选择题、填空题突破（2026年模拟题共3组42题）-冲刺2026年高考数学提分宝典（新高考适用）（五）（原题版及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页冲刺2026年高考数学分题型专项突破狂练小题（五）（题组1）（限时时间：40分钟试卷满分：73分）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．82．（2024·北京·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．24．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（

）A． B． C． D．5．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（

）A． B． C． D．06．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（

）A． B． C． D．7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．8．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（

）（1）存在与有无穷个交点（2）存在与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（

）A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴11．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________．13．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.14．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________．（题组2）（限时时间：40分钟试卷满分：73分）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（

）A． B． C．4 D．82．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（

）A．112 B．48 C．80 D．643．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（

）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．7．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（

）A．， B．，C．， D．，8．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（

）（若随机变量Z服从正态分布，）A． B．C． D．10．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（

）A． B．C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．13．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________．14．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________.（题组3）（限时时间：40分钟试卷满分：73分）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（

）A． B．C． D．2．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（

）A． B． C．10 D．3．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．86．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（

）A． B． C． D．7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（

）A． B．C． D．10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为11．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（

）A． B．点在C上C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为________．13．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.

冲刺2026年高考数学分题型专项突破狂练小题（五）（题组1）（限时时间：40分钟试卷满分：73分）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【分析】根据补集的定义即可求出．【详解】因为，所以，中的元素个数为，故选：C．2．（2024·北京·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得.故选：C.3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得，所以.故选：B.5．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根据独立事件的概率公式可求.【详解】因为相互独立，故，故选：B.6．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，因为，且两两之间距离为1．，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选：C.7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为，当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D8．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（

）（1）存在与有无穷个交点（2）存在与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.【答案】D【分析】由延展函数的定义分段求出解析式，作出函数图象，数形结合可得.【详解】当时，，则，又，则由延展函数定义可得；同理可得，当，；；任意，当时，.当时，，则，则；同理可得，当时，；；当时，；当，；当，；；则任意时，当.如图，作出与大致图像，因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立；又因为当，，故当时，直线与的图象在区间的函数部分重合，即有无穷个交点，故（2）成立；故选：D.【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数在各段的解析式及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（

）A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差【答案】BD【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，则，因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A错误；对于选项B：不妨设，可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数，标准差，，则平均数，标准差，显然，即，所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误；对于选项D：不妨设，则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD.10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC11．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，故D正确.故选：ACD.法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________．【答案】【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.【详解】令，则，又，故，令，则，令，则，故故答案为：.13．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.【答案】【分析】分与两段求解二次不等式可得.【详解】根据题意知.当时，,即，解得，则有；当时，,即，，即时，不等式都成立.综上所述，的的取值范围为.故答案为：.14．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________．【答案】【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；【详解】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且，由圆柱与球的性质知，即，，故答案为：.（题组2）（限时时间：40分钟试卷满分：73分）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．【详解】由可得，，所以，故选：B.2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（

）A．112 B．48 C．80 D．64【答案】C【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解.【详解】因为，所以当时，，当时，，经检验，满足上式，所以，令，，设数列的前n项和为，则数列的前项和为数列的前项和为.故选：C3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（

）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间【答案】C【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于A,根据频数分布表可知,,所以亩产量的中位数不小于,故A错误；对于B，亩产量不低于的频数为，所以低于的稻田占比为，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误.故选；C.4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A.6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.7．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最大值，阴影部分面积.故选：C.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．8．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值【答案】B【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.【详解】对于A选项：时，，当时，，任意的，恒成立，若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；对于B选项：若函数图像如下：当时，，时，，当，，∴存在在处取最大值，故B选项正确；对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，而是全体定义域，故C选项错误；对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.故选：B选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（

）（若随机变量Z服从正态分布，）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，，所以，故，C正确，D错误；因为，所以，因为，所以，而，B正确，A错误，故选：BC．10．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（

）A． B．C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为【答案】ACD【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确；对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，设，则，故，故，由A得，故即，故B错误；方法二：因为，因为双曲线中，，则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则，方法三：在利用余弦定理知，，即，则，则为直角三角形，且，则，故B错误；对于C，方法一：因为，故，由B可知，故即，故离心率，故C正确；方法二：因为，则，则，故C正确；对于D，当时，由C可知，故，故，故四边形为，故D正确，故选：ACD.11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体【答案】ABD【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．【答案】10【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，所以的展开式项的系数为.故答案为：1013．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________．【答案】2【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，圆的半径为，圆心到直线的距离为，故，解得；故答案为：2.14．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________.【答案】/【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得.【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故，：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故，：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种，故，所以.故答案为：.法二：依题意，假设随机变量，其中：其中，则，由于球的对称性，易知所有相等，则由期望的线性性质，得，由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，因此球至少被取出一次的概率为：，故，所以.故答案为：.（题组3）（限时时间：40分钟试卷满分：73分）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后结合交集的定义可求.【详解】，故，故选：D.2．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（

）A． B． C．10 D．【答案】A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由，则.故选：A3．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.4．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.【详解】由题知对一切成立，于是.故选：A5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C6．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，因为，且两两之间距离为1．，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选：C.7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.【详解】，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确；由诱导公式，，展开可得，即，下证.方法一：分类讨论若，则可知等式成立；若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，于是，与条件不符，则不成立；若，类似可推导出，则不成立.综上讨论可知，，即.方法二：边角转化时，由，则，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，则，若，则，注意到，则，于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，结合，而都是锐角，则，于是，这和相矛盾，故不成立，则方法三：结合射影定理（方法一改进）由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，则，可同方法一种讨论的角度，推出，方法四：和差化积（方法一改进）续法三：，可知同时为或者异号，即，展开可得，，即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.由，由，则，即，则，同理，由上述推导，，则，不妨设，则，即，由两角和差的正弦公式可知，C选项正确由两角和的正切公式可得，，设，则，由，则，则，于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.故选：ABC10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平