端点效应考点分析+讲义-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考数学端点效应考点分析基本原理什么是端点效应简单来说,就是有一类在给定区间内恒成立求参数范围的题目，恰在区间端点处取得最值，那么可以通过端点处的导数值求得参数的范围.比如,fx≥0在a,b或者[如果f'a=如果f''a=理论上,可以一直求下去,直到求出参数的范围.注意!由于这样求得的参数范围只是题设条件的一个必要条件,所以还要验证其充分性,才能得到最终答案.原理说明为什么可以通过这种方式来求参数的范围，下面来简单说明一下.∵fx≥0在a,b或者[a,+∞)上恒成立,且fa=0∴∃m∈a,b∴f'x这样就将原函数的恒成立问题转化成了导函数的恒成立问题∴于是可以由此来求参数范围了.如果f'a=0,而f'x≥0在∴f''x这样就将一阶导函数的恒成立问题转化成了二阶导函数的恒成立问题∴以此类推,如果f''a理论上可以无限推下去,直到求出参数的范围.为什么通过上述方法求出的参数范围需要验证其充分性通过上述分析可知,所求参数范围只能保证在x=a之后的某个小范围内fx≥0恒成立,而不一定能使fx≥端点效应的题目一般很容易验证下来,而且最后会发现函数在整个区间内都是单调的,如果验证不出来,那么端点效应失效,这时就要换其他方法.典例分析方向1:指对函数型例1已知函数fx当a=0时,求曲线y=当a>当x≥2时，fx【解】(1)(2)略(3)f'x=x下面证明:当a≤e2∵f''x=xex−a,f'''x=x+1综上,a的取值范围为−∞,e【点评】验证环节一般通过多次求导就能解决.例2(2025・高考全国甲卷)已知函数fx当a=−2时，求当x≥0时，fx【解】(1)略(2)f'x∴下面证明:当a≤−12∵f''x=−ax+1−综上,a的取值范围为−∞,−1【点评】如果多次求导不好验证,那么可以利用参数范围放缩以消参,这里是在f''x中放缩:−ax+方向2:三角函数型三角函数型的端点效应题目在验证环节除了一般的多次求导、放缩消参之外,很多时候用不等式放缩会简便很多.例3已知函数fx若曲线y=fx在点O0,讨论函数hx=x若fxgx<x【解】(1)(2)略(3)令hx则hx<0∵∴下面证明,当a≤0,构造函数p∵p'x=cos∵a综上,a的取值范围为(−∞,0【点评】这题验证环节多次求导不好用,用不等式放缩简便很多.例4已知函数fx(1)当a=求π,判断fx(2)若fx>1【解】(1)略(2)∵f'∴下面证明:当a≥1,f∵∴∴f综上,a的取值范围为[1【点评】这题也可在f'f=x方向3:端点效应失效端点效应失效后,一般用常规分类讨论、参数分离,或者必要性探路等方法可解决问题.例5已知函数f(1)当a=0时,证明:(2)若fx≥0在区间0【解】(1)略(2)按端点效应的方法:f'x=2xsinx−cosx+a(2cos下面考虑其他的方法:sin∵x令gx=tanx+asin2x解法一:参数分离当x=0时,gx=0令hh'当x∈0,当x∈π4∴h解法二:分类讨论g当a≤0时，2acos2x−1<0∴当x∈0,π4时，g'x<0 g∴当x∈0,x0时,g'x≥0,g当a>1时，x0>π4∴当x∈0,π4时，g'综上,a≥解法三:必要性探路端点值不行,说明函数在区间内某个极值点处也能取得最小值,g'x能因式分解,所以很容易找到函数的极值点,g∵gx≥0在0,π2上恒成立∴∵令p设π−2cos2x1−1=0,则x1<π4.∴当x∴gx≥综上,a【点评】这题解法三中gx有两个极值点,一个极值点是π例6(2025新课标1卷)已知函数fx(1)当a=1时,讨论(2)当x≥0时，fx【解】(1)略(2)按端点效应的方法:令gx=ex+g'x验证环节发现g'''x=解法一:参数分类当x=0时,gx=0;当令px=12x2+x+1ex,解法二:分类讨论ex+ax2−x−12x3−1≥0即12x3−ax2+x+1ex≤1.令φx=12x3−ax2+∴当x∈0,当x∈2,当x∈2a+∴φx≤解法三:必要性探路端点值不行，就找区间内能使函数取得最小值的极值点，设为x0,由gx∵当x≥0时,fx≥12x3+∵fx≥e令mxm当x∈0,9−e22时,m'x综上,a≥【点评】端点效应失效,函数一般至少有两个极值点,有些是极大值点,