安徽省宣城市2025-2026学年高三数学上学期期末考试【含答案】

宣城市学年度上学期期末调研测试高三数学试题注意事项：本试卷满分分，考试时间分钟.答题前，考生先将自己的姓名､考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.考生作答时，请将答案答在答题卷上选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.考试结束时，务必将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算法则，求出，再由模长公式，即可得出结论.【详解】，所以.故选：A.2.已知集合，则集合中的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】的补集即第1页/共21页

可.【详解】根据特殊三角函数值可知，因为，所以，且；因为，所以，且；所以集合.又因为集合，则或；所以，元素个数是3个.故选：C.3.已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（）A.B.2C.3D.【答案】A【解析】【分析】根据非零向量的夹角为，在上的投影向量为，得出，然后利用化简计算即可得出.【详解】因为非零向量的夹角为，所以，又在上的投影向量为，所以，由，得即，所以，第2页/共21页

故选：A.4.“”是“”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式以及半角公式分别验证充分性、必要性可得结论.【详解】由，可得，利用半角公式可得，充分性不成立，当时，，可得，则必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.已知是定义在在上单调递减，的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可.【详解】由题意可知，当时，，在上单调递减，则的解集为；第3页/共21页

当时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为；所以，的解集是的解集是．因为不等式等价于不等式组或所以不等式的解集是．故选：D.6.已知数列的通项公式分别为的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断出数列项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列是以2为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以5为首项，以6为公差的等差数列，所以.故选：B.7.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】C第4页/共21页

【解析】【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得.【详解】由题意可得，当时，，此时，所以，求导可得，所以，所以切线方程为，即.故选：C.8.已知双曲线，若圆上存在点，使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，设PA中点为Q，根据中点坐标公式，可得QQ在渐近线上，代入可得P为圆M与直线的公共点，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式，计算化简，即可得答案.【详解】根据双曲线方程可得，渐近线方程，即，设，设PA中点为Q，由，得，因为Q在渐近线上，所以，即，所以点P为圆M与直线的公共点，由题意圆M的圆心为，半径为2，第5页/共21页

则圆心M到直线距离，所以，即，解得所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.某校进行数学竞赛，将120名参赛学生的成绩整理如下：成绩（分）频数82236281610根据表中数据，下列结论正确的是（）A.这120名学生成绩的极差一定为60分B.这120名学生成绩的平均数大于65分C.这120名学生成绩的中位数不小于70分D.这120名学生成绩大于70分的人数所占比例不超过【答案】BD【解析】【分析】利用频数分布表根据极差，平均数，中位数，百分位数计算方式可判断各选项正误.【详解】对于A，因为，，所以这120名学生成绩的极差介于40分至60分之间，故A错误；对于B，根据题中频数分布表可知，平均数为，因为，故B正确；对于C，由题可知成绩在，内的人有66人，占比为，则中位数小于70分，故C错误；第6页/共21页

对于D，这120名学生中成绩大于70分的频数不超过，占比为，所以这120名学生成绩大于70分的人数所占比例不超过，故D正确．故选：BD.10.已知正四棱台中，，则下述正确的是（）A.该四棱台的高为B.C.该四棱台的表面积为D.该四棱台外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】画出图形，连接交于点，连接交于点，连接，结合图形分析得出作交于AB积即可得出选项C，设出球的方程，代入坐标解方程可得球的半径，再利用球的表面积公式判断D即可.【详解】对于A，如图，连接交于点，连接交于点，连接，则在正四棱台中有，可得平面，故为四棱台的高，第7页/共21页

由平面，所以，过点作交于，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，在正四棱台中，由，所以，则，则，在直角三角形中，，得到四棱台的高为，故A正确；对于B，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，而，得到不成立，故B错误，对于C，由题意得该四棱台的表面积拆分如下，①正四棱台的上下两个正方形的面积：设上下两个面的面积分别为，则，②正四棱台的侧面积，在等腰梯形中，如图所示：第8页/共21页

过分别作垂直于交于点，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，所以，则，所以等腰梯形的面积如下，为，所以正四棱台的侧面积为，得到四棱台的表面积为，故C正确，对于D，设外接球的方程，将代入方程，得到，将代入方程，得到，两式相减得，解得，此时变为，将代入方程，得到，两式相减可得，解得，此时变为，将代入方程，得到，两式相减得，解得，则，由球的表面积公式得表面积为，故D正确.第9页/共21页

故选：ACD已知，动点满足直线与的斜率乘积为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（）A.点的轨迹方程为B.面积的最大值为C.不存在点，使得D.若直线过原点，则的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】先求出的运动轨迹是去掉左右顶点的椭圆并求出其方程，再利用椭圆的性质逐一分析即可求解.【详解】因由题可得，化简得到，所以点的运动轨迹是去掉左右顶点的椭圆，故选项A错误，面积为，椭圆中，故，故选项B正确；因为，所以，又，所以，所以，所以不存在点，使得，故选项C正确；若直线l过原点，则P,Q关于原点对称，，当P为椭圆短轴端点时有，所以直线过原点，则的最小值为2，故选项D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.第10页/共21页

12.现将4个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能去乙学校，则不同的分派方法共有__________种（用数字作答）.【答案】10【解析】【分析】分民警去乙学校和不去乙学校两种情况分析即可求解.【详解】若民警去乙学校，则不同的分派方法有种，若民警不去乙学校，则不同的分派方法有种，综上，不同的分派方法共有种.故答案为：10.13.已知正项数列满足的值是__________.【答案】【解析】为公比即可求解.【详解】由题得到，所以数列为公比的等比数列，利用等比数列性质得到，所以.故答案为：.14.已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________.【答案】【解析】第11页/共21页

【分析】根据偶函数定义，化简整理，即可得，利用换元法，根据其单调性求复合函数的值域即可.【详解】，因为其为偶函数，所以，即所以，解得.当时，，由解得，满足偶函数定义，故.所以，.令，，由二次函数图象和性质可知，当时，，当趋近于或3时，趋近于0，所以，的值域为；因为对数函数在上单调递增，令，根据单调性可知，当时，，且当趋近于0时，趋近于，所以的值域为.综上，函数的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若边上中线长为的角平分线交于点，求线段的长.【答案】（1）第12页/共21页

（2）【解析】1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出，应用角的范围求出角；（2）先根据中线得出，再左右两边平方结合余弦定理得出为直角三角形，最后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解.【小问1详解】根据题意，且，由正弦定理得，化简得，因为，所以，又，所以；【小问2详解】根据题意，在中，边上的中线长为，得，两边平方得化简，故有，解得（舍去）或.在中，，又，故为直角三角形，在中，，所以，又，第13页/共21页

所以根据正弦定理得，解得.16.某社区举办“公益知识闯关赛”100“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功.（1）若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；（2）记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差.【答案】（1）（2），【解析】1）根据题意设事件，结合已知条件利用全概率公式求出第二轮拓展知识比拼成功的概率；（2）先求两项任务均成功的概率，利用独立事件的性质得出闯关成功人数符合二项分布，最后利用二项分布的期望、方差公式计算求解．【小问1详解】设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”，由题意可知，，则，根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为：第14页/共21页

.【小问2详解】闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为：，因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果，故各参赛者的闯关成功事件相互独立，记为名居民中闯关成功的人数，则，所以数学期望，方差：.17.中，平面为的中点，为上靠近点的三等分点，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3上是否存在点平面明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，点是线段上靠近点的三等分点【解析】1）先证明平面，得到，再利用线面垂直的判定定理证明即可；第15页/共21页

（2）为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解；（3）假设在线段上存在点，设，利用平面列方程求解得即可求解.【小问1详解】证明：因为平面平面，所以，又，平面，所以平面.因为平面，所以.因为为的中点，，所以.又因为，平面，所以平面.【小问2详解】由题意，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，所以故.设平面的法向量为，则，取.设与平面设直线与平面所成角为，第16页/共21页

则所以与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】假设在线段上存在点，使得平面.设，则.由（2）知，所以，因为平面，平面的法向量为，故，解得.所以当点是线段上靠近点的三等分点时，平面.18.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意的实数、，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”.若当时，函数是“函数”，求实数的值.【答案】（1）极小值，无极大值（2）答案见解析（3）【解析】1）当时，可得，利用导数与函数极值的关系可求得函数的极值；（2的增区间和减区间；（3）设曲线与直线的切点为，根据“函数”的定义结合导数的几第17页/共21页

何意义可得出关于、的方程组，解之即可.【小问1详解】当时，函数，则，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，故有极小值，无极大值.【小问2详解】因为，所以，其中，①当时，，在上单调递减；②当时，令，得，可得，又为增函数，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.【小问3详解】当时，函数是“函数”，则，设曲线与直线的切点为，对函数求导得，第18页/共21页

则，故，即，所以且，设，由解得，当时，，则