2025-2026学年广东广州二中九年级下学期3月阶段性检测数学试题含答案

初中2025-2026学年九年级（下）3月阶段性检测数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.方程经过配方后，其结果正确的是（）A. B. C. D.3.山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到如下统计图：由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活概率约为（）A. B. C. D.4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm5.如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（）A. B. C. D.6.如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（）A. B. C. D.7.若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.8.如图1，浩明利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为，，，脸盆的最低点C到的距离为，则该脸盆的半径为（）cm．A.20 B.25 C.30 D.359.如图，二次函数的图象经过点，，．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（）①抛物线开口向上；②当时，取最大值；③当时，关于一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点，，当时，的取值范围是．A.③④ B.②③ C.②④ D.①②③④10.如图，点为坐标原点，在反比例函数的图象上有一点轴，轴，垂足分别为，则下列说法正确的是（）A.矩形的面积为4 B.该反比例函数图象的另一个分支在第二象限C.当时， D.随的增大而增大二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11.如图，连接正五边形所有对角线，它们两两相交构成一个五角星形状．若正五边形的边长，则对角线的长度为___________．12.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2021年人均年收入为20000元，到2023年预计人均年收入达到39200元．若设2022年和2023年该地区居民人均收入的年均增长率为x，则可列方程为____________________．13.如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是______．14.已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________．15.如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号）16.如图，是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连结．给出下面五个结论：①当点不与点重合时，；②；③；④当点落在线段上时，若，则；⑤当最大时，．上述结论中，正确结论的序号有___________．三．解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解方程：．18.如图，位于平面直角坐标系中，且三点的坐标分别为．（1）将以点为中心，顺时针旋转，得到，点的对应点分别为，请画出这个三角形，并分别写出点和点的坐标．（2）请用无刻度的直尺，作的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）19.“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．活动时学生根据所抽取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事，游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲．（1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是__________（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．20.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；（2）若的一条边的长为5，另两边，的长是这个方程的两个实数根，当为何值时，是以为斜边的直角三角形?21.如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点．（1）分别求一次函数与反比例函数解析式；（2）连接，，求的面积；（3）直接写出当时，关于不等式的解集．22.如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接．（1）尺规作图：作劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若与相切，求（1）中作图得到的的度数．23.2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．（1）求抛物线的解析式；（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．25.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：（1）如图1，在正方形中，E，F分别是上两点，连接，若，求证：．（2）如图2，在矩形中，过点C作交于点E，若，求的值．（3）如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于F，且，，,求的长．

2025-2026学年九年级（下）3月阶段性检测数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称和轴对称的性质逐一判断即可．【详解】A：中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误；B：既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故B错误；C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误；D：既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确．2.方程经过配方后，其结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先移项变为，然后方程两边同加上9即可．【详解】解：移项得：，方程两边同加上9得：，∴经过配方可得：．故选：B．3.山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到如下统计图：由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是．故选：B．4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm【答案】C【解析】【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．5.如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，先由等腰三角形的性质得到，再由旋转得到，即可证明是等边三角形，得到．【详解】解：∵，，O为中点，∴，∵将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，∴，，∴是等边三角形，∴，故选：B．6.如图，是内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆的内接四边形的性质得到，由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得到．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，∴，由题意得∵，∴，故选：C．7.若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握．根据二次函数的对称性，利用对称性，找出点，，到对称轴的距离，即可解答．【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线，是顶点，最小，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，，．故选：D．8.如图1，浩明利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为，，，脸盆的最低点C到的距离为，则该脸盆的半径为（）cm．A.20 B.25 C.30 D.35【答案】B【解析】【分析】设圆的圆心为，连接，，与交于点，设半径为，在中利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：设圆的圆心为，连接，，与交于点，设半径为，∵，∴，，在中，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用勾股定理列方程解决问题，属于中考常考题型．9.如图，二次函数的图象经过点，，．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（）①抛物线开口向上；②当时，取最大值；③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点，，当时，的取值范围是．A.③④ B.②③ C.②④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】由图象可得抛物线开口向下，结合图象，利用抛物线的性质逐个判断即可求解．【详解】解：由图象可得抛物线开口向下，∴①错误，不符合题意；∵点，不关于直线对称，∴当时，不取最大值，∴②错误，不符合题意；∵抛物线开口向下，且经过，时，必有两个不相等的实数根，∴③正确，符合题意；∵直线经过点，，抛物线开口向下，时，∴④正确，符合题意．10.如图，点为坐标原点，在反比例函数的图象上有一点轴，轴，垂足分别为，则下列说法正确的是（）A.矩形的面积为4 B.该反比例函数图象的另一个分支在第二象限C.当时， D.随的增大而增大【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握反比例的性质．将点B代入函数解析式可求解a的值，由此可求解矩形面积即可判断A、C选项；再根据反比例函数中反比例系数即可判断B、C选项．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴，故C选项正确；∴，则矩形的面积为，故A选项错误；∵反比例函数的反比例系数，∴该反比例函数图象的另一个分支在第三象限，故B选项错误；且由图象可知，随的增大而减小，故D选项错误．故选：C

．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11.如图，连接正五边形所有对角线，它们两两相交构成一个五角星形状．若正五边形的边长，则对角线的长度为___________．【答案】##【解析】【分析】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定与性质，先根据正五边形的内角特点推导相关角的度数，证明与相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长和线段长度建立方程，求解得出对角线的长度．【详解】解：设对角线的长度为．∵五边形是正五边形，∴，，∴，又∵正五边形中，∴，且，∴，∴，即．∴，解得．故答案为：．12.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2021年人均年收入为20000元，到2023年预计人均年收入达到39200元．若设2022年和2023年该地区居民人均收入的年均增长率为x，则可列方程为____________________．【答案】【解析】【分析】根据年均增长率的含义，先表示出2022年人均年收入，再进一步表示出2023年人均年收入，结合预计值列出方程即可．【详解】解：2021年人均年收入为20000元，年均增长率为x，则2022年人均年收入为元，2023年人均年收入为元，即．13.如图，和是以点O为位似中心位似图形，若，则和的面积比是______．【答案】【解析】【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，利用相似三角形的性质求解．根据已知可得和的相似比，由相似三角形的性质，即可得和的面积比．【详解】解：∵，∴，∵和是以点O为位似中心的位似图形，∴，，∴，∴，∴和的面积比是．故答案为：．14.已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可．【详解】解：，∴该圆锥的侧面积为，故答案为：．15.如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号）【答案】①③④【解析】【分析】由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④．详解】解：由旋转可知：，，，，在正方形中，，，又，，，即，故①结论正确；，，，故②结论错误；如图：在正方形中，，，、、、、在以为直径的圆上，，，故结论③正确；如图：过点作，交于，平分，，，，，，，，，，，设，在直角中，，，，(负根已舍去)，，，故结论④正确；综上所述：①③④结论正确．16.如图，是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连结．给出下面五个结论：①当点不与点重合时，；②；③；④当点落在线段上时，若，则；⑤当最大时，．上述结论中，正确结论的序号有___________．【答案】①④⑤【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可判断①；根据题意无法证明，可判断②；分点D在上方与下方两种情况，分别求得，由此可判断判断③；如图所示，当点落在线段上时，勾股定理求出，求出，证明出，得到，代数求出，进而判断④；根据题意得到当时，最大，设，则，勾股定理表示出，然后利用正切的定义求解即可判断⑤．【详解】解：∵∴，故①正确；根据题意无法证明，故②错误；当点D在的上方时，如图，∵四边形是圆内接四边形，∴，∵点是的中点，∴，∴，∵是半圆的直径，∴，∴，∴，∴，当点D在的下方时，如图，∵是半圆的直径∴∵点是的中点∴∴∵∴，故③不正确；如图所示，当点落在线段上时，∵，∴，∵是半圆的直径∴∴，∵∴∵，∴∴∴∴，故④正确；∵∴当时，最大设，则∴∴，故⑤正确．综上所述，正确结论的序号有①④⑤．故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质综合，求角的正切值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．三．解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解方程：．【答案】，．【解析】【分析】利用因式分解法求出的值即可．【详解】解：，，或，，．18.如图，位于平面直角坐标系中，且三点的坐标分别为．（1）将以点为中心，顺时针旋转，得到，点的对应点分别为，请画出这个三角形，并分别写出点和点的坐标．（2）请用无刻度的直尺，作的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）图形见解析；点，点（2）图形见解析【解析】【分析】本题考查了图形旋转的性质，直角坐标系下点的特征，角平分线的作图，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转的性质．（1）根据图形顺时针旋转，画出三角形即可，再由直角坐标下点的位置即可得到点的坐标．（2）由旋转的性质可得，且由旋转角度可得为等腰直角三角形，过点B作的垂线，即可得角平分线．【小问1详解】解：如图所示，∴点，点．【小问2详解】解：由旋转可知，为等腰直角三角形，点B作射线交于点N，则可得为等腰直角三角形，∴，即可得的平分线，如图．19.“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．活动时学生根据所抽取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事，游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲．（1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是__________（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．【答案】（1）（2）这个游戏公平，理由见解析【解析】【分析】（1）用概率公式计算即可；（2）画出树状图，利用事件的可能性除以事件的总数即可．【小问1详解】由题意可得：小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是；【小问2详解】这个游戏公平，理由：树状图如下所示：由上可得，一共有12种等可能性，其中两张卡片上对应的人物为师徒关系有6种可能性，∴两张卡片上对应的人物为师徒关系的概率为，∴这个游戏公平．20.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；（2）若的一条边的长为5，另两边，的长是这个方程的两个实数根，当为何值时，是以为斜边的直角三角形?【答案】（1）见详解（2）当时，是以为斜边的直角三角形【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系、勾股定理，三角形的三边关系等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）设，由题意易得，然后根据一元二次方程根与系数的关系可知，进而问题可求解．【小问1详解】解：∵，∴，∴无论为何值，方程总有两个实数根；【小问2详解】解：令分别为方程的两个根，则根据根与系数的关系可得：，设，∵是以为斜边的直角三角形，且，∴，∴，即，解得：，当时，（不符合题意，舍去），当时，方程为，解得：，，此时三边均为正数，且满足三角形的三边关系，符合题意；∴当时，是以为斜边的直角三角形．21.如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点．（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；（2）连接，，求的面积；（3）直接写出当时，关于的不等式的解集．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为（2）4（3）或【解析】【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题；（3）根据图象即可解决问题．【小问1详解】解：将，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为，将代入，得，∴反比例的解析式为；【小问2详解】解：对于，当时，∴点D的坐标为，由，解得或，∴点B的坐标为，∴的面积；【小问3详解】解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或．22.如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接．（1）尺规作图：作劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若与相切，求（1）中作图得到的的度数．【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了圆的相关性质，等腰直角三角形的判定与性质以及尺规作图，熟练掌握圆的性质是解题的关键．（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与劣弧的交点即为；（2）先根据题意得到，再结合等腰三角形的性质得到，最后利用圆周角定理求出的度数．【小问1详解】解：如图，点E即为所求；【小问2详解】解：是的切线，，，，，，．23.2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．（1）求抛物线的解析式；（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；【答案】（1）（2）此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确地求出函数解析式，是解题的关键：（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解．【小问1详解】解：网球飞行过程中点处达到最高，设抛物线的解析式为：，把代入，得：，解得：，抛物线的解析式为；【小问2详解】解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：∵，当时，，网球越过球网，当时，，网球落在对方区域；此次击球越过球网并落在对方区域内．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）（2）的最大值为，此时点的坐标为（3）或或，见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点两点，即