广东省广州市某中学2025-2026学年高三年级上册12月市调测考试数学试题

广东省广州市真光中学2025-2026学年高三上学期12月市调测

考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜".-3<0},8={1,2},则()

A.{1}B.{-2,—1,0,1,2}C.{-2,—1,1,2}D.1-1,0,1,2}

2.若复数z=(l-2i)(i+3),则|z|=()

A.475B.5&C.2x/5D.272

3.已知向量aB满足：|H=2，W=J5,且卜-2同=2,则75的夹角为()

A.B.@C.三D.巴

6336

4.已知数列{q},也}都是等差数列，且生=3,&=7,%+己=100,则数列{可+编的

前10项的和为()

A.550B.450C.1100D.900

5.若tana+sina=l,则cos[a+f]=()

2-V2V3-1

c.V2-1D.>/3-1

22

6.已知双曲线C:J—，=l(4>0/>0)的左、右焦点分别为小鸟，恒图=4,直线/:工1

截c的两条渐近线所得的线段长为G，则。的方程为()

22222

A.---y2=lB.x2-^-=lC.---二=1D.---y2=1

33222-

7.在三棱锥。—A4c中，42_1平面%用45二11,「。=8,/尸区4=2,直线PC与平面ABC

所成的角为则三棱锥。-A3C的体积为(

A.116B.1175C.22x/3D.22后

r<1

8.已知函数/(x)=(，的值域为R，则〃的取值范围是(

A.(-00,e]B.|0,e)C.Ee]D.(^e-']U[e,+oc)

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.若事件C,D满足P（C）,P（D）«O,1）,且P（O|C）=P（O）,则C。相互独立

B.数据2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,14,16的第75百分位数为11

C.已知随机变量X-8（1（）,0.2）,Y=2X+1,则。“）=4.2

D.回归分析中，决定系数R?越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好

10.如图，在四面体48co中，45=4?=4。=仪>=4,8。_15。,5。=2,£为47的中点,

则（）

A.平面A6J■平面BCO

B.点。到平面A8c的距离为名叵

3

C.直线DE与平面A8C所成角的正弦值为短

5

D.点E到直线8。的距离为班

3

II.已知函数/（村=而"+£）（。>°）的图象是由曲线kSU上各点横坐标变为原来的;后,

向右平移0（0<0<仁）个单位长度所得.1己。=[4〃+20（0<〃（号）贝I」（）

A.（o（p<\

B.曲线）、=/（工+。）关于点（。,0）中心对称

JT51T

C.若/（X）在区间。上单调递减，则〃的取值范围是

_1O1O_

yr2冗4TE57r

D.若/（%）在区间。上有零点，则，的取值范围是

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2台加工的次品率为

5%,加工出来的零件混放在•起，已知第1,2台车床加工的零件数分别占总数的25%,75%,

现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率

是.

13.已知圆U(X-3)2+)，2=9,过点P(-1,-2)作C的两条切线，切点分别为E,F,见直线

律的方程为.

14.在VA8C中，A=g，且6sinB+cosB=2,则。=；若点。满足成=2丽，

且AAC。在A。上的高为1,则V/WC的面积为.

四、解答题

15.记S”为数列｛%｝的前〃项和，且q=l,2Sn+1-\=2n+2.

⑴求。2；

(2)证明：包-2｝为等比数列；

⑶求S”.

16.为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：

单位：人

患病晴况

服用情况

患病不患病

服用中药预防方10090U

不服用中药预防方400600

(1)从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，3表示事件“选

到的人不患病利用该调查数据，求尸⑷8),P(4闾的值.

(2)以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续

抽10天,每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X,求X的期望.

17.如图，在平行六面体48c。一A4GR中，^BAD=ZBAA.=ADAA.=60,E是棱的

中点，记A氏九AD=b»阳"=

(2)若/W=AO=2,叫=3,点M满足而=3苕+衣0,eR),且丽两，求|丽

18.已知双曲线/一)，2=1的左、右顶点分别为A/,A2,动直线/：丁=6+〃?与圆/+>2=1相

切，且与双曲线左、右两支的交点分别为，(4，x),P?5,乃).

⑵记直线P/A/的斜率为幻，直线2242的斜率为依，那么*隹是定值吗？证明你的结论.

19.设函数〃x)=asiar+Acosx,x«0,可,。之1.

⑴求证：函数不单调；

(2)当4=1时，求证：/(A)<2；

TT

⑶若+攵的解集为-,K,求实数攵的取值范围.

试卷第4页，共4页

《广东省广州市真光中学2025-2026学年高三上学期12月市调测考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DBDAABDAADAC

题号11

答案ACD

1.D

【分析】求出集合人，再根据并集含义即可得到答案.

【详解】A=1x€Z|x2-3<0}=|xeZ|->/3<x<^={-l,0,l},

则AU4={TOJ2}.

故选：D.

2.B

【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】因为z=（l-2i）（i+3）=i+3-2i2-6i=5-5i,

所以忖=/2+（-5）2=同=5夜,

故选:B.

3.D

【分析】首先计算,-2可,再根据数量积公式，即可求解.

【详解】因为卜一力|=2,所以忸_2/；（=万2・4而+4户=4,所以4一8八os9+12=4,

8e[0,可，所以cosO=所以。=弓.

故选：D.

4.A

【分析】由等差数列的下标和性质和前〃项和公式求解即可.

【详解】由等差数列的性质知：4+%=生+外,乙+%=打+勾，

所以数列{〃“+”}的前10项的和为：

10,；40）+10伯；%）=5（%+/）+5（4+%）=5（%+4+为+%）=5><]]0=550.

故选：A.

5.A

答案第1页，共12页

【分析】根据同角三角函数基本关系式及和两角和与差的三角函数公式可得.

【详解】由tana+sina=l,再由同角三角函数关系得，油区+sina=l,

cosa

即cosa-sina=sinacosa,两边平方得1一2$亩次09(2=6亩次09口);?，

令，=sinacosa=gsin2aw[-g,g],则1一2/=/，解得r=一1+或/=一1一&(舍去)，

所以cosa-sina=sinacosa=-1+5/2»

cos(a+：)=cosacos：-sinasin：=¥(cosa-sina)

故选：A.

6.B

【分析】根据条件确定2=百，再根据焦距公式和双曲线的性质，即可求解.

a

【详解】设g(a0)(c>0),则出闾=2c=4,故C=2,

由题意可得C的两条渐近线为y=±-x,令x=!可得)，=±二，

a22a

所以2=642=/+〃，故a=]/=G，所以C的方程为x2-《=i.

a3

故选：B.

7.D

【分析】作Q/)_LAA，可证Q/)_L平面A8C,由线面夹角可得NPCO=g,求相应长度即可

得体积.

【详解】作叨_LA3,垂足为。，连接C。，

C

因为AC_L平面A及PQu平面八43,则48工AC,PDLAC,

旦A8cAC=A,A8,ACu平面48C,可知P£>_L平面A8C,

可知直线PC与平面ABC所成的角为NPCO=m,

且PC=8,则PO=46,CO=4,

答案第2页，共12页

又因为48=11,/P8A=m，则8。=12,AD=\,

且A8/AC，可得AC=JCZ^-AD2;而，

所以三棱锥P-ABC的体积为V$_4BC=1x473x1x11x715=22石.

•J4

故选：D.

8.A

【分析】利用单调性求出f(x)在田内)上的函数值集合，由已知可得了。)在(7,1)上的值

域包含(-8,-2),再利用导数探讨函数人幻在(73,1)上的函数值集合即可求出范围.

【详解】当xNl时,函数解力=11)%-2在口,也)上单调递增,函数值集合为［-2,+8),

由函数/(X)的值域为R,得函数/(x)=x-ae、在(YO,1)上的值域包含(-8,-2),

当x<l时，函数/(x)=x-ae1求导得/(x)=l-ae\而e'vc,

当时，rCt)>0,函数/(幻在(f,l)上单调递增，函数值集合为(Y,1-

e

而1一优2—2恒成立，则

e

当。》■!■时，由/")>0,得x<-lna：由/。)<0,得-lna<x<l,

e

函数/a)在(TO,-Ina)上单调递增，在(-Inal)上单调递减，/(x)</(-lna)=-lna-l,

函数值集合为(f，Tna-1］,于是-卜”12-2,解得a«e,则,voWe,

e

所以a的取值范围是(F，H.

故选：A

9.AD

【分析】对于A选项，直接根据条件概率公式和独立事件的定义即可判断；对于B选项，

根据百分位数的定义进行求解即可；对于C选项，根据二项分布的方差计算公式及方差的

运算性质进行求解即可；对丁D选项，根据决定系数代及残差平方和的定义进行判断即可.

【详解】对于A选项，已知P(D|C)=P(0,由于P(0C)=］弁,

可得：?肾二尸(。)，即尸(CD)=P(C)・P(D).

因此可得：事件C与事件。相互独立，故A选项正确；

对于B选项，将数据由小到大排列：2,3,4,6,7,8,9,10,1142,14,1到共12个数据,

答案第3页，共12页

由12x75%=9,因此数据的第75百分位数为〃詈=11.5,故B选项错误;

对于C选项，已知X~4|j0,0.2),则。(X)=10x0.2x(l-0.2)=1.6,

又y=2X+1,则D(+D(2X+l)=4D(X)=4xl.6=64,故C选项错误;

对于D选项，决定系数斤越大的模型，对应残差平方和越小，拟合的效果越好，故D选项

正确.

故选：AD

10.AC

【分析】对于A直接用面面垂直的判定定理可得，对BCD则用空间向量分别计算点到面,

点到线的距离及线面角可得.

【详解】设C。的中点为0,连接AO/O.因AC=AO=C£）,所以AO_LQC.

又因所以。为百角三角8co的外心，HAB=AC=AD.

所以△40。空△AIM合△AOC,ZAOD=ZAOB=90°,得AO上OB.

因AOJ.OC,AO上OB,AO[}BO=O,8。,人。＜3平面8处

所以人OJ■平面BCD,AOu平面AS,所以平面ACQJ•平面BC。，故A正确；

故以8R8C所在直线为轴，以过8点平行于A0的直线为z轴，建立空间直角坐标系,

如图：

设平面ABC的法向量G=6y,z),84=(J5,1,26),BC=(0,2.0),

n-BA=O[V3x+y+2\/3z=0

一，得4c,、令z=l,x=-2.y=0,/；=(-2,0,1).

/i-BC=O2y=0

与方=（-2,0』）同方向的单位法向量Z=（左。七），

所以前=（26,0,0）在单位法向量上的投影向量的模

答案第4页，共12页

得点。到平面ABC的距离为士叵，故B错误；

5

再由。巨=(-笆,±G),直线OE与平面A8C所成角的正弦值为

22

4x/3_2y/5

所以C正确;

>/5x2x/3-5

再由BE=(y-.|,V3),取与而同向的单位向量6=(1,0,0),

所以点E到直线8。的距离为强币蒜口/滂+3)-*+0+0=与，故D错误;

故选：AC.

II.ACD

【分析】根据三角函数的平移伸缩规律分别求的外。即可判断A项；求出)=/。+夕)的解

析式，带入验证即可判断B项；根据函数解析式，求得单调区间，结合。的范围和子集关系

求解即可判断C项；根据函数解析式，求得/(x)的零点，结合〃的范围求解即可判断D项.

【详解】根据题意得,=?，所以0=3,则

(03

/(x)=sin(3x+/)=cos(3x-3e)=sin(3x+：一3。,

又。<0<3,所以［=1-38,解得e=2,所以=故A正确；

632186

因为/(x+/)=sin3x+—+—=sin3x+—=cos3x,Jlcos(3^)=cos-*0,

所以曲线y=f(x+(p)不关于点(以0)中心时称，故B错误;

所以/(x)的单调递减区间为。E+白7尿+三(&eZ),

.3Io31o

则a,a+—u—hc+—+—且0<〃<生，

19_|-|_318318J3

a>—,

，8

所以个解得故C正确;

兀/7兀1818

a+-<一,

918

答案第5页，共12页

令3x+1=E（4eZ）得x=g+阳丘Z）,所以大轴正半轴上从左往右的三个零点依次为

停4侍。｝舟。｝

由o＜"1得］＜。+微吟，所以若"6在区间。上有零点，

则+］或a得Wa+仁，解得仁《〃“爷或£«〃《弓，故D正确.

故选：ACD.

12.-

7

【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案.

【详解】设事件A=”取出一个零件，它是第1台车床生产的”，

则其对立事件A=”取出一个零件，它是第2台车床生产的”，

设事件8="取出一个零件，它是次品“，

由题意可得?（A）=25%,P（可=75%,P（冏力=6%,P（5同=5%,

P（B同P（,）

P（8）=P（可A）P（A）+P（B同P（A）=5.25%,5

~~丽

7

故答案为：y.

13.4工+2），-3=0

【分析】先根据切线得出£尸在（1-1『+（），+1丫=5上，再两圆作差得出直线所的方程.

【详解】因为切点分别为E,F,则CEJ.PE,CFA.PF,所以E,C,〃四点在以PC

为直径的圆上，

因为C（3,（））,P（T—2）,所以£尸在圆心为（1,一1）,半径为^卮才否予=6的圆上，

其方程为（x—l）2+（y+l）2=5,

所以（＞1）2+（），+1『=5与（工-3）2+），2=9两边分别作差，得4x+2y-3=0,

即直线所的方程为4X+2）=3=0.

故答案为：4x+2j-3=0.

14.-/60°述/工6

31212

【分析】利用辅助角公式化简得出sin（8+^）=l,结合角8的取值范围可得出角8的值,

答案第6页，共12页

进而可得出C的值；分析可知V4AC为等边三角形，设其边长为X,由成=2而得出

3而=2而+而，利用平面向量数量积的运算性质得出4。=#工，结合三角形的面枳公

式可求出x的值，由此可得出V/AAC的面积.

【详解】因为J5sin3+cos3=2sii/8+t)=2,可得+1,

因为4=?，则。所以+,则8+1=；,故8=7，

33666623

所以VABC为等边三角形，故C=T，设其边长为x,

因为成=2而，即而一而=2(而-AB),可得3而=2通+航，

所以9AD2=4AB2+*2+4通•/=4/+/+4/cos2=7/,故AD=^x,

33

由题意可知5^8='|SziAflC=gx曰W=谱/=；AQ.[=安犬,解得“=#1,

故S咨工一迪

般％3443-12,

故答案为：—•

312

3

15.(1)a2=—

(2)证明见解析

X/I-1

⑶邑=2〃-2+（匕

【分析】(1)令〃=1,结合S.和。”的关系求解即可;

(2)根据S0和生的关系结合题设证即可;

(3)方法一：由(2)可得q=2-[3]’,进而结合分组求和法求和即可；

方法二：先由2s/「S.=2〃+2,得2[5,向-2(〃+1)+2]=5”-2〃+2,可得数歹ij⑸-2〃+2}

是首项为I,公比为3的等比数列，进而求得

【详解】(1)令〃=1,得28—S=4,而$=q=l,

则2(%+1)—1=4,得生=].

(2)由2s向-S”=2〃+2,

答案第7页，共12页

当〃22时，2s“-S“T=2〃，

两式相减,可得2az-4=2,即--2=；（q-2）,

—

Fu6/,—2=—l,a22=——,则%-2=/（%-2）,满足上式，

故｛%-2｝是首项为—1,公比为g的等比数列.

（3）方法一：由（2）可得a-2=-（』，故。=2-1，

方法二：由2S/「S”=2〃+2,得2[s”「2（〃+l）+2]=S”-2〃+2,

而S-2+2=l,故数歹ij｛S,「2〃+2｝是首项为1,公比为£的等比数列,

3

16.(l)P(AlB)=-,P(AlB)=-

JJ

(2)9

【分析】（l）概率计算，依据条件概率公式。（川3）="^^来求解;

（2）二项分布期望的计算，根据二项分布x-8（〃,p）的期望公式£（X）=〃〃进行计算.

【详解】（1）由题意可得P（B）=嗤黑=:P（舟=>P（B）=；,

代人所理(丽=坨」.

200020200020

P(A|小还"和诵」

P(B)5P(B)5

900Q

（2）从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为强2=2

I（HJO1U

由己知得乂~8h0义],

\।u/

9

则E(X)=10x布=9.

17.(\]EDl=-a+b+^c

Q)后

答案第8页，共12页

【分析】（i）利用空间向量的基本定理可将函用向量＞、b、2表示：

（2）由题意得出丽・西=0结合空间向量数量积的运算性质得出关于无的值，再利用空

间向量数量积的运算性质可求得I啊的值.

【详解】（1）由题意可得"＞；=A/）；-A£=（A方+小；）-AB+^AA,

-71-

=-a+b+—c.

2

（2）丽.皿=（34+祠・-a+b+—c=-3a2+3a-b+ac+Abc+—c^

2

1(3

=-3x22+3x2x2x±+-x2x3x—+2Zx3x—+—x3

_______391

因为AM_LER,所以二+乙4=0,解得4=上,

223

所以=9«24-26f-c+-c2=9x22+2x2x3x-!-+ix32=43,

I3J929

故函=同

18.⑴（Tl）

⑵-3-2夜

【分析】（I）根据直线与圆相切，可得〃『+1+公，联立直线与双曲线，根据工/＜。名得人

的范围；

（2）根据斜率公式以及韦达定理，将变形化简可得结果.

y=kx+m,,

由〈2:，Y#(1——?.nikx—(m~+1)=0,

x-y'=\

-2。0

A=4〃?2/+40—&2)0/+I)=4(62+]_/)=g>0,

/.k~<1,/.-1</:<I,

答案第9页，共12页

故&的取值范围为(-1,1).

(2)由已知可得A，4的坐标分别为(-1,0),(1,0),

X[+1x2-\

.k.k二一)‘2二例+m)(如+M

12

(X(+l)(x2-l)(X,+1)(X2-1)

…nr+1.2mk,

i、,,、、k-,、ink,Im~

_Z:\Vjx2+，成(N+x2)+irr_k~-1k'-1

+*271)-1+I2&

A:2-!~k2-1~

_m,k?+k，-+MK-m2_k2-m2

tn'+1—2\/2—k"+\m2—k2+2-2\/2

又因为〃=1+公，所以裙-攵2=],

二•4V=3力=-(3+2底)为定值.

19.(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)[1-1,0).

【分析】(1)直接判断导数在定义域上有正有负即可；

(2)运用导数求解函数的最大值，再判断最大值小于2可得；

(3)构造函数〃(x)=asinx+xcosx-x,进而转化为同样等价于：对■所有xeg,川附x)«&恒

TT

成立；对所有xw[0，e),力(x)>A恒成立.再分别按恒成立问题解得.

【详解】(1)由/(x)=asinx+;vcosx,得/'(x)="cosx+cosx-xsinx=(a+l)cosx-xsinx.

所以广(0)=。+1>0,/'(冗)=一(。+1)<0.

由广⑴在[0川上连续,且/'(0)>0J'(兀)<0,由零点存在性定理，存在与£(0.冗),使得

/U)=0.

所以广⑴在[0,可上有正有负，因此函数/3不单调.

(2)当。=1时，/(x)=siiW4-ACOSr,xG[0,7t],f\x)=2cosx-xsinx,

当xc兀时，sinx>0,cosx<0,两者不同时为0,且x>0,所以/'")<0.

答案第10页，共12页

当xe0,三时，令/'(x)=0,得2cosx=xsinx,即2=tanx.

.2Jx

2「兀一

根据函数)，=一与函数)，=lanx的图象可知，在区间0,；上有且仅有一个交点,

xL2

即存在唯一/e(0《)，使得((%0)=0,即2=tanx°.

2X。

•・•r(0)