3.2　几何与代数模型+课件-2026届高三数学二轮复习

3.2几何与代数模型几何与代数是高中数学课程的主线之一.在必修课程与选择性必修课程中,十分注重几何直观与代数运算之间的融合,即通过形与数的结合,感悟数学知识之间的关联,加强对数学整体性的理解.很多数学建模问题都与曲线(如直线、圆、圆锥曲线以及由函数关系给出的曲线)和空间几何体有关,通常的处理方法是仔细审题,明确解题方向,根据题意,结合图形的结构特征,假设和建立模型,借助平面直角坐标系或者空间直角坐标系,把要解决的问题与有关曲线相联系,根据相关等量关系建立数学模型(函数模型、不等式模型等)解答.此外,此类问题通常涉及确定最优解问题.

[思维路径][解题过程]由题意可知V多面体=2VCDT-BSE,延长AB交ED于点M,连接SM,过点B作BK∥CT交TS于点K,连接KM,过R作RP⊥AF,P为垂足.∵RA=RF,∴P为AF的中点.过点P作PO∥AB,交BE于点O,连接SO,过点T作TQ⊥CD,Q为垂足.∵TC=TD,∴Q为CD中点.又O为BE中点,∴OQ为梯形CBED的中位线,∴OQ∥ST且OQ=ST.∵CB=8,DE=DM+ME=12,∴QO=10,SK=TS-TK=QO-TK=2.∵平面RAF⊥平面ABC,且交线为AF,

学友聊斋例2

(2025新高考Ⅱ卷,14)一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为

cm.

[思维路径]

学友聊斋

[思维路径]

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1通过补全为新的几何体,培养学生空间想象能力2通过对图形运动的轨迹的研究,构建函数模型,培养学生的数形结合能力与计算能力3以正四棱台为载体,研究两点间距离最值问题,培养学生构图能力和计算能力4通过几何体的拼接、套装等模式建造新的模型,考查立体几何的相关知识

[解题过程]如图1,设灯带经过侧棱BB1上的点E.如图2,将侧面ABB1A1和BCC1B1展开到同一个平面,连接A1B.图1图2

B组

综合性题组题号选题理由1通过曲线方程研究曲线,培养学生用代数解决几何问题的能力2借助四叶草的几何形状培养学生识图、用代数研究图形的能力;同时培养学生的数据处理能力3借助新曲线让学生通过观察、类比等操作解决实际问题,同时考查学生数据处理能力4借助中转站的设置培养学生在生活中解决最优解的问题以及分类讨论的数学思想

4.☆☆☆☆(2025山东淄博实验中学模拟)某市一个经济开发区的公路路线图如图所示,七个公司A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7分布在大公路两侧,有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站,中转站到各公司(沿公路走)的距离总和越小越好,则这个中转站最好设在(

B

)A.路口C B.路口DC.路口E D.路口F[解题过程]观察图形知,A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7七个公司要到中转站,都必须先沿小公路走到小公路与大公路的连接点,令A1到B、A2到C、A3到D、A4到D、A5到E、A6到E、A7到F的小公路距离总和为d,BC=d1,CD=d2,DE=d3,EF=d4,路口C为中转站时,距离总和SC=d+d1+d2+d2+(d3+d2)+(d3+d2)+(d4+d3+d2)=d+d1+5d2+3d3+d4;路口D为中转站时,距离总和SD=d+(d1+d2)+d2+d3+d3+(d4+d3)=d+d1+2d2+3d3+d4;路口E为中转站时,距离总和SE=d+(d1+d2+d3)+(d2+d3)+d3+d3+d4=d+d1+2d2+4d3+d4;路口F为中转站时,距离总和SF=d+(d1+d2+d3+d4)+(d2+d3+d4)+2(d3+d4)+2d4=d+d1+2d2+4d3+6d4.显然SC>SD,SF>SE>SD,所以这个中转站最好设在路口D.故选B.C组

应用性题组题号选题理由1借助圆台、球考查学生将立体几何转化成平面几何的降维思想,同时考查计算能力2借助∞符号考查学生由形到数的逻辑推理,即用代数研究几何的思想;同时考查数学计算能力3类比赵爽弦图考查从对称的角度去解三角,敢于设出未知量进行求解4通过托勒密定理考查学生的运算能力1.☆☆(2025山东潍坊二模改编)已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,其下底面与半球O的底面重合,上底面圆周在半球O的球面上,则圆台的侧面积为

6π

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D组

创新性题组题号选题理由1曲率是高等代数的内容,借助曲率的背景考查学生的建模能力,并能运用模型去解决相关问题2借助实际模型考查学生函数求解能力和数据估算能力,同时也是对待定系数法的考查3以向量为背景考查学生的数形结合思想4通过距离最短模型考查学生排列组合的计算能力,以及分类讨论和正难则反的数学思想

参考数据x2357