2026年二中数学竞赛试题及答案

2026年二中数学竞赛试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f(1)=-1，则（）（2分）A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a>0,b<0D.a<0,b>0【答案】C【解析】f(x)在x=1处取得极小值，则f'(1)=0且f''(1)>0，即2a+b=0且4a>0，解得a>0,b<0。2.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若A∪B={x|x>0}，则a的值为（）（2分）A.1B.-1C.1或-1D.不存在【答案】B【解析】A={x|x>1或x<2}，B={x|x>0且x≠1/a}，若A∪B={x|x>0}，则x=1/a≤1或x=1/a≥2，解得a≤1或a≥1/2，结合a≠0，得a=-1。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinAcosB-sinBcosA=sinC/2，则△ABC的形状为（）（2分）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)，由sin(A-B)=sinC/2，得A-B=C/2，又A+B+C=π，解得A=B，故△ABC为等腰三角形，结合sin(A-B)=sinC/2，得sinC=cosC，故C=π/4，即△ABC为等腰直角三角形。4.若复数z满足|z-2i|=1，则|z|^2的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】设z=x+yi，由|z-2i|=1得x^2+(y-2)^2=1，|z|^2=x^2+y^2的最小值即为点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方的最小值，最小值为1^2+1^2=2。5.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange(1,6):s=s+i2（）（2分）A.55B.56C.65D.70【答案】C【解析】程序段计算1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55，最后s=s+55=0+55=55。6.已知实数x满足x^2+2x-3≥0，则函数f(x)=x^3-x的取值范围是（）（2分）A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.[-2,2]C.RD.(-∞,-2]∪[2,+∞)【答案】D【解析】由x^2+2x-3≥0得x≤-3或x≥1，f(x)=x(x^2-1)在(-∞,-3]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，f(-3)=-24，f(1)=0，故f(x)的取值范围是(-∞,-24]∪[0,+∞)，即(-∞,-2]∪[2,+∞)。7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_4=12，则a_3的值为（）（2分）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】由等差数列性质得a_1+a_5=2a_3=10，a_2+a_4=2a_3=12，解得a_3=8。8.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）（2分）A.(0,1)B.(1,3)C.(1,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)【答案】C【解析】设t=x^2-2x+3，则t=(x-1)^2+2≥2，f(x)=log_a(t)在(1,+∞)上单调递增，则a>1。9.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值为（）（2分）A.2√2B.2√3C.4D.3【答案】B【解析】设点P(x,0)，则|PA|+|PB|=√((x-1)^2+4)+√((x-3)^2)，当x=2时取得最小值，最小值为√(1^2+4)+√(1^2)=√5+√1=2√3。10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为（）（2分）A.3,-1B.3,0C.2,-1D.2,0【答案】A【解析】f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√10/3，f(-1)=-1，f(1)=0，f(3)=3，故最大值为3，最小值为-1。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的真子集B.若a>b，则√a>√bC.若p∧q为假，则p为假或q为假D.若f(x)为奇函数，则f(0)=0【答案】C、D【解析】空集是任何非空集合的真子集，故A错误；若a>b且a、b均小于0，则√a>√b不成立，故B错误；若p∧q为假，则p为假或q为假或p、q均为假，故C正确；若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，令x=0得f(0)=-f(0)，故f(0)=0，故D正确。2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,1)，且周期为π，则（）（4分）A.ω=2B.φ=kπ+π/2C.φ=kπ-π/4D.φ=kπ+π/4【答案】A、B【解析】周期为π，则ω=2，f(π/4)=sin(2π/4+φ)=1，即sin(π/2+φ)=1，故φ=kπ+π/2。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则（）（4分）A.sinA:sinB:sinC=3:4:5B.△ABC为直角三角形C.△ABC的周长为12D.△ABC的面积为6【答案】A、B、D【解析】由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a:b:c=3:4:5，故A正确；由勾股定理得a^2+b^2=c^2，故△ABC为直角三角形，故B正确；周长为3+4+5=12，故C正确；面积为1/2×3×4=6，故D正确。4.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则（）（4分）A.{a_n}是等比数列B.{a_n}是等差数列C.a_n=2^n-1D.a_n=n·2^{n-1}【答案】B、C【解析】a_{n+1}=2a_n+1，即a_{n+1}+1=2(a_n+1)，故{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1，故C正确；a_n=2^n-1，故a_{n+1}-a_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故{a_n}是首项为1，公差为2^{n-1}的等差数列，故B正确。5.已知函数f(x)=x|x|，则（）（4分）A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)在(-∞,0)上单调递减D.f(x)在(0,+∞)上单调递增【答案】A、D【解析】f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x)，故f(x)是奇函数，故A正确；f(x)=x^2(x>0)，f(x)=-x^2(x<0)，故f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故C、D正确。三、填空题（每题4分，共20分）1.若方程x^2+px+q=0的两根的倒数之和为2，则p+q=______。（4分）【答案】-2【解析】设两根为x_1、x_2，则x_1+x_2=-p，x_1x_2=q，由1/x_1+1/x_2=2得(x_1+x_2)/(x_1x_2)=2，即-p/q=2，故p=-2q，代入x_1+x_2=-p得x_1+x_2=2q=-p，故p+q=-2q+q=-q=2，故p+q=-2。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则cosA=______。（4分）【答案】1/2【解析】由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bccosA，由a^2=b^2+c^2-bc得-2bccosA=-bc，故cosA=1/2。3.若复数z=1+i，则z^4的实部为______。（4分）【答案】-4【解析】z^4=(1+i)^4=16，实部为-4。4.执行以下程序段后，变量s的值为______。（4分）s=0foriinrange(1,6):forjinrange(1,i+1):s=s+1【答案】15【解析】s=1+2+3+4+5=15。5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取得极值，则a=______，b=______。（4分）【答案】3,0【解析】f'(x)=3x^2-2ax+b，由f'(1)=0得3-2a+b=0，由f'(-1)=0得3+2a+b=0，解得a=3，b=0。四、判断题（每题2分，共10分）1.若a>b，则a^2>b^2。（）（2分）【答案】（×）【解析】若a>b且a、b均小于0，则a^2<b^2。2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上连续。（）（2分）【答案】（×）【解析】例如f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增，但在x=0处不连续。3.若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则△ABC为直角三角形。（）（2分）【答案】（√）【解析】这是勾股定理的逆定理。4.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=a_n^2，则{a_n}是等比数列。（）（2分）【答案】（×）【解析】当n=1时，a_1=S_1=a_1^2，得a_1=0或1，当a_1=0时，{a_n}不是等比数列。5.若复数z满足|z|=1，则z^2=1。（）（2分）【答案】（×）【解析】例如z=i，则z^2=-1≠1。五、简答题（每题4分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间。（4分）【答案】f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√10/3，由f'(x)的符号变化得f(x)在(-∞,1-√10/3)上单调递增，在(1-√10/3,1+√10/3)上单调递减，在(1+√10/3,+∞)上单调递增。2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n+2，求a_n的通项公式。（4分）【答案】a_{n+1}+1=3(a_n+1)，故{a_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，即a_n+1=2·3^n，故a_n=2·3^n-1。3.已知函数f(x)=x^2-2x+3，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。（4分）【答案】f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1，f(-1)=6，f(1)=2，f(3)=6，故最大值为6，最小值为2。4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，若f(x)在x=π/4处取得最大值，求φ的值。（4分）【答案】f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，故φ=kπ+π/2。5.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|x^2-2x+k=0}，若A∩B={x|x>3}，求k的取值范围。（4分）【答案】A={x|x>2或x<1}，B={x|x=1或x=k}，若A∩B={x|x>3}，则k>3。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的极值点，并判断极值的性质。（10分）【答案】f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√10/3，由f'(x)的符号变化得x=1-√10/3为极大值点，x=1+√10/3为极小值点。2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_n的通项公式，并证明之。（10分）【答案】a_{n+1}+1=2(a_n+1)，故{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1，证明略。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的图像与x轴的交点坐标，并画