江苏省镇江市2025-2026学年高一年级上册期末数学试题

江苏省镇江市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集U={0/23,4},集合4={01,2},集合8={1,2,4},则()

A.{3}B.{4}C.{3,4}D.{0,1,2,4）

2.是“sina〉sin«”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”.则一年内在“节气圆周”上从立春

节气点旋转到立冬节气点，旋转角的大小为（）

5万3共

A.B.乃C.D.

4~2

4.已知函数/（x）=f+x-l的零点为x=x”,则与最接近的数为（）

7

A—D.

A.2c18

5.已知关于x的方程2/一工+〃=0的两个根为sina,cosa,a€（0,兀），贝Usin'a+cos^a=

（）

A.-25不

B.-c.11D.

4816

6.把函数y=2sin2x+?的图象向右平移?个单位长度，再将横坐标、纵坐标都变为原来

4J4

的g倍，所得到的图象对应的函数解析式为（）

A.y=sinxB.y=4sin4x

zX..(哈

C.y=sin4x——D.y=4sinx——

试卷第1页，共4页

7.心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性

变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数

p"）=ll（）+25sin（150叫，p"）为血压（单位：mmHg）,Z为时间（单位：min）,则相邻的

收缩压和舒张压间隔时间是（）

八厂・

A.---1-min.B.---1--mi•nC.—1minnD.—1min

1501007525

14

8.已知函数/（x）=|lTgx|满足/（再）=/（当）（王”马），则一+一的最小值为（）

X]x2

二、多选题

9.已知点2和-2小）（加工0）是角a终边上的一点，则（）

A.当〃।=1时，siua=-2"

5

B.角。为第四象限角

C.tana=-2

D.sina•cosa<0

10.若集合/='=〃兀+],%GZ-,B-=2kit+eZ-,C=|x=2kiteZ

则下列说法正确的是（）

A.5f）C=0B.AC\B=B

C.A\JC=CD.B\JC=A

e"+1+1x<1

11.已知函数/（x）=1,，则（）

ln（A-l）+x,x>I

A./（/（0））=2

B./（%）有两个不同的零点

C.函数/&）为增函数

D.若〃?>〃，且有力加）=/（〃）成立，则加=/+1

三、填空题

12.已知函数函外满足:对任意xeR,/（x+兀）=/*）,/（--r）=/（x）,请写出满足条件

的一个函数/（外=.

试卷第2页，共4页

13.函数/(x)=d-2x2-x+2所有零点的倒数和为.

14.对VxeR,不等式ksin2x+(4k+l)sinx+4A+l之0恒成立，则实数上的取值范围

为.

四、解答题

15.(1)求下列各式的值:

①sin(-495°)-tan960°+cos270°；

27、3,

-log4Iog9lg8+lne-lg5:

125>271

,、1-sinacosa-cos2a_

(2)若tana=2,求--------------；—的值.

(sina-cosa)一

16.已知用“五点法”作函数/(x)=/sin(@x+e)(A>0,①>0,]<|。|<兀)在一个周期上

的图象时，部分数据如下表:

717兀137t4n

Xa

313~nT

TC3兀

cox+(p0712九

2T

fM0b0-20

(1)写出4,力的值，并求/(X)的解析式;

(2)作出/㈤在《，争内的图象;

(3)当工€[-9,口时,求/㈤的值域.

36

17.已知函数/(x)=2cos'x-3/cosx-2(x,ZGR).

⑴对守，不等式/(幻20恒成立，求/的取值范曲

JJ

⑵对不等式/*)40恒成立，求x的取值范围.

18.如图所示，已知公路人[相互垂直，村委会产到公路4,4的距离分别为10()m和200

m,为了方便村民，政府现决定修一条经过村委会产的公路45,公路44与路心连接,

这三条公路围成绿化区域*不计路的宽度.

试卷第3页，共4页

（I）请在下面三个变量中，选择一个变量，将绿化区域。/夕面积表示成你所选择变量的函数

关系式（如果多选，以选择的第一个给分）；

①设N/40=e；②设/P=a；③设=

（2）求绿化区域OAB面积的最小值.

19.已知函数/（.¥）=2*+h2T—3（左€R）.

⑴当％=4时，证明函数尸/⑶的图象关于直线x=1去称；

⑵当4>0时，证明：/（戈）在上为增函数，在（』>,；唯2%）上为减函数:

（3）若函数/（X）有且只有2个零点，求左的取值范围.

试卷第4页，共4页

《江苏省镇江市2025-2026学年高一上学期期末数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADDBCCABACDABD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】应用集合的并、补运算求集合即可.

【详解】由题设4U8={0,l,2}U{L2,4}={0,l,2,4},U={0,1,2,3,4},所以=⑶.

故选：A

2.D

【详解】试题分析：取。»，夕=0,可知。>/不是sina〉sin4成立的充分条件，取a=],

夕=2不，可知a>〃不是sina>sin〃成立的必要条件.

考点：充分必要条件.

3.D

【分析】根据给定的“节与圆周”直接求出旋转角.

【详解】在“二十四节气圆周”图中，从立春节气点旋转到立冬节气点旋转了圆周的工，

所以旋转角的大小为粤X27T=".

242

故选：D

4.B

【分析】根据给定条件，利用二分法，结合选项确定与所在区间即可.

【详解】函数/（x）=f+。-1）在R上单调递增，/（;）=:-：=-浓/⑴=1#，则与日■）,

2X282

p，/3、2711113、125367八53.

又/（一）=-----=—>0n,则nil.％£（_,一）,而八_）=-------=-----<0,贝nil（z一,T,

,46446402485128512084

37

-<-,

又八9=&噌=*°，因此与竦养，白沁。〈〜48

55

<11.-

而0<X。8-8-

169沁拼JEM所以与“。最接近的数取

故选：B

5.C

【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，由^…。孔印求出利用立方

答案第1页，共9页

和公式进行求解，得到答案.

【详解】由韦达定理得sina+cosa=；,sinacosa=y,

又sin?a+cos2a=1,故(sina+cosa『-2sinacosa=a=1,解得a=-(,

故sin，a+cos,a=(sina+cosa)(sin%-sinacosa+cos'a)

=(sin/7,+cos/7,)(1—sinrzcosrr)=-^x1+^)=-^.

故选：C

6.C

【分析】根据三角函数图像平移方法，直接求解函数解析式即可.

【详解】把函数y=2sin(2x+力的图象向右平移?个单位长度后，

44

可得y=2sin2x-

再将横坐标、纵坐标都变为原来呜倍，可得尸对4右

故选：C

7.A

【分析】根据给定条件，利用正弦函数周期公式求解即可.

2兀1

【详解】函数〃(/)=11()+25$皿15(玩。的最小正周期为7=—=1亩，

150兀;7；5711

所以相邻的收缩压和舒张压间隔时间是,二专111亩.

故选：A

8.B

【分析】根据给定条件可得100,再利用基本不等式求出最小值.

【详解】函数/(x)=|lTg)的定义域为由/(xJ=/(wXx=1)，

f#|l-lgx1|=|l-lgx2|,而函数y=lgx在(0,xo)上单调递增，即Igx尸IgM，

14r142

因此(l-lg芭)+(l-lg%2)=0.即玉々二100,则nl工+三2七.「

14142

当且仅当丁Z即'―。取等号，所以「三的最小值为

答案第2页，共9页

故选：B

9.ACD

【分析】根据三角函数的定义分别对每个选项进行判断即可.

【详解】由三角函数的定义可得

m,-2m

x=ni,y=-2m,r=J"2+卜J=|Jana=---=-2

V5fn|m

-22^5

对于A,当〃7=1时，P(l,-2),此时尸=石,故A正确,

TT一丁'

对于B,当机>0时，x=m>0,y=-2m<0,。在第四象限；

当机<0时，x=m<0,y=-2m>0,a在第二象限，故B错误，

对于C,根据三角函数的定义可知tana=二"二-2,故C正确，

W

,.一2巾ni-2加22.&

对于D,sincr.cosor=-=--x-=--=-^-=—<(,故D正确.

x/z5|w|yl5\m\5m5

故选：ACD.

10.ABD

【分析】由集合中元素的特征可判断结论.

【详解】因为z}=・x卜=(及)兀+,所以

因为C={x|x=2/at—AeZ-=-x|x=2kt-n+^,kGL

=、x|x=(2A—1)兀+z},所以CqA,

又2%-1是奇数，2A是偶数，

所以8口。=0,4nB=B,AuC=A,8UC=Z，故ABD正确，C不正确；

故选：ABD.

11.ABD

【分析】求出函数值判断A；利用零点存在性定理确定零点个数判断B；利用增函数的意义

举例说明判断C；利用单调性推理判断D.

【详解】函数，

[ln(x-l)+x,x>1

对于A,/(0)=2,则/(.f(0))=/(2)=2,A正确；

答案第3页，共9页

对于B,函数)，=e',y=x+l在(-8j上单调递增，则/□)在(-8,“上单调递增，

而/(-2)=!-lvOJ(—l)=」>0,则函数/*)在(—4］上有唯一零点，

1C

函数)，=111(》-1)4=%在(1,+8)上单调递增，则/(X)在(1,+8)上单调递增，

而冠+1)=!-1<OJ⑵=2>0,则函数/⑶在(L+oo)上有唯一零点,

e'e，

因此函数/(x)有两个不同的零点，B正确；

对于C,由于0)=2,〃2)=2,得函数/⑴不是单调函数，C错误；

对于D,由选项B知，/⑴在(~<»,1］,(1,y)上都单调递增，由〃且/(/〃)=/(〃)，

得〃W1<〃？，贝!)e"+1>1，/(e/,+I)=ln(ezl+1-1)+ert+1=ez/+/?+1=/(〃)=/(w)»

因此机=en+1»D正确.

故选：ABD

12.cos2x(答案不唯一)

【分析】根据给定条件，写出定义域为R,周期为兀的偶函数即可.

【详解】函数/(X)满足：对任意XWR,/(x+7t)=/(x),/(-x)=/(x),

则函数/(X)是定义在R上周期为兀的偶函数，函数y=cos2x是定义在R上周期为7T的偶函

数，

因此符合条件的一个函数/(X)=C0S2X.

故答案为：cos2x

13.g/0.5

2

【分析】求出函数/(x)的零点，进而求出它们的倒数和.

【详解】由/G)=0,得(x—2)(x—l)(x+l)=0,解得$=-1,石=1,看=2,

所以所有零点的倒数和为1+;十三=—.

—1122

故答案为：y

14.［0,+动

【分析】不等式等价于婷+(4%+1“+4左+120在法卜1,1］上恒成立，变形得到八君会在

T-1

L1］上恒成立，结合飞卜1刀得到不了最大值为°,故〃之0,实数片的取值范围为

答案第4页，共9页

［（）,+8）.

【详解】由于Sinxc［-l,l：,故不等式等价于卜2+（必+1）/+必+出0在/上恒成立,

-/-I

变形得至北（1+2）2之T-1,左之后可在上恒成立,

其中潟=爸芋=号号T）T

1+2e[1,3],

1-t-\（iiY।

故当77ri,即-时宙不育出方取得最大值’最大值为。,

故％20,实数人的取值范围为［0,+8）.

故答案为：［0,+。）

15.（1）①一①一6；②工（2）2

23

【分析】（1）①利用诱导公式和特殊角的三角函数值进行计算；②利用指数和对数运算法则

计算出答案；

（2）利用同角三角函数美系，齐次化，化弦为切，代入求值.

【详解】（1）

®sin（-495°）-tan960°+cos270°=sin（-135°-360°）-tai（一120。+10814eos（90°480）F

=sin(-135°)-tan(-120°)-cos90°=sin(45°-180°)-tan^0°-180°)-0

=-sin45°-tan60°=-枢;

2

②信3T°g274bg|9Jg8+lne2.1g5=g-察密31g2+2lg5

U25；4pjJIg27ig4

⑶T+翳，3Ig2+2，g5H'也2+21g5,+1lg2+lg$+2

,八一辽1一sinccosa-cos2asin2tz+cos2a-sinarcosa-cos2a

(2)tana=2,故-----：--------/一=———~~—-------------：-----

(sina-cosa)sina-2sinacosa+cos-a

sin?a-sinacosatat?a-tana4-2、

=-；------------------；—=—；------------=------=2.

sin'a-2sinacosa+cos'atarra-21antz+i4-4+1

答案第5页，共9页

16.(1)«=—,6=2,/(.r)=2sin(2x---)

63

(2)作图见解析；

(3)[-2西

【分析】（1）根据给定数表列出方程组求出◎,2d彳力即可.

（2）利用描点法作出函数图象.

（3）求出在指定区间上相位的范围，再利用正弦函数性质求出值域.

n八

—<y+夕=0

；,解得侬=2,*=-弓，经验证符合题意,

【详解】（1）由给定数表，得

7nn3

——0+°=一

122

因此6y=2,e=-2，f(x)=Jsin(2x--),由2〃一幺■=?:,解得。=2，

3336

由/(岩)=-2,EP/lsiny=-2,得力=2,则/(x)=2sin(2x—学，Z>=/(y1)=2sin|=2,

所以4=V"=2，/(x)=2sin(2x—争.

（2）由（1）及数表，在平面直角坐标系中描点，作出函数图象，如图:

争，

由得2工一争［卡,一手，贝［吟—年）€［—1,当，-2<7（x）<x/3,

所以/（x）的值域是［-2,右］.

17.(I)z<-1；

(2)y+ATI<x<-^+ATU,eZ.

【分析】（1）求出cosx范围，再分离参数构造函数，利用换元法，结合单调性求出最小值

即可.

（2）函数/&）可视为，的一次型函数，由此建立不等式，再求解三角不等式即可.

答案第6页，共9页

【详解】(1)当xwl-5,?时，cosxe[y,1],fix)>0<=>2cos2x-3rcosx-2>0

<=>^<|-(cosx——!一)恒成立，令cosx=〃,函数y=在[：/]上单调递增，

3cosx2u2

13I3,2/3、,

则当〃时，ymin=--,因此(cosx-Z-丁隼・%）一

cosx

所以/的取值范围是G-L

(2)不等式/(x)V0c2cos2x-3tcosx-2«0<->-(3cosx)/+2cos'x-2«0,

令ga)=-(3cosx)/+2cos%-2je[-l,l],显然函数g0)是一次型函数,

g(-l)=3cosx+2cos2x-2<0

由g⑴£0恒成立，得

g(l)=-3cosx+2cos2x-2<0

(2cos.r-l)(cosx+2)<0，/口

即(2COSA+1)(COSA:-2)<0解得-<cosx<-，又xeR，

22

因此g+@+E,AeZ,所以x的取值范围是g+型+E,左eZ.

JJJJ

瓜⑴邑…500。即出上4，J衅

2）

(2)40000m2

【分析】（1）根据所设变量，结合几何关系即可求出绿化区域。力8面积的函数关系式;

（2）利用基本不等式即可求出绿化区域OAB面积的最小值.

【详解】（1）选择①设过点尸分别作尸。L1于点。，作PC1/2于点C,

又村委会产到公路4，4的距离分另U为100m和200m.PC=200m.PD=100m.

在RLPHO中，NPBD=B,:.BD=--,

tan6^

、PC

在中，/P4c=90。一。，/.tan(90°-6>)=—=AC=2()0lan。，

AC

二.OA=200tan0+100,OB=+200

lan。

•・•△044为直角三角形,

答案第7页，共9页

SO.B=-x6>Jx(92?=-(200tan6>+100)f-^-+20ol=50()of4tan6>+—!—+4^

22\tan6/)(tan夕J12)

故绿化区域OAB面积表示成你所选择变量的函数关系式为=5000(4tan。+4

\tan夕

(2)由(1)可知,S^1R=500014tan0+—!—+4|

\tan。J12J

根据基本不等式可得4tan0+—!—22j4tan8x-!—=4,当且仅当4lan6=-1,即

tan0Vtan6tan0

ian6=；时等号成立,

S40AB=50004tan6++4j>5000(4+4)=40000m2,

即绿化区域OAB面积的最小值为40000m+

19.（I）证明过程见解析：

（2）证明过程见解析;

⑶危）

【分析】（I）攵=4时，则/（2-x）=/（x）,所以歹=/（冷的图象关于直线x=l对称;