2022-2023学年山东省淄博市沂源一中高二（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年山东省淄博市沂源一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线的倾斜角的大小为（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）已知点A（1，3）关于直线l：x﹣y﹣3＝0的对称点为B，则点B到直线l的距离为（）A． B． C． D．3．（5分）已知直线l的方向向量为，平面m的法向量为，则直线l与m所成的角为（）A． B． C． D．4．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B在椭圆上运动，当直线AB过椭圆右焦点并垂直于x轴时，△OAB的面积为（O为坐标原点），则椭圆的长轴长为（）A．2 B．4 C． D．5．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P为线段B1C1上一点，且，则＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为（）A．0 B． C． D．7．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣1，2）三个点，且O为坐标原点，满足，则直线AB与圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能8．（5分）抛物线E：x2＝4y与圆M：x2+（y﹣1）2＝25交于A、B两点，圆心M（0，1），点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是（）A．（6，12） B．（8，10） C．（6，10） D．（10，12）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（）A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面（多选）10．（5分）已知圆x2+y2+6x﹣8y+k＝0与圆x2+y2＝4，则下列结论正确的是（）A．若两圆外离，则k的取值范围是k＞16 B．当k＝﹣24时，两圆内切 C．若两圆相交，则k的取值范围是﹣24＜k＜16 D．当k＝4时，两圆相交于A，B两点，此时相交弦AB的长为（多选）11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，一条渐近线过点（2，），则（）A．双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B．双曲线C的离心率为 C．若F到渐近线的距离为2，则双曲线C的方程为 D．若直线l：x＝与渐近线围成的三角形面积为4，则焦距为6（多选）12．（5分）如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G为A2D2的中点，则下述选项正确的是（）A．平面B1GD1⊥平面AA2C1 B．三棱锥D1﹣B1CG的体积为 C．平面BC2D与平面B1GD1夹角的正弦值为 D．若P为空间一动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知直线l1：（m+2）x﹣y+2＝0与l2：3x+my﹣5＝0垂直，则m的值为．14．（5分）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为．15．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），F为右焦点，过点F作FA⊥x轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当∠ABF取得最大值时，双曲线的离心率为．16．（5分）为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人用三个半径均为10mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h＝6mm（如图所示），则R＝mm．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥．（1）求实数x，y，z的值；（2）求+与+夹角的余弦值．18．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，且PA＝AB＝3．（1）求平面PAD与平面EBC的距离；（2）若PA＝3BE，求直线PD与直线CE所成的角的余弦值．19．（12分）已知直线l经过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，若满足_____．（1）求直线l的一般式方程；（2）已知点M（﹣3，1），Q为直线l上一动点，求|MQ|+|OQ|最小值．试从①直线l的方向向量为；②直线l经过2x+3y﹣8＝0与x﹣y﹣4＝0的交点；③△AOB的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答．注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O的圆M（圆心M在第一象限）的半径为2，且与y轴正半轴交于点．（1）求圆M的标准方程；（2）设点B是直线上的动点，BC，BD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形BCMD面积的最小值．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，∠ACC1＝60°．D，E分别是线段AC，CC1的中点，二面角C1﹣AC﹣B为直二面角．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）若点P为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角P﹣BD﹣E的余弦值的取值范围．22．（12分）已知轨迹E上任一点G（x，y）与定点的距离和G到定直线的距离的比为．（1）求轨迹E的方程，并说明轨迹表示什么图形？（2）设点A（0，﹣1），B（0，2），过点A且斜率为k1的动直线l与轨迹E交于M，N两点，直线BM，BN分别交圆x2+（y﹣1）2＝1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，直线BM，BN的斜率分别为k3，k4．①求证：k3•k4为定值；②问：直线PQ是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由．

2022-2023学年山东省淄博市沂源一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线的倾斜角的大小为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】首先得到直线的斜率，然后可得答案．【解答】解：直线的斜率为，因为倾斜角的范围为[0，π），所以其倾斜角为60°．故选：B．【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角关系的应用，属于基础题．2．（5分）已知点A（1，3）关于直线l：x﹣y﹣3＝0的对称点为B，则点B到直线l的距离为（）A． B． C． D．【分析】点B到直线l的距离等于点A到直线l的距离，然后根据点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：因为点A（1，3）关于直线l：x﹣y﹣3＝0的对称点为B，所以点B到直线l的距离等于点A到直线l的距离，为，故选：C．【点评】本题主要考查了点关直线的对称点的求解，属于基础题．3．（5分）已知直线l的方向向量为，平面m的法向量为，则直线l与m所成的角为（）A． B． C． D．【分析】先计算直线的方向向量和面的法向量夹角的余弦值的绝对值，也即是线与面夹角的正弦值，由此即可选出选项．【解答】解：由题知，记直线l与平面m所成角为θ，则，所以直线l与平面m所成的角为．故选：A．【点评】本题考查直线的方向向量和面的法向量夹角的余弦值，属于中档题．4．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B在椭圆上运动，当直线AB过椭圆右焦点并垂直于x轴时，△OAB的面积为（O为坐标原点），则椭圆的长轴长为（）A．2 B．4 C． D．【分析】由题意可得，然后求解即可．【解答】解：令x＝c，由可得，即，所以，解得，所以椭圆的长轴长为2a＝4．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．5．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，点P为线段B1C1上一点，且，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据空间向量的运算，利用基底表示向量．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示：由题意可得，，又∵，，∴＝＝，即＝．故选：D．【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．6．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为（）A．0 B． C． D．【分析】利用坐标法，由题可得AC∥平面EMN，然后利用点到平面的距离的向量求法即得．【解答】解：如图建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），M（1，0，0），N（0，2，1），所以，，设平面EMN的法向量为，则，令x＝1，可得y＝1，z＝﹣1，所以，因为＝﹣2×1+2×1﹣1×0＝0，所以，又AC⊄平面EMN，所以AC∥平面EMN，故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离，又，所以点A到平面EMN的距离为，即直线AC与平面EMN之间的距离为．故选：B．【点评】本题主要考查了向量在直线与平面距离求解中的应用，属于中档题．7．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣1，2）三个点，且O为坐标原点，满足，则直线AB与圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能【分析】由题可得直线AB的方程，求出圆心（，2）到直线AB的距离，即可得出答案．【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣1，2），，∴，∴直线AB的方程为，即2x﹣4y+1＝0，∵圆，则圆心为，半径为，∴圆心到直线AB的距离为，故直线AB与圆相交，故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（5分）抛物线E：x2＝4y与圆M：x2+（y﹣1）2＝25交于A、B两点，圆心M（0，1），点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是（）A．（6，12） B．（8，10） C．（6，10） D．（10，12）【分析】过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得|MN|＝|NH|，△PMN的周长l＝|NH|+|NP|+|MP|＝|PH|+5，只需求得|PH|的取值范围即可得到结论．【解答】解：如图，可得圆心M（0，1）也是抛物线的焦点，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得|MN|＝|NH|，故△PMN的周长l＝|NH|+|NP|+|MP|＝|PH|+5，由，解得B（4，4）．PH的取值范围为（5，7）∴△PMN的周长|PH|+5的取值范围为（10，12），故选：D．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置的应用，利用抛物线的定义和性质进行转化是解决本题的关键，考查学生分析解决问题的能力、转化思想，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（）A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念，即可求解．【解答】解：对于A，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，单位向量的模长为1，则单位向量有，，，，，，共8个，故A正确；对于B，由图可知，与相等的向量有，，，共3个，故B正确；对于C，由图可知，向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确；对于D，∵，向量有一个公共点A1，又∵点A1，B1，D1都在平面A1B1C1D1内，点A在平面A1B1C1D1外，∴向量不共面，不符合题意，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念，属于基础题．（多选）10．（5分）已知圆x2+y2+6x﹣8y+k＝0与圆x2+y2＝4，则下列结论正确的是（）A．若两圆外离，则k的取值范围是k＞16 B．当k＝﹣24时，两圆内切 C．若两圆相交，则k的取值范围是﹣24＜k＜16 D．当k＝4时，两圆相交于A，B两点，此时相交弦AB的长为【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径之间的关系，以及垂径定理，即可依次求解．【解答】解：设⊙M：x2+y2+6x﹣8y+k＝0，即（x+3）2+（y﹣4）2＝25﹣k，∴25﹣k＞0，解得k＜25，∴圆心M（﹣3，4），半径为，设⊙N：x2+y2＝4，∴圆心N（0，0），半径为r2＝2，∴圆心距d＝MN＝5，，，对于A，∵两圆外离，∴，即，解得16＜k＜25，故A错误，对于B，∵k＝﹣24，∴，∴d＝|r1﹣r2|，∴两圆内切，故B正确，对于C，∵两圆相交，∴，即，解得﹣24＜k＜16，故C正确，对于D，∵k＝4，∴⊙M：x2+y2+6x﹣8y+4＝0，∵AB所在的直线方程为两圆方程之差，∴AB所在的直线方程为3x﹣4y+4＝0，∴d＝，∴|AB|＝＝，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查圆心距与两圆半径之间的关系，以及垂径定理，属于中档题．（多选）11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，一条渐近线过点（2，），则（）A．双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B．双曲线C的离心率为 C．若F到渐近线的距离为2，则双曲线C的方程为 D．若直线l：x＝与渐近线围成的三角形面积为4，则焦距为6【分析】由已知可得a＝b，求出两双曲线的渐近线方程判断A；求得离心率判断B；由F到渐近线的距离列式，结合a＝b求得a与b的值，得到C的方程判断C；由三角形面积求解c，得到焦距判断D．【解答】解：由题意，直线y＝x过点（2，），则＝，即a＝b，所以渐近线方程为y＝±x，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，故A正确；∴双曲线的离心率e＝＝，故B错误；不妨取双曲线C的一条渐近线方程为x+y＝0，由F（c，0）到渐近线的距离为2，可得＝2，即c＝2，可得，解得a2＝8，b2＝4，∴双曲线C的方程为﹣＝1，故C正确；在y＝±x中，取x＝，得y＝±，则直线l与渐近线围成的三角形的面积S＝×××2＝4，即＝2，又a2+b2＝c2，a＝b，解得c＝3，∴焦距为2c＝6，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．（多选）12．（5分）如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G为A2D2的中点，则下述选项正确的是（）A．平面B1GD1⊥平面AA2C1 B．三棱锥D1﹣B1CG的体积为 C．平面BC2D与平面B1GD1夹角的正弦值为 D．若P为空间一动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π【分析】对于A，由面面垂直的判定定理判断，对于B，根据题意由求解，对于C，如图建立空间直角坐标系求解，对于D，如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆．【解答】解：对于选项A，连接B1D1，∵AA2⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴B1D1⊥AA2，又∵B1D1⊥A1C1，AC∥A1C1，∴B1D1⊥AC，又AA2∩AC＝A，AA2，AC⊂平面AA2C1，∴B1D1⊥平面AA2C1，故A正确；对于选项B，由等体积法可得，，故B错误；对于选项C，以A为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：∴，∴，设平面BC2D的法向量为，则，取x＝2，得，设平面B1GD1的法向量为，则，取a＝2，得，设平面BC2D与平面B1GD1夹角为θ，由图可知θ为锐角，∴，∴，∴平面BC2D与平面B1GD1夹角的正弦值为，故C错误；对于选项D，如图可知P点轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆，∴轨迹的长度为，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥的体积公式，以及利用空间向量求两平面夹角的正弦值，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知直线l1：（m+2）x﹣y+2＝0与l2：3x+my﹣5＝0垂直，则m的值为﹣3．【分析】根据两条直线垂直的充要条件建立方程求解即可．【解答】解：因为直线l1：（m+2）x﹣y+2＝0与l2：3x+my﹣5＝0垂直，所以3（m+2）﹣m＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．14．（5分）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为．【分析】根据投影向量的定义即得．【解答】解：，向量为单位向量，，则＝3，则向量在向量方向上的投影向量为＝3．故答案为：．【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．15．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），F为右焦点，过点F作FA⊥x轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当∠ABF取得最大值时，双曲线的离心率为．【分析】根据题意F（c，0），A（c，），B（﹣c，﹣），k1＝kBF＝，k2＝kBA＝＝2k1，由tan∠ABF＝，可得b2＝ac取最值，可求离心率．【解答】解：如图：根据题意F（c，0），A（c，），B（﹣c，﹣），∴k1＝kBF＝，k2＝kBA＝＝2k1，∴tan∠ABF＝＝≤，当且仅当k1＝＝时等号成立，即b2＝ac，∴c2﹣a2＝ac，∴e2﹣e﹣1＝0，∴e＝或e＝（舍去），故答案为：．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，考查利用基本不等式求最值，属中档题．16．（5分）为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人用三个半径均为10mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h＝6mm（如图所示），则R＝mm．【分析】设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N，点D为线段OO2与圆O2的交点，然后利用△O1NO2∽△OMO2求解即可．【解答】解：如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N，点D为线段OO2与圆O2的交点，因为DE＝h，所以O2N＝10﹣DN＝h，因为∠O1NO2＝∠OMO2＝90°，∠O1O2N＝∠OO2M，所以△O1NO2∽△OMO2，所以，所以，解得，故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥．（1）求实数x，y，z的值；（2）求+与+夹角的余弦值．【分析】（1）由向量的平行和垂直可得关于xyz的关系式，解之即可求得结论；（2）由（1）可得向量+与+的坐标，进而由夹角公式可得结论．【解答】解：（1）因为∥，所以＝＝，解得x＝2，y＝﹣4，故＝（﹣2，﹣4，﹣1），又因为⊥，所以•＝0，即﹣6+8﹣z＝0，解得z＝2．（2）由（1）可知＝（2，4，1），＝（3，﹣2，2），所以+＝（5，2，3），+（1，﹣6，1），所以（+）•（+）＝5﹣12+3＝﹣4，|+|＝＝，|+|＝＝，设+与+的夹角为θ，则cosθ＝＝﹣．【点评】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．18．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，且PA＝AB＝3．（1）求平面PAD与平面EBC的距离；（2）若PA＝3BE，求直线PD与直线CE所成的角的余弦值．【分析】（1）根据题意，利用线面平行的判定先证BC∥平面EBC，同理可得PA∥平面EBC，然后利用面面平行的判定证明平面PAD∥平面EBC．将面到面的距离转化为点到面的距离即可求解；（2）在PA上取一点F使得AF＝BE，连接EF，DF，证明FD∥EC，说明∠PDF为直线PD与直线CE所成的角，在△PDF中利用余弦定理即可求解．【解答】解：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD，BC⊂平面EBC，AD⊄平面EBC，所以BC∥平面EBC，因为PA∥BE，同理PA∥平面EBC，又PA∩AD＝A，所以平面PAD∥平面EBC．所以点A到到平面EBC的距离即为平面PAD与平面EBC的距离．因为AB＝3，且AB为点到A到平面EBC的距离，所以平面PAD与平面EBC的距离为3．（2）如图所示，在PA上取一点F使得AF＝BE，连接EF，DF，则四边形ABEF为平行四边形，所以四边形DCEF为平行四边形，所以FD∥EC，则∠PDF为直线PD与直线CE所成的角，在△PDF中，PD＝3，由余弦定理可得：cos∠PDF＝．所以直线PD与直线CE所成的角的余弦值为．【点评】本题考查平面间的距离以及异面直线所成的角，属于中档题．19．（12分）已知直线l经过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，若满足_____．（1）求直线l的一般式方程；（2）已知点M（﹣3，1），Q为直线l上一动点，求|MQ|+|OQ|最小值．试从①直线l的方向向量为；②直线l经过2x+3y﹣8＝0与x﹣y﹣4＝0的交点；③△AOB的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答．注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分．【分析】（1）利用三种不同的条件，求出直线l的斜率，得出直线的点斜式方程，在转化为一般式即可．（2）设点M（﹣3，1）关于直线l的对称点为M'（a，b），利用中点坐标在直线上和两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程组求出对称点的坐标，利用对称即可求得最短距离．【解答】（1）解：若选①，由直线l的方向向量为得，直线l的斜率为，所以直线l的方程为，所以直线l的一般式方程为x+2y﹣4＝0．若选②，直线l经过2x+3y﹣8＝0与x﹣y﹣4＝0的交点，联立，解得x＝4，y＝0，所以交点坐标为（4，0），直线l的斜率为，所以直线l的方程为，所以直线l的一般式方程为x+2y﹣4＝0．若选③，由题意设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），则，则，所以直线l的一般式方程为x+2y﹣4＝0．（2）解：设点M（﹣3，1）关于直线l的对称点为M'（a，b），由题意得，，解得a＝﹣1，b＝5，所以M'（﹣1，5），．【点评】本题主要考查了直线方程的点斜式方程的应用，还考查了点关于直线的对称点的求解，属于中档题．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O的圆M（圆心M在第一象限）的半径为2，且与y轴正半轴交于点．（1）求圆M的标准方程；（2）设点B是直线上的动点，BC，BD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形BCMD面积的最小值．【分析】（1）设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由y轴上的弦长及半径得圆心坐标，从而得圆方程；（2）由四边形的面积取得最小值时，则切线长最小，从而|BM|最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算可得．【解答】解：（1）设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由题意得，，所以，解得，a＝1，∴圆心M的坐标为．∴圆M的标准方程为．（2）∵四边形BCMD的面积，在Rt△BCM中，，要使四边形BCMD面积最小，则|BM|最小即可．此时BM⊥l，∴，所以，∴四边形BCMD面积的最小值为．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，∠ACC1＝60°．D，E分别是线段AC，CC1的中点，二面角C1﹣AC﹣B为直二面角．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）若点P为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角P﹣BD﹣E的余弦值的取值范围．【分析】（1）由题意得A1C⊥DE，利用线面垂直判定定理得BD⊥平面AA1C1C，可得BD⊥A1C，即可证明结论；（2）利用线面垂直判定定理得C1D⊥平面ABC，建立以D为坐标原点，以DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系D﹣xyz，设P（x，y，z），＝λ（0＜λ＜1），求出两个平面的法向量，利用向量法，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：连接AC1，如图所示：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1，∵D，E分别为AC，CC1中点，∴DE∥AC1，∴A1C⊥DE，又D为线段AC中点，△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，又二面角C1﹣AC﹣B为直二面角，即平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，又BD∩DE＝D