2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-素能培优（一） 基本不等式的综合应用

eq\a\vs4\al()基本不等式是高考的高频考点，通常与基本初等函数、解三角形、立体几何、解析几何等知识综合考查，出现在选填题或解答题的解题过程中.2022年新高考Ⅰ卷出现在第18题，考查了用正弦定理边角互化与基本不等式的综合，难度中等；2021年新高考Ⅰ卷出现在第5题，考查了椭圆的定义与基本不等式的综合，较容易．考向一基本不等式与向量、解三角形、数列的综合(1)在△ABC中，E为AC上一点，eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，P为BE上任一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)的最小值是()A．9 B．10C．11 D．12答案：D解析：由题意可知eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋3neq\o(AE,\s\up6(→))，因为P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，所以eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)＋\f(1,n)))(m＋3n)＝6＋eq\f(9n,m)＋eq\f(m,n)≥6＋2eq\r(\f(9n,m)·\f(m,n))＝12，当且仅当m＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,6)时，等号成立．所以eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)的最小值是12.(2)(2024·广东肇庆一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的最大值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)答案：C解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)≥eq\f(a2＋b2－c2,a2＋b2)＝eq\f(2c2－c2,2c2)＝eq\f(1,2)，∵C为三角形的内角，∴角C的最大值为eq\f(π,3).故选C.基本不等式与向量、解三角形、数列综合考查时，通常涉及以下知识点：向量共线、垂直的坐标表示；三点共线的充要条件：P，Q，M三点共线⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OQ,\s\up6(→))＋neq\o(OM,\s\up6(→))(m＋n＝1)；正、余弦定理；数列的通项公式与前n项和等．1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Tn，若不等式nlog2(Tn＋4)－λ(n＋1)＋2≥3n对一切正整数n恒成立，则实数λ的取值范围为()A．[3，4] B．(－∞，2]C．[2，3] D．(－∞，1]答案：D解析：因为an＝2n＋1，所以Tn＝eq\f(4（2n－1）,2－1)＝2n＋2－4.不等式nlog2(Tn＋4)－λ(n＋1)＋2≥3n化为n2－n＋2≥λ(n＋1)，所以λ≤eq\f(n2－n＋2,n＋1)对一切正整数n恒成立，因为eq\f(n2－n＋2,n＋1)＝eq\f(（n＋1）2－3（n＋1）＋4,n＋1)＝(n＋1)＋eq\f(4,n＋1)－3≥2eq\r(（n＋1）·\f(4,n＋1))－3＝1，当且仅当n＋1＝eq\f(4,n＋1)，即n＝1时，等号成立，所以λ≤1.故选D.2．在△ABC中，若C＝eq\f(π,2)，则sinAsinB的最大值是________．答案：eq\f(1,2)解析：在△ABC中，C＝eq\f(π,2)，则sinA>0，sinB>0，由基本不等式得sinAsinB≤eq\f(sin2A＋sin2B,2)，∵A＋B＝eq\f(π,2)，∴sinB＝cosA，∴sinAsinB≤eq\f(sin2A＋sin2B,2)＝eq\f(sin2A＋cos2A,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当sinA＝sinB＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立，则sinAsinB的最大值是eq\f(1,2).考向二基本不等式与立体几何的综合在三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB＝3，BD＝1，则三棱锥A－BCD体积的最大值为()A．2 B.eq\f(4,3) C．1 D.eq\f(2,3)答案：D解析：如图，因为AC⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，AC⊥CD.又BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以BD⊥AD.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，所以AC2＋CD2＝AD2＝8，所以S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,4)·2AC·CD≤eq\f(1,4)(AC2＋CD2)＝2，当且仅当AC＝CD＝2时，等号成立．所以VA－BCD＝eq\f(1,3)S△ACD·BD≤eq\f(2,3).故选D.基本不等式与立体几何综合考查时，通常围绕空间几何体表面积和体积的计算公式出题．已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是()A．(0，π] B．(0，4π]C．[π，＋∞) D．[4π，＋∞)答案：C解析：不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则a＋b＝8，轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4，体积为4×22π＝16π＝abh，则h＝eq\f(16π,ab)，又因为0<ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝16，所以eq\f(1,ab)≥eq\f(1,16)，故h≥16π×eq\f(1,16)＝π.故选C.考向三基本不等式与解析几何的综合若直线l：y＝kx＋m与椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1有两个不同的交点A，B，且m2＝4(k2＋1)，则弦AB长度的最大值为________．答案：4解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)·(4m2－16)＝16(16k2＋4－m2)，又m2＝4(k2＋1)，所以Δ＝16(16k2＋4－4k2－4)＝192k2>0，可知k≠0，于是|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(192k2),1＋4k2)＝eq\f(8\r(3)|k|\r(1＋k2),1＋4k2)≤eq\f(8×\f(3k2＋1＋k2,2),1＋4k2)＝4，当且仅当k＝±eq\f(\r(2),2)时，等号成立，所以弦AB长度的最大值为4.基本不等式与解析几何综合考查时，通常涉及直线平行、垂直的判断方法；直线与圆锥曲线相切；椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合中有关弦长、夹角或图形面积最值的问题．1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13 B．12C．9 D．6答案：C解析：由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立．故选C.2．(2025·河北衡水模拟)若直线l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________．答案：eq\f(3,2)＋eq\r(2)解析：直线l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，即圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)