.的最小值为1

NF1NF2

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，根据条件得b23，再利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为以

原点为圆心，c为半径的圆与椭圆C有交点，即可求解；对于C，根据条件求出椭圆方程，再利用椭圆的

参数方程，即可求解；对于D，根据椭圆的定义得NF1NF26，再利用基本不等式求解即可.

x2y2

【详解】对于A，由题意可知2a6，所以a3，所以椭圆方程为1，

9b2

61

因为在椭圆外，所以，解得2，

M6,1C21b3

9b

c2b2326

因为e211，所以e1，故A正确；

a2a2933

对于B，由选项A知a3，b23，所以c2a2b29b26，所以bca，

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则以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆C有四个交点，

π

不妨设其中一个交点为Q，由圆的性质可知，FQF，所以椭圆C上存在点Q使得QFQF0，

12212

故B正确；

2

cc22x2

对于C，由离心率e,c22，所以b1，所以椭圆方程为y1，

a339

设点N(3cos,sin)，则

NE9cos2(sin2)28cos24sin58sin24sin13，

1363151

当sin时，NE有最大值为，此时N(,)，故C正确；

4244

NFNF11111

对于，，12

DNF1NF22a6NF1NF2

NF1NF2NF1NF26NF1NF2

1111NFNF1NFNF2

NFNF2212221，

12

6NF1NF26NF1NF26NF1NF23

NF1NF22

当且仅当NF1NF23，即点N位于上下顶点时，有最小值，故D错误.

NF1NF23

11.定义：若函数f(x)在区间a,b的值域为a,b，则称区间a,b是函数f(x)的“完美区间”.另外，

2

定义区间a,b的“复区间长度”为2(ba).已知函数f(x)=x1，则下列说法中正确的是:()

A.0,1是f(x)的一个“完美区间”

1515

B.,是f(x)的一个“完美区间”

22

C.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35

D.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为325

【答案】AC

【解析】

【分析】按照0b1和b1两种情况讨论求解，当b1时，按照a0，0a1，a1分类讨论求

解，利用“完美区间”的定义，结合函数的单调性求解.

【详解】f(x)=x210，f(x)的值域为0,，

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设f(x)的“完美区间”为a,b，则ba0，

当0b1时，xa,b，f(x)=x21在a,b是单调递减函数，

f(a)为f(x)的最大值，f(b)为f(x)的最小值，

2

f(a)=a1ba0

，，此时，2(ba)2(10)2，

2b1

f(b)=b1a

当b1时，①若a0，f(b)=b21=b21，

xa,b0,b，b1，

f(x)=x21在0,1是单调递减函数，在1,b是单调递增函数，

f(1)为f(x)的最小值，f(x)的最大值为f(0)和f(b)中最大的一个，

当f(0)f(b)时，f(0)=0211，f(b)1，则f(b)为f(x)的最大值，

2

f(1)11=0=a15

，，满足b1，

2b

f(b)=b1b12

15

此时，2(ba)2015；

2

当f(0)f(b)时，f(0)=0211，f(b)1，则f(0)为f(x)的最大值，

f(1)121=0=a

，b1，不满足b1，舍去；

2

f(0)=01b

②若0a1时，xa,b，b1，

f(x)=x21在a,1是单调递减函数，在1,b是单调递增函数，

f(1)为f(x)的最小值，而f(1)121=0=a，这与0a1矛盾，不符合题意；

③若a1时，xa,b，b1，

f(x)=x21在a,b是单调递增函数，

f(a)为f(x)的最小值，f(b)为f(x)的最大值，

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15

22a

f(a)a1=a1a2

，，ab，不符合题意；

f(b)=b21b21b15

b

2

综上可知，f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为21535，

故选项A和C正确.

故选：AC.

第II卷（共92分）

三、填空题(每题5分，共15分)

已知a，则

12.42log2a______.

【答案】2

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，求出a的值，再计算log2a的值.

11

【详解】因为a，所以==，所以==-

42alog42log2alog22.

44

故答案为：2

13.甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同

的排法有______种．

【答案】8

【解析】

【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即可.

21

【详解】先安排甲、乙，有A2种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有C2种

方法；

1

又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有C2种方法；

所以不同的排法共有211（种）排法

A2C2C28.

故答案为：8

22

14.已知正实数x，y满足2x4x1y42y，则x2ey的最小值为______．

2

【答案】e

4

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【解析】

2

2222x,y

【分析】化简题目条件得2x2x11，构建函数fttt1，因为是正

yy

1

实数，故此函数单调递增，得到y，代入x2ey，求导分析其最值.

x

【详解】由2x4x21y242y,x,y0，

2

2

yyy42y42

整理得2，

2x4x12

y242yy

2

222

化简得：2x2x11，

yy

设函数fttt21，可知函数ft在0,内单调递增，

1

2212y

由f2xf可得2x，即y，代入xe得2x，

yyxxe

11

令Fxx2exx0，Fxex2x1,

1

令Fx0，解得x，

2

11

当0x时，Fx0；当x时，Fx0；

22

11

可知Fx在0,内单调递减，在,内单调递增，

22

22

1112e

故当x时，F(x)取得最小值，此时y2，最小值为Fe.

2224

2

故答案为：e

4

四、解答题(共5题，满分77分)

已知数列满足*．

15.ana12,annan1annN

（1）求数列an的通项公式；

1

（2）设bn2，求数列bn的前n项和为Sn．

an1

【答案】（1）an2n

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n

（2）S

n2n1

【解析】

aaa

【分析】（1）根据题意整理可得n1n，进而可得n2，即可得结果；

n1nn

111

（2）整理可得bn，利用裂项相消法运算求解.

22n12n1

【小问1详解】

因为annan1an，且a12，可得n1annan1，

aaaaa

即n1n对任意nN*恒成立，可得nn112，

n1nnn11

所以an2n.

【小问2详解】

由（1）可知：an2n，

11111

则bn2，

2n12n12n122n12n1

1111111111n

可得，

Sn11

2335572n12n122n12n1

n

所以S.

n2n1

16.AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发

展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表.

购买无AI技术的手

购买AI手机总计

机

男性顾客4565110

女性顾客563490

总计10199200

（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由：

（2）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分

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11

别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连

63

续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望.

2

nadbc

参考公式及数据：①2，其中nabcd．

abcdacbd

2222

②P6.6350.01,P5.0240.025,P3.8410.05,P2.7060.1．

【答案】（1）有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关.

400

（2）EX

3

【解析】

【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可.

(2)先列出随机变量X的分布列，再由分布列求出期望值.

【小问1详解】

假设H0:购买AI手机与顾客性别无关.

2

20045346556

根据公式28.995，

1109010199

因为8.995>6.635，所以假设不成立，

即我们有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01.

【小问2详解】

X可能取的值为0，100，200，300，400，

11111

每次抽奖不中的奖的概率为1，中100元概率为，中200元概率为，

63236

2

11

PX0，

24

111

PX1002，

323

2

111115

PX2002，

3629618

111

PX3002，

369

2

11

PX400，

636

所以X的分布列为

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X0100200300400

11511

P

4318936

11511400

所以期望为EX0100200300400.

43189363

sin2AcosBcosC

17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

1cos2AsinCsinB

（1）求cosA的值；

（2）若D是边BC上一点，ADDC2BD，c1，求ABC的周长.

1

【答案】（1）cosA

2

（2）33

【解析】

【分析】（1）结合分式有意义得到BC，根据二倍角公式、辅助角公式得到BC2A，进而求出角A

及cosA.

（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.

【小问1详解】

由题意知，sinCsinB0，即bc，即BC.

sin2AcosBcosC2sinAcosAsinAcosBcosC

因为，所以，

1cos2AsinCsinB2cos2AcosAsinCsinB

即sinAsinCsinAsinBcosAcosBcosAcosC，

所以cosABcosAC，

又πABπ，πACπ，

所以ABAC或ABCA，所以BC（舍）或BC2A，

π1

因为ABCπ，所以A，则cosA.

32

【小问2详解】

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方法一：设BDx，则ADDC2x，BC3x，

AD2BD2AB25x21

在△ABD中，由余弦定理可得cosADB，

2ADBD4x2

AD2DC2AC28x2b2

在ACD中，由余弦定理可得cosADC，

2ADDC8x2

由cosADBcosADC，可得18x2b22，

在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC，

即9x21b2b，

3

联立解得x，b2，

3

所以ABC的周长为ABACBC33.

方法二：设BDx，则ADDC2x，BC3x，即CD2DB，

21

故ADAC2ABAD，故ADABAC，

33

2

2

2122

所以ADABAC，可得36x4b2b，

33

在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC，

即9x21b2b，

3

联立解得x，b2，所以ABC的周长为ABACBC33.

3

18.对于函数fx，若fx0x0，则称实数x0为函数fx的不动点，设函数

骣x

xx1，1

fxlog24a22g(x)=琪.

桫2

（1）若a1，求函数fx的不动点；

（2）若函数fx在区间1,1上存在两个不动点，求实数a的取值范围；

（3）若对任意的x1,x21,0，不等式fx1gx22恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）0和1

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1

（2）2,1

2

5

（3）,1

2

【解析】

【分析】（1）根据题意，由fxx，化简得到4x32x20，即可求解；

2

（2）根据题意，将方程fxx，化简得到2a12x，利用换元法和对勾函数的性质，即可求解；

2x

（）根据题意，将不等式化为，利用指数函数的单调性，得到

32gxmaxfx2gxmin

61

0fx3，分类参数转化为2x2a2x在x1,0上恒成立，结合函数的单调性，即可

2x2x

求解.

【小问1详解】

xx1

解：当a1时，方程fxx，即为log2422x，

即4x2x122x，可得4x32x2(2x1)(2x2)0，

解得2x1或2x2，可得x0或x1，

所以函数fx的不动点为0和1.

【小问2详解】

xx1

解：由方程fxx，可得log24a22x，

4x22

即4xa2x122x，可得(2a1)2x4x2，即为2a12x，

2x2x

1

令t2x，当x1,1时，可得t,2，

2

因为函数fx在区间1,1上存在两个不动点，

21

可得关于t的方程2a1t在,2上有两个不等的实数根，

t2

21

令htt，可得ht在,2单调递减，在2,2单调递增，

t2

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199

且h,h222,h23，

222

1

则满足222a13，解得2a1，

2

1

所以实数a的取值范围为2,1.

2

【小问3详解】

解：不等式fx1gx22，可化为2gx2fx12gx2，

x

骣1

由函数g(x)=琪在1,0上单调递减函数，

桫2

可得=-===，

g(x)maxg(1)2,g(x)ming(0)1

因为对任意x1,x21,0，不等式fx1gx22恒成立，

即对任意，不等式，即，

x1,02gxmaxfx2gxmin0fx3

xx1xx

可得0log24a223，即为142a228，

61

所以2x2a2x在x1,0上恒成立，

2x2x

1

令u2x，当x1,0时，可得u,1，

2

161

由题意得，对任意u,1，不等式u2au恒成立，

2uu

61

函数在上为单调递增函数，所以，

m(u)u,1m(u)maxm(1)5

u2

11

函数在上为单调递减函数，所以，

n(u)u,1n(u)minn(1)2

u2

5

所以52a2，解得a1，

2

5

综上可得，实数a的取值范围为,1.

2

19.如图（1），已知抛物线E:x22y的焦点为F，准线为l，过点F的动直线m与E交于A，B两点（其

中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线l相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将△ACB沿CD

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折成直二面角ACDB，如图（2）．

（1）证明：cosACBcosACDcosBCD；

（2）当ACB最小时，

①求A，B两点间的最小距离；

②当A，B两点间的距离最小时，在三棱锥ABCD内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体

积的最大值．

【答案】（1）证明见详解

642

（2）①2；②π

27

【解析】

【分析】（1）做辅助线，根据垂直关系可得AOBC，BCAE，结合直角三角形三角关系分析证明；

22

（2）①根据三角知识结合基本不等式可得ABABBCAC，利用弦长公式求得AB，分k0

和k0两种情况，结合基本不等式分析求解；②设相应量，可得h122r，可得圆柱的体积

2322

Vπr22r，构建函数frr222r3,0r，利用导数求最值.

2

【小问1详解】

过A作AOCD，垂足为O，过O作OEBC，垂足为E，

因为平面ACD平面ABC，且平面ACD平面ABCCD，AO平面ACD，

可得AO平面ABC，

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由BC平面ABC，可得AOBC，

且OEAOO，OE,AO平面AOE，可得BC平面AOE，

由AE平面AOE，可得BCAE，

CEOCCE

则cosACB,cosACD,cosBCD，

ACACOC

所以

cosACBcosACDcosBCD.

【小问2详解】

因为以AB为直径的圆与准线l相切于点C，可知ACBC，

π

则ACDACDBCD，

2

π

由（1）可得：cosACBcosACDcosBCDcosBCDcosBCD

2

11

sinBCDcosBCDsin2BCD，

22

π

当且仅当sin2BCD1，即BCD时，等号成立，

4

π

所以当BCD时，ACB最小，

4

①因为AO平面ABC，BO,CD平面ABC，则AOBO，AOCD，

即AOCD，