小学数学五年级下册《因数与倍数》教学设计

小学数学五年级下册《因数与倍数》教学设计

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域第二学段明确指出，学生需“探索并掌握倍数和因数的特征，知道2、3、5的倍数的特征”。本课“因数与倍数”是数论知识的基石，它从整除关系这一新的视角深化学生对整数世界的认知，构建起整数之间相互依存的概念网络。在知识图谱上，本课承接着整数四则运算，开启了公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数乃至分数约分、通分的学习大门，具有重要的枢纽地位。其蕴含的学科思想方法丰富而深刻：首先是符号化与模型思想，将具体的除法算式抽象为“a是b的倍数，b是a的因数”这一对普遍关系，是数学模型的一次典型构建；其次是有序与分类思想，在列举一个数的因数、倍数时，需要引导学生掌握有序、不重不漏的数学方法，培养思维的条理性与严谨性；最后是对应与互逆思想，因数与倍数是相互依存的一对概念，理解这种“共生”关系是突破认知难点的关键。从核心素养视角审视，本节课直指数感（感受数与数之间的关系）、推理意识（从具体算例中归纳一般关系）与模型意识（用因数倍数模型刻画整除关系）的发展，其育人价值在于引导学生从“孤立看数”转向“联系看数”，体验数学内在的和谐与逻辑之美，为形成理性、有条理的思维方式奠基。

对于五年级学生而言，他们已熟练掌握整数乘除法运算，并积累了丰富的用乘除法解决问题的经验，这为从乘除法算式中抽象出因数倍数概念提供了坚实的认知起点。然而，学生的思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，将“除法算式中的被除数、除数、商”转换为“倍数与因数”这一组新概念，并理解其相互依存、不能单独存在的抽象关系，是一个显著的认知跨越点。常见的认知误区包括：将因数倍数等同于乘除法各部分名称；认为一个数的因数一定小于该数，倍数一定大于该数（忽略它本身）；在寻找因数倍数时缺乏有序思考导致遗漏。因此，教学必须设计丰富的、递进性的操作与思辨活动，让学生在充分感知、对比辨析中自主建构概念。同时，需通过设计“前测性提问”与分层探究任务，动态评估不同层次学生的理解水平，为思维敏捷者提供深度探究的通道，为需要支持者搭建直观具体的“脚手架”，如利用拼长方形活动建立因数与乘法算式的直观联系，以化解抽象概念带来的理解困难。

二、教学目标

1.知识目标：学生能结合具体情境与乘法（或除法）算式，理解因数与倍数的含义，明确两者相互依存的关系；掌握有序地找出一个数的所有因数和特定倍数的方法，并能用简洁的数学语言进行描述和判断，初步建构起关于整数整除关系的概念体系。

2.能力目标：学生在探索因数与倍数特征的过程中，提升观察比较、归纳概括与合情推理的能力；在合作交流中，能清晰、有条理地表达自己的思考过程，发展数学语言表达能力；通过解决实际问题，初步培养将数学概念应用于新情境的迁移能力。

3.情感态度与价值观目标：学生在探究活动中体验数学思考的乐趣与发现规律的成就感，感受数学知识之间的内在联系；在小组协作中养成乐于倾听、敢于质疑、合作分享的良好学习品质，初步建立严谨求实的科学态度。

4.科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型建构思维，即从具体实例中抽象出“因数-倍数”数学模型；强化有序与分类思维，在列举与探究中体会思维的有序性和全面性；初步渗透对应与互逆思维，理解数学概念间的对立统一关系。

5.评价与元认知目标：引导学生利用“有序、成对、有限/无限”等标准，评价自己或同伴寻找因数、倍数方法的优劣；在学习小结时，能反思自己是通过哪些关键活动理解概念的，并初步尝试将“从个别到一般”的归纳方法迁移到后续学习中。

三、教学重点与难点

教学重点为：理解因数与倍数的概念及其相互依存关系。其确立依据在于，这是整个“倍数与因数”单元乃至后续相关数论知识学习的逻辑起点与核心“大概念”。从课程标准看，这是第二学段“数与运算”主题下的核心内容要求；从学科本质看，它定义了整数之间一种基本的序关系，是构建数论知识网络的基石。掌握这一核心概念，才能顺利展开对公因数、公倍数等知识的学习。

教学难点为：理解因数与倍数之间相互依存的关系，并能够清晰、完整地表述；以及探究并掌握一个数的因数、倍数的特点（如因数的有限性、倍数的无限性）。预设难点成因在于，学生首次接触这种成对出现、互为前提的抽象数学关系，容易将其与熟悉的乘除法各部分名称割裂或混淆，表述时往往只说其一。此外，从“具体算式”跨越到“一般关系”，从“静态计算”跨越到“动态有序探寻规律”，对学生抽象概括能力和有序思维能力要求较高。突破方向在于提供大量直观素材（如算式、图形），设计层层递进的问题链引导比较辨析，并通过有结构的操作活动（如拼摆、有序书写）外化思维过程。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境图、探究问题、标准数学语言示范）、实物投影仪。

1.2学习材料：为每组学生准备12个完全相同的小正方形（可画在方格纸上）、学习任务单（含探究记录表、分层练习）。

2.学生准备

2.1知识预备：复习乘法口诀及整除概念。

2.2学具：直尺、铅笔、草稿本。

3.环境布置

3.1座位安排：4-6人异质分组，便于合作探究与交流。

3.2板书记划：预留核心概念区、探究过程区（算式、图形）、学生成果展示区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设，激活旧知：“同学们，学校要组织植树活动，我们班计划分成几个小组，每组人数要相同。如果全班来12人参与，可以怎样分组呢？请大家用一道乘法算式或除法算式来表示你的分组方案。”

2.问题提出，聚焦核心：学生汇报算式（如3×4=12，12÷3=4等）。教师板书代表性算式后追问：“同学们，在这些表示相同分组方案的乘除法算式中，数与数之间隐藏着一种新的关系，这就是我们今天要探究的——因数与倍数（板书课题）。看着这些算式，你有什么想研究的？”

3.路径明晰，唤醒期待：“大家的问题都很好！这节课，我们就一起来当一回‘数的关系探秘家’。首先，从这些算式中发现因数与倍数的秘密；然后，学习如何有方法地找出一个数的全部因数和一些倍数；最后，看看谁能用这些新知识解决更多有趣的问题。准备好开始探险了吗？”

第二、新授环节

###任务一：从算式中“初识”因数与倍数

教师活动：聚焦板书上的算式“3×4=12”和“12÷3=4”。首先引导学生观察：“在这两个算式中，12、3、4这三个数，谁是谁的积？谁是谁的被除数、除数和商？”然后，用规范的语言示范：“在数学上，当两个整数（0除外）相乘得到积时，我们就说，积是这两个数的倍数，这两个数是积的因数。所以，对于3×4=12，我们可以说：12是3和4的倍数，3和4是12的因数。”紧接着，引导学生迁移到除法算式：“根据12÷3=4，没有余数，12能被3整除，我们也能说：12是3和4的倍数，3和4是12的因数。看，乘法和除法是从不同角度告诉我们同样的关系。”最后，组织同桌互相说一说另外几个算式（如2×6=12）中数与数的因数倍数关系。

学生活动：跟随教师的引导，观察、倾听，理解从具体算式到抽象概念的首次过渡。尝试模仿教师的规范语言进行表述，并与同伴互相练习说、听、判断，初步建立“因数”与“倍数”的表述感觉。

即时评价标准：

1.倾听专注度：能否认真聆听教师的规范表述和同学的发言。

2.语言模仿度：能否尝试使用“（）是（）的因数，（）是（）的倍数”的句式进行表述。

3.理解初步性：在同伴互说时，能否初步判断对方表述的正误。

形成知识、思维、方法清单：

★因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数（即整除），我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。也可以说成：如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么c是a和b的倍数，a和b是c的因数。

▲定义中的要点：研究因数与倍数时，所说的数一般指非0自然数。务必强调“整数除法”和“没有余数”的前提。

★关系的相互性：因数与倍数是相互依存的一对概念，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说清楚谁是谁的因数（倍数）。例如，不能说“12是倍数”，而要说“12是3的倍数”。

###任务二：在拼摆中“深化”因数含义

教师活动：提出探究问题：“刚才我们用算式表示了12人分组，现在如果给你们12个小正方形，你能拼出几种不同的长方形？这和我们找12的因数有什么关系呢？”分发学具，巡视指导，重点关注学生是否能有序思考（从拼一排开始）。待小组探究后，请代表上台展示拼法并说明：“每排摆几个，摆了几排，对应的乘法算式是什么？”教师同步记录拼法、算式及对应的因数（如：拼成3×4长方形，说明3和4是12的因数）。引导观察：“当拼成的长方形形状不同时，对应的因数也不同。怎样拼才能保证找到所有可能的长方形，也就是找到12所有的因数呢？”

学生活动：以小组为单位，动手操作，用12个小正方形拼摆不同的长方形，并将每种长方形的长、宽数据及对应的乘法算式记录在学习单上。观察、讨论拼摆方法与找出所有因数之间的关联，初步感悟“有序”才能“全面”。

即时评价标准：

1.操作有序性：拼摆过程是否从“每排摆1个”开始有序尝试，避免混乱。

2.联系建立度：能否清晰地将每种长方形的“每排个数”和“排数”与12的因数对应起来。

3.合作有效性：小组成员是否能分工协作，共同完成拼摆、记录与汇报准备。

形成知识、思维、方法清单：

★找因数的方法（借助乘法）：想哪两个整数相乘等于这个数，这两个整数就都是这个数的因数。可以通过有序地尝试乘法来寻找。

▲拼长方形模型的价值：将抽象的“找因数”问题转化为直观的“拼长方形”操作，借助几何直观理解因数是“能整除原数的成对出现的数”。

★因数的特点（初步感知）：一个数的因数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

###任务三：系统探究“如何找全一个数的因数”

教师活动：基于任务二的发现，引导学生系统梳理找因数的方法。“同学们，我们怎样才能又好又快又不遗漏地找出一个数（比如18）所有的因数呢？请大家先独立思考，尝试写一写18的因数。”收集有代表性的写法进行投影对比：杂乱无章的、部分遗漏的、有序成对列举的。组织讨论：“哪种方法最好？为什么？”引导学生总结最优策略：从1开始试除，成对记录（如1×18=18，所以1和18都是因数；2×9=18……），一直试到相邻的因数接近或重复为止。教师板书示范有序写法：1,2,3,6,9,18。并追问：“仔细观察18的因数，你有什么新发现？（最小是1，最大是18）”

学生活动：独立尝试写出18的所有因数，在对比与讨论中，认识到有序思考、成对寻找的重要性。学习并模仿规范的书写格式。观察多个数的因数集合，尝试用自己的语言描述因数的共同特点。

即时评价标准：

1.策略优化度：能否在对比中识别并认可“有序、成对”寻找策略的优越性。

2.书写规范性：能否按照从小到大、用逗号隔开的规范格式书写一个数的全部因数。

3.归纳能力：能否从具体例子中观察并初步概括出一个数因数的个数和大小特征。

形成知识、思维、方法清单：

★有序找因数的方法（核心技能）：找一个数的因数，可以用这个数依次除以1，2，3，4……，看哪两个数的乘积等于它，就一对一对地找。通常从1开始，成对写出，按从小到大的顺序排列。

▲数学方法的提炼：掌握“有序思考”和“不重不漏”的数学方法，这一方法在数学学习的许多领域（如组合、枚举）都至关重要。

★因数个数与大小的规律：一个数的因数的个数是有限的。最小的因数是1，最大的因数是它本身。

###任务四：自主探索“如何找一个数的倍数”

教师活动：转换探究视角：“我们学会了怎么找一个数的‘因数’，那怎么找一个数的‘倍数’呢？比如，你能找出2的倍数吗？开动脑筋，看看有多少种方法。”鼓励学生大胆尝试，可能的方法有：列举乘法算式（2×1=2,2×2=4…）、连续加2、利用乘法口诀等。组织交流后，引导学生比较优化：“哪种方法最简洁明了？”明确用这个数依次乘非0自然数（1,2,3,4…）是通用方法。让学生尝试找出3的倍数、5的倍数，并提问：“观察这些倍数，你能发现什么特点？（一个数的倍数有无数个，最小的是它本身，没有最大的）”

学生活动：迁移找因数的方法经验，尝试用多种方法探索找倍数的途径。在分享交流中，体会用乘法序列找倍数的普适性和便捷性。动手写一写，感受一个数的倍数的无限性。

即时评价标准：

1.方法迁移与创新：能否从找因数的方法中获得启发，或创造出找倍数的不同方法。

2.语言表达清晰度：能否清晰地解释自己找倍数的方法和思路。

3.规律发现能力：通过写出几个倍数后，能否敏锐地感知到倍数集合的无限性及最小倍数的特征。

形成知识、思维、方法清单：

★找倍数的方法（核心技能）：找一个数的倍数，就用这个数依次乘1、乘2、乘3……所得的积都是它的倍数。通常只要写出前几个，后面用省略号表示。

★倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的。其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

▲与找因数的对比：找因数时，是“往回看”，看哪些数能乘得它；找倍数时，是“往前看”，看它乘哪些数能得到新的数。这是两种互逆的思维方向。

###任务五：辨析对比，构建完整概念网络

教师活动：设计辨析活动，深化理解。①出示判断题：“（1）因为2.4÷0.6=4，所以2.4是0.6的倍数。（错，强调非0自然数范围）；（2）在13÷4=3……1中，13是4的倍数。（错，强调整除）；（3）8的倍数有8,16,24,32。（对，但需指出可以继续写）。”②组织对比讨论：“因数与倍数有什么相同点和不同点？请结合我们找因数和找倍数的过程，在小组内说一说。”教师引导学生从“找的方法”、“个数”、“大小关系”等维度进行结构化对比。

学生活动：独立思考判断，并说明理由，在辨析中强化概念的关键条件。小组合作，对比梳理因数与倍数的异同，尝试用表格或思维导图进行整理，并派代表汇报。

即时评价标准：

1.概念辨析力：能否准确判断正误，并抓住“数的范围”、“整除关系”等关键点说明理由。

2.结构化思维：能否从多个维度（方法、个数、大小等）对两个概念进行系统化对比与归纳。

3.合作深度：小组讨论是否围绕核心问题展开，能否形成有逻辑的集体结论。

形成知识、思维、方法清单：

★因数与倍数的对比表（核心结构）：|对比维度|因数|倍数||:---|:---|:---||寻找方法|用除法（或想乘法），成对找|用乘法，依次乘||个数|有限|无限||最小|1|它本身||最大|它本身|没有|

▲易错点警示：必须注意研究范围（非0自然数）和前提条件（整除）。表述时必须完整，体现依存关系。

★概念的完整性：因数和倍数是描述两个非0自然数之间整除关系的一对概念，二者相互依存，共同构成一个完整的知识整体。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层练习，旨在提供差异化反馈与支持。

基础层（面向全体）：

1.说一说：根据算式，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。24÷6=4；7×8=56。

2.写一写：写出下面各数的因数（限5个）和倍数（限5个）：16；9。（教师巡视，关注书写规范与完整性，对基础薄弱学生进行个别辅导：“想一想，找因数从哪里开始试？找倍数用什么方法乘？”）

综合层（面向大多数）：

1.判断并改错：（1）9的倍数只有9,18,27。（）（2）6既是6的因数，也是6的倍数。（）

2.一个数既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？（引导学生有序思考：先找40的因数，再从里面挑出5的倍数。请不同解法的学生上台分享思路。）

挑战层（面向学有余力）：

1.猜数游戏：我的最大因数和最小倍数都是16，我是谁？一个数，它的最小倍数是15，这个数有多少个因数？请你写出来。

2.联系生活：体操表演排队形，要求每行人数相等。可以排成6行，也可以排成9行。参加表演的人数可能在什么范围内？（40-60人之间）（此题渗透公倍数的初步思想，为后续学习埋下伏笔。）

反馈机制：采用“独立完成-小组互查-典型讲评”相结合。小组内交换基础层练习互评；教师选取综合层、挑战层中有代表性的答案（包括典型错误和优秀解法）进行投影展示与集体研讨。关键点如“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”，让发现此规律的学生当“小老师”讲解。

第四、课堂小结

1.知识整合：“同学们，今天的‘数的关系探秘’之旅即将结束，谁能用自己喜欢的方式（比如画一棵‘知识树’或者用几句话），来梳理一下这节课最大的收获是什么？”鼓励学生自主回顾，构建个性化知识结构。教师可展示简明的概念图作为示范。

2.方法提炼：“回顾一下，我们今天是怎么认识因数与倍数的？（从算式出发）怎么找出它们？（找因数要有序、成对；找倍数用依次乘）这些方法对你以后学习新知识有什么启发？”

3.作业布置与延伸：

必做作业（基础+综合）：（1）完成练习二第1、2、4题。（2）选一个你喜欢的数字（如你的学号），写出它的所有因数和5个倍数。

选做作业（探究）：（1）阅读课本“你知道吗？”了解完全数，并尝试验证6和28是不是完全数。（2）思考：为什么我们在研究因数和倍数时，要把0排除在外？查阅资料或与父母讨论，下节课分享你的发现。

六、作业设计

1.基础性作业（必做）：

（1）填空：根据15÷5=3，可以说（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数。

（2）分别写出18和24的全部因数。

（3）分别写出4和7的前5个倍数。

设计意图：巩固最基本的概念表述、因数与倍数的寻找方法，确保全体学生掌握核心知识与技能。

2.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

（1）判断：①一个数的因数一定比这个数小。（）②一个数的倍数有无数个。（）③14比7大，所以14的因数比7的因数多。（）

（2）解决问题：妈妈买来30个苹果，准备平均分装在几个果盘里。如果每个果盘装的个数多于1个且少于30个，她可以有哪些装法？（请列出所有可能）

设计意图：在辨析中深化对概念本质的理解，并将数学知识应用于简单的生活情境，考查综合运用能力。

3.探究性/创造性作业（选做）：

（1）数字“完美”之谜：数学家们发现有些数很特别，比如6，它的因数有1,2,3,6，除去它本身6，其他因数之和1+2+3正好等于6本身！这样的数叫“完全数”。你能仿照这个方法，验证一下28是不是完全数吗？你还想探究哪个数？

（2）设计一张关于“因数与倍数”知识点的数学小报，可以包括：知识梳理、有趣的发现、易错题提醒、自我出题等栏目。

设计意图：激发数学兴趣，引导学有余力的学生了解数学文化，进行跨课时的初步探究，并鼓励他们以创造性方式整合与表达所学知识。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.因数与倍数的定义：如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么c是a和b的倍数，a和b是c的因数。也可由整除关系定义。（教学提示：务必强调“非0自然数”和“整除”两个前提，这是判断题高频考点。）

★2.因数与倍数的关系：因数和倍数是相互依存的，必须说清楚“谁是谁的”。例如，12是3的倍数，3是12的因数。（教学提示：这是学生表述时的常见错误点，需反复练习规范语言。）

★3.找一个数的因数的方法：用这个数依次除以1,2,3……，看商是不是整数且没有余数，除数和商都是因数。通常成对找出，按从小到大的顺序写。（教学提示：引导学生体会“有序”思考的重要性，避免遗漏。）

★4.一个数因数的特点：个数是有限的；最小的因数是1；最大的因数是它本身。（考点：常见填空、判断题，如“一个数的最小因数是（），最大因数是（）”。）

★5.找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘1,2,3……所得的积。通常写出前几个，后面用“……”表示。（教学提示：可与找因数方法对比，明确思维方向相反。）

★6.一个数倍数的特点：个数是无限的；最小的倍数是它本身；没有最大的倍数。（考点：常与因数特点对比考查。）

★7.一个数的最大因数与最小倍数：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。（这是本节课推导出的一个重要结论，也是常见考点。）

▲8.完全数：一个数除了它本身以外的所有因数之和等于它本身，这个数就叫完全数。如6、28。（拓展点：介绍数学文化，激发兴趣，可作为探究素材。）

▲9.研究范围：为了研究方便，我们所说的因数与倍数，一般指非0自然数。0的情况较为特殊，小学阶段暂不研究。（解释“为什么排除0”，满足部分学生的探究欲。）

八、教学反思

一、目标达成度分析

本节课预设的知识与技能目标基本达成。通过课堂观察和随堂练习反馈，绝大多数学生能正确表述因数与倍数的关系，并掌握有序寻找一个数的因数、倍数的方法。能力与思维目标方面，学生在拼摆长方形、对比不同找法的活动中，有序思维和归纳能力得到了有效锻炼。情感目标在小组合作和探究成功的体验中得到较好落实。然而，在“清晰、完整表述相互依存关系”上，部分学生仍有困难，常出现省略主体的不完整表述，这需要在后续课中持续强化。

（一）核心环节有效性评估

1.导入与任务一（概念初建）：“班级植树”情境贴近学生，有效激发了探究动机。从乘除法算式直接切入概念，路径清晰。但部分对整除理解不深的学生，在从除法算式迁移到“倍数与因数”语言时稍有迟疑。（改进设想：可增加一两个整除算式的专项口头表述练习，即时巩固。）

2.任务二与三（探究因数）：拼长方形操作是本节课的亮点之一，成功地将抽象概念直观化，有效化解了理解难点。在从“操作”到“方法”的提炼过程中，通过对比不同学生的记录，引导总结“有序、成对”策略，过程自然，学生参与度高。（内心独白：这个‘脚手架’搭得比较成功，学生们在‘玩’中悟到了数学方法。）

3.任务四与五（探究倍数与对比）：找倍数的方法学生迁移较快，但