青岛版初中七年级数学下册《整式的除法》教案

青岛版初中七年级数学下册《整式的除法》教案

一、设计理念

本教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，秉承“以学生发展为本”的教育哲学，致力于超越传统技能训练的窠臼。设计紧扣“代数运算”主题的大单元教学视域，将“单项式除以单项式”置于整式运算的知识链条与代数思维发展的宏观进程中进行定位。教学以“情境-问题-探究-建构-应用-反思”为逻辑主线，强调数学知识的发生与发展过程，着力于培养学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力以及迁移应用意识。通过精心设计的有层次、有挑战的数学任务，引导学生在自主探索、合作交流中实现从具体数字运算到抽象字母符号运算的自然过渡与意义建构，深刻领悟“算法”背后的“算理”，体现代数作为“模式的科学”与“通用语言”的力量，为其后续学习多项式除法、因式分解乃至分式运算奠定坚实的认知基础与思维习惯。

二、学情分析

从认知基础看，授课对象为七年级下学期学生。他们已系统学习了有理数的乘除法运算、整数指数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），并初步掌握了单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式的运算法则。这构成了学习本课内容的直接知识储备。特别是“同底数幂的除法”法则，是单项式除以单项式运算法则的核心组成部分，学生已具备从“数字底数”向“字母底数”迁移的初步经验。

从思维特征看，该年龄段学生的抽象逻辑思维正处于由经验型向理论型加速过渡的关键期。他们能够处理较为复杂的符号操作，但对于运算规则的抽象概括、对算理的深入理解以及对运算结果的自觉验算与反思，仍需教师搭建有效的“脚手架”。部分学生可能存在“重算法、轻算理”的倾向，将代数运算简化为机械的步骤执行。

从潜在难点预判，学生可能面临的困难包括：（1）对“商的系数”是“系数相除”这一操作的理解与熟练应用，尤其是涉及分数系数或符号处理时；（2）对“同底数幂相除，底数不变，指数相减”在复杂单项式（含多个字母因子、含乘方形式）中的准确、有序应用；（3）对运算结果“单项式”的规范性表达，即确保结果为最简单项式（系数为最简整数或分数，同底数幂合并彻底）；（4）面对综合运算（混合乘除）时运算顺序的确定及法则的选择性应用。

因此，教学设计需通过回顾关联、创设认知冲突、提供结构化探究素材、强化辨析与反思环节，帮助学生实现知识的顺应与同化，突破思维定势，建立稳固且可迁移的认知结构。

三、教学目标

1.知识与技能目标：

1.2.理解并准确叙述单项式除以单项式的运算法则，明晰其推导过程。

2.3.能熟练、准确地进行单项式除以单项式的运算，包括系数为整数、分数的情形，并能对运算结果进行规范化简。

3.4.能运用单项式除以单项式的法则解决简单的实际问题或进行相关的代数式求值、推理与证明。

5.过程与方法目标：

1.6.经历从具体数字运算特例观察、归纳猜想一般法则，到利用已有运算律进行说理验证的完整数学探究过程，发展归纳概括能力与演绎推理能力。

2.7.通过对比单项式乘法与除法的运算规则，深化对“互逆运算”关系的理解，体会类比思想在数学发现与学习中的价值。

3.8.在解决复杂、综合运算问题的过程中，提升有序思考、分步运算、自觉检验的运算规划与监控能力。

9.情感、态度与价值观目标：

1.10.在探究法则的过程中，体验数学知识的内在联系与系统性，感受数学的严谨性与简洁美。

2.11.通过克服运算中的难点，获得成功的体验，增强学习代数的信心与兴趣。

3.12.初步形成规范、准确、有条理的数学运算习惯和反思意识。

四、教学重点与难点

1.教学重点：单项式除以单项式的运算法则及其初步应用。

2.教学难点：

1.3.法则的归纳与理解过程，尤其是对算理（即为何系数相除、同底数幂的指数相减）的深刻把握。

2.4.对含有多个字母因子、系数为分数或负数、涉及乘方形式的复杂单项式进行除法运算时的准确、规范操作。

3.5.在混合运算中正确识别运算结构，合理选择并顺序应用相关法则。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含探究问题、动画演示、分层练习题组、知识结构图）、实物投影仪或希沃白板互动软件。

2.学生准备：复习同底数幂的除法、单项式乘法法则；预习课本相关章节。

六、教学过程

第一环节：创设情境，温故引新(预计时间：8分钟)

师生活动：

1.知识快问快答：教师通过课件快速出示以下口算题，学生集体回答。

1.2.(1)$a^6\diva^2=?$(2)$(-2x^3)^2=?$(3)$3ab^2\cdot4a^2b=?$

2.3.(4)$12\div4=?$(5)$\frac{x^5}{x^2}=?$（用除法式子表示）(6)$(3\times4)\div2=?$

此环节旨在快速激活学生关于同底数幂除法、幂的运算、单项式乘法及整数除法的已有知识，为新课学习做好心理与知识双重准备。

4.情境问题驱动：

教师呈现问题：“我校科技创新小组设计了一种微型立方体太阳能储能模块。已知一个大模块的体积为$24x^3y^2$立方毫米，它可以分割成若干个完全相同的小模块，每个小模块的体积为$8xy$立方毫米。请问，一个大模块可以分割成多少个小模块？”

引导学生分析：求数量，即用总体积除以单个体积，列出算式：$(24x^3y^2)\div(8xy)$。

教师提问：“这是一个怎样的运算？我们之前学过类似的运算吗？能否利用已有的知识尝试计算或解释这个算式？”

学生可能联想到除法是乘法的逆运算，或者尝试用“拆分”的想法。教师板书课题：“整式的除法——单项式除以单项式”。

设计意图：从复习旧知入手，搭建认知桥梁。通过创设贴近学生生活的科技情境问题，引出本课核心学习任务，赋予抽象的数学运算以实际意义，激发学生的探究欲望。问题中的算式$(24x^3y^2)\div(8xy)$结构典型，便于后续探究。

第二环节：合作探究，建构法则(预计时间：15分钟)

师生活动：

1.特例探究，大胆猜想：

1.2.教师将核心问题一般化，提出探究任务：“如何计算$(24x^3y^2)\div(8xy)$？请大家独立思考，可以类比数的除法、单项式乘法或利用乘除互逆关系进行尝试，并记录下你的思考过程。”

2.3.学生独立尝试计算，教师巡视，捕捉典型思路（正确的、错误的、有创意的）。

3.4.请持有不同思路的学生代表上台展示（或通过实物投影展示）。

思路一（乘法逆运算）：因为$(8xy)\times(?)=24x^3y^2$，观察可知：$8\times3=24$，$x\timesx^2=x^3$，$y\timesy=y^2$，所以商为$3x^2y$。

思路二（拆分与约分视角）：$(24x^3y^2)\div(8xy)=\frac{24x^3y^2}{8xy}=\frac{24}{8}\cdot\frac{x^3}{x}\cdot\frac{y^2}{y}=3x^{2}y$。

4.5.教师引导学生比较两种思路的异同，强调思路二更具一般性和可操作性，并指出分数线的引入可以直观地联系到系数与同底数幂分别处理。

6.推广抽象，归纳法则：

1.7.教师出示一组有梯度的探究算式，学生以小组（4人一组）为单位合作完成计算，并观察、讨论运算结果与算式中各组成部分的变化规律。

探究算式组：

(1)$15a^4b^3\div5a^2b$

(2)$-21m^5n^2\div7m^3n$

(3)$\frac{1}{2}x^6y^4\div\left(\frac{1}{4}x^2y^3\right)$

(4)$(6\times10^8)\div(2\times10^5)$（数字对比，强化类比）

2.8.小组活动后，派代表汇报计算结果及发现的规律。教师引导学生聚焦：

1.3.9.商的系数与被除式、除式的系数有什么关系？（系数相除）

2.4.10.相同字母的指数变化有什么规律？（同底数幂相除，底数不变，指数相减）

3.5.11.只在被除式中出现的字母如何处理？（连同其指数直接作为商的一个因式）

4.6.12.如何用简洁的数学语言概括这一规律？

7.13.在学生充分表达的基础上，师生共同提炼、规范单项式除以单项式的法则：

法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

14.说理验证，深化理解：

1.15.教师追问：“我们通过归纳许多例子得到了这个法则，但为什么可以这样做？能否用我们学过的运算律和运算性质来证明这个法则的合理性？”

2.16.引导学生从“除法可以写成分数形式”以及“乘法分配律”（实际上是乘除互逆与幂的运算性质）的角度进行说理。

设单项式$A=a\cdotx^m\cdoty^n$（$a$为系数），$B=b\cdotx^p\cdoty^q$（$b$为系数，且$b\ne0$，$p\lem,q\len$）。

则$A\divB=\frac{a\cdotx^m\cdoty^n}{b\cdotx^p\cdoty^q}=\frac{a}{b}\cdot\frac{x^m}{x^p}\cdot\frac{y^n}{y^q}=\frac{a}{b}\cdotx^{m-p}\cdoty^{n-q}$。

3.17.此环节旨在将“猜想”提升为“确信”，培养学生理性思维与严谨的科学态度。

设计意图：本环节是本节课的核心与高潮。通过“特例尝试→小组探究多例→归纳共性→抽象法则→说理验证”的完整数学探究路径，让学生亲历知识的“再创造”过程。既重视算法的归纳，更强调算理的挖掘，使学生不仅“知其然”，更“知其所以然”。小组合作促进了思维碰撞，说理验证则将探究活动推向思维深度，有效突破了教学难点。

第三环节：辨析示例，巩固新知(预计时间：12分钟)

师生活动：

1.法则的直接应用示例：

1.2.教师板书或展示规范的解题步骤示例。

例1：计算$(36a^5b^4c)\div(9a^2b^2)$

解：原式$=(36\div9)\cdota^{5-2}\cdotb^{4-2}\cdotc$

$=4a^3b^2c$

2.3.强调步骤：①确定系数商的符号和数值；②对同底数幂运用“指数相减”；③处理单独字母因子。

3.4.学生即时练习1（口答或板演）：

(1)$28x^4y^2\div7x^3y$

(2)$-15a^8b^6\div5a^5b^3$

(3)$(6\times10^7)\div(3\times10^4)$

5.易错点辨析与深化：

1.6.教师出示例2及辨析题组，引导学生辨析、讨论，并强调注意事项。

例2：计算$(-2x^2y)^3\div(4x^4y^2)$

解：原式$=(-8x^6y^3)\div(4x^4y^2)$（先算乘方！

）

$=[(-8)\div4]\cdotx^{6-4}\cdoty^{3-2}$

$=-2x^2y$

辨析题组（判断对错并改正）：

(1)$12a^3b^2\div6ab=2a^2b$（错，系数算对，但$b^{2-1}=b$未写）

(2)$10m^5n^4\div(-5m^5n^4)=-2$（对）

(3)$(-x^5y^3)^2\div(-x^3y)=x^7y^5$（错，符号错误，应为$-x^7y^5$）

(4)$8(a+b)^4\div2(a+b)^2=4(a+b)^2$（对，将$(a+b)$视为一个整体字母）

2.7.师生共同总结运算中的关键点与易错点：

1.3.8.运算顺序：先乘方，后乘除。

2.4.9.符号确定：先确定系数商的符号（同号得正，异号得负）。

3.5.10.指数处理：准确应用“指数相减”，注意被除式中某字母指数为1时的情形。

4.6.11.整体思想：当底数是多项式时，可视为一个整体进行处理。

5.7.12.结果检验：可以用“商×除数=被除数”进行逆向验算。

设计意图：通过正面示例示范标准步骤，通过辨析题组聚焦常见错误，进行针对性的强化训练。此环节旨在将抽象的法则转化为具体、可操作、需警惕的运算程序，帮助学生内化法则，规范书写，提升运算的准确率。

第四环节：分层应用，拓展提升(预计时间：10分钟)

师生活动：

1.综合应用练习：

1.2.学生独立完成以下练习，教师巡视指导，重点关注中等及以下学生的学习情况。

练习A组（基础巩固）：

(1)$(-18m^2n^5)\div(6mn^3)$

(2)$(5\times10^9)\div(2.5\times10^6)$

(3)$\left(\frac{3}{4}a^4b^5c\right)\div\left(\frac{1}{2}a^2b^3\right)$

(4)$(2x^2y)^3\cdot(-7xy^2)\div(14x^4y^4)$

练习B组（能力提升）：

(5)已知$A=20x^3y^2$,$B=-4x^2y$,求$A\divB$。

(6)计算：$[(-2a^2b)^2]^3\div(-4a^6b^4)$

(7)一个长方形的面积为$28x^5y^3$平方厘米，宽为$4x^2y$厘米，求它的长。

3.挑战与拓展：

1.4.教师提出问题：“若$(-3x^my^n)\div(6x^2y)=-\frac{1}{2}x^3y^2$，求$m+n$的值。”

2.5.引导学生分析：先根据法则进行运算，得到关于$m,n$的方程。$(-3\div6)x^{m-2}y^{n-1}=-\frac{1}{2}x^3y^2$，即$-\frac{1}{2}x^{m-2}y^{n-1}=-\frac{1}{2}x^3y^2$，所以$m-2=3$,$n-1=2$，解得$m=5,n=3$，故$m+n=8$。

3.6.此题为学有余力的学生提供思维挑战，将运算技能与方程思想结合，培养逆向思维能力。

设计意图：设计分层练习满足不同层次学生的需求。A组巩固基本技能，B组增加运算步骤和综合性，提升熟练度与灵活应用能力。拓展题引导学生从“正向运算”转向“逆向思考”，深化对法则结构的理解，培养高阶思维。

第五环节：回顾反思，归纳总结(预计时间：5分钟)

师生活动：

1.学生自主总结：教师引导学生围绕以下问题回顾本节课：

1.2.今天我们学习了什么数学运算？其法则是什么？你是如何探索并理解这个法则的？

2.3.在进行单项式除以单项式运算时，需要特别注意哪些地方？

3.4.本节课的学习，用到了哪些我们已经掌握的数学知识或思想方法？（类比、归纳、转化、整体思想等）

5.教师系统梳理：教师结合学生的回答，利用课件展示知识结构图进行总结升华。

1.6.知识层面：重申单项式除以单项式的法则、步骤、注意事项。

2.7.方法层面：强调“观察特例→归纳猜想→说理验证”的探究路径，“类比”、“转化”思想的关键作用。

3.8.结构层面：将单项式除法置于整式运算体系中，指出它与单项式乘法互为逆运算，是整式除法单元的基础，也是未来学习多项式除以单项式乃至因式分解的重要基石。

9.布置作业：

1.10.必做题：课本第xx页练习第1-4题；习题第1(1)(3)(5)(7)、2(1)(2)题。

2.11.选做题：习题第5题（应用题）；自编一道涉及乘方、乘除混合的单项式除法计算题，并给出解答。

3.12.预习任务：思考“多项式除以单项式”可以如何计算？尝试用今天学习的思想方法进行探索。

设计意图：通过引导学生从知识、技能、方法、思想等多个维度进行自我反思与总结，促进认知结构的优化与元认知能力的提升。教师的系统梳理将零散的知识点串成线、连成网，帮助学生建立整体观念。分层作业兼顾巩固与拓展，预习任务为下节课埋下伏笔，形成学习闭环。

七、板书设计

（左侧主板书区）

整式的除法（一）——单项式除以单项式

一、法则探究

问题：$(24x^3y^2)\div(8xy)=?$

思路1：逆运算$(8xy)\times(?)=24x^3y^2$→$3x^2y$

思路2：分数形式$\frac{24x^3y^2}{8xy}=\frac{24}{8}\cdot\frac{x^3}{x}\cdot\frac{y^2}{