提公因式法第2课时课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章因式分解第2课时数学北师大版八年级下册

熟练运用提公因式法分解较复杂的多项式.经历探索公因式是多项式的因式分解方法，并在具体问题中确定多项式各项的公因式.经历从公因式是单项式到公因式是多项式的提公因式探索过程，体会数学知识之间的联系.培养学生独立思考的习惯，同时培养大家合作交流和勇于探索的意识.1234什么叫提公因式法？如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.提公因式法因式分解的一般步骤是什么？找公因式→提公因式→确定另一个公因式→写成积的形式.

把下列各式因式分解：(1)ax+2bx；(2)yx+y2x2.解：(1)ax+2bx=x·a+x·2b=x(a+2b)；(2)yx+y2x2=yx·1+yx·yx=yx(1+yx).想一想，其中一个因式由单项式变成了多项式，怎么分解呢？(1)ax+2bx；(2)yx+y2x2.a(x–3)+2b(x–3)；y(x+1)+y2(x+1)2.探究一

把下列各式因式分解：(1)a(x–3)+2b(x–3)；(2)y(x+1)+y2(x+1)2.把“x–3”“x+1”都看作一个整体进行因式分解.解：(1)a(x–3)+2b(x–3)=(x–3)·a+(x–3)·2b=(x–3)(a+2b)；(2)y(x+1)+y2(x+1)2=y(x+1)·1+y(x+1)·y(x+1)=y(x+1)[1+y(x+1)]=y(x+1)(yx+y+1).活动一：公因式是多项式的提公因式法

把下列各式因式分解：(1)a(x–y)+b(y–x)；(2)6(m–n)3–12(n–m)2.根据提公因式法分解因式的一般步骤逐步计算；提公因式的时候，注意公因式是多项式的情况要整体提出；提公因式的时候，还要注意加括号后各项符号的变化.“x–y”与“y–x”互为相反数“m–n”与“n–m”互为相反数探究二活动一：公因式是多项式的提公因式法

把下列各式因式分解：(1)a(x–y)+b(y–x)；(2)6(m–n)3–12(n–m)2.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式.解：(1)a(x–y)+b(y–x)=a(x–y)–b(x–y)=(x–y)(a–b).(2)6(m–n)3–12(n–m)2=6(m–n)3–12[–(m–n)]2=6(m–n)3–12(m–n)2=6(m–n)2(m–n–2).探究二活动一：公因式是多项式的提公因式法这些步骤中，要特别注意：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方.

公因式是多项式的提公因式法的步骤：①确定公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式；②提公因式；③确定另一个因式；④写成乘积的形式.活动一：公因式是多项式的提公因式法

利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流.1.公因式必须是多项式的每一项都含有的因式，公因式的系数取最大公约数，相同字母取最低次幂；2.多项式既可以是单项式也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式，注意符号变形；3.首项为负，通常先提负号；4.公因式要提干净，分解到不能再分解为止；5.最后检验是否正确时，可以按照整式乘法把因式乘回去检验.思考·交流活动一：公因式是多项式的提公因式法

如图所示，有三张不同型号的长方形卡片.(1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗?能，选择①②拼成长方形，如图所示.尝试·思考na①bn②ma+b③na+b①②活动二：提公因式法因式分解的应用

(2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗?能，选择①②③拼成的长方形如图所示.尝试·思考na①bn②ma+b③m+na+b①②③活动二：提公因式法因式分解的应用

(3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？同一个图形，由两种不同的面积表示形式建立等量关系，从而得到多项式的因式分解结果.na+b①②m+na+b①②③(1)中由拼图可得an+bn=n(a+b).(2)中由拼图可得an+bn+(a+b)m=(m+n)(a+b).活动二：提公因式法因式分解的应用尝试·思考

把下列各式因式分解：(1)m(m–5)+2(m–5)；

(2)(x–y)2+y(y–x)；

(3)(a+b)(a–b)–a–b.(1)把“m–5”看作一个整体进行因式分解，(2)(3)需要先变形，再把“x-y”“a+b”看作一个整体.

(1)m(m–5)+2(m–5)=(m–5)(m+2).

(2)(x–y)2+y(y–x)=(x–y)2–y(x–y)=(x–y)(x–y–y)=(x–y)(x–2y).(3)(a+b)(a–b)–a–b=(a+b)(a–b)–(a+b)=(a+b)(a–b–1).

也可写成：(x–y)2+y(y–x)=(y–x)2+y(y–x)=(y–x)(y–x+y)=(y–x)(2y–x)1.把下列各式因式分解：(1)x(a+b)+y(a+b)；(2)3a(x–y)–(x–y)；(3)6(p+q)2–12(q+p)；

(4)a(m–2)+b(2–m)；(5)2(y–x)2+3(x–y)；(6)mn(m–n)–m(n–m)2.解：(1)x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)；(2)3a(x–y)–(x–y)=(x–y)(3a–1)；(3)6(p+q)2–12(q+p)=6(p+q)2–12(p+q)=6(p+q)(p+q–2)；(4)a(m–2)+b(2–m)=a(m–2)–b(m–2)=(m–2)(a–b)；(5)2(y–x)2+3(x–y)=2(x–y)2+3(x–y)=(x–y)(2x–2y+3)；(6)mn(m–n)–