高考数学复习：双曲线（附答案）

双曲线

一、单项选择题

1.（2025・八省联考,5）双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±2x

C.y=±3xD.y二±4x

22

2.（2024•河北邢台二模）若点P是双曲线。：2—5二1上一点,Fi,B分别为。的

169

左、右焦点，则“|P尸11=8”是“|P尸2|=16”的（）

A.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.充分不必要条件

22

3.（2024•北京海淀一模）若双曲线a-力>0）上的一点到焦点（-倔0）的距

离比到焦点（遥,（））的距离大A则该双曲线的方程为（）

A.-/=1B.—/=1

CfJD。江1

24

4.（2024•宁夏银川二模）如图，已知”|,“2为双曲线W-圣二1的焦点，过”2作垂直于

x轴的直线交双曲线于点P,且NPR@=30°,则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±y/2x

C.y=±V3xD.y=±2x

5.（2024•山西晋城二模）已知双曲线捺-*1（心0/>0）的两条渐近线均和圆

C:f+y2+8x+7=0相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

（）

AX-^=1B.”一比=1

9797

D{_”=1

7979

6.（2024•黑龙江大庆模拟预测）已知双曲线C:?—《=1S＞0）的一条渐近线为

），二岳,则双曲线C的离心率为（）

A.—B.2

3

C.渔D.2或公

23

7.（2024•陕西西安模拟预测）已知Fi,乃为双曲线*一［=1（。＞0力＞0）的两个焦点,P

aD

为双曲线右支上的动点（非顶点），则△尸的内切圆恒过定点（）

A.（y,0）B.（而0）

C.（pO）D.（aO）

8.（2024•浙江杭州三模）已知双曲线捺-会1（心0,〃＞（））上存在关于原点中心对称

的两点4B,以及双曲线上的另一点。，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率

的取值范围是（）

A.（V2,+oo）

B.（V3,+oo）

C.（2,+8）

D.（等,+8）

9.（2024.浙江联考一模）已知A4分别是双曲线的左、右顶点了是双曲

线C上的一动点，直线PA,PB与x=\交于M,N网效,/\PMNAPAB的外接圆面

积分别为S,S我心的最小值为（）

%

A.-B.-

164

C.—D.1

4

二、多项选择题

10.已知曲线C'.nvr+ny-=1.（）

A.若m则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若加=〃＞（）,则C是圆，其半径为Si

C.若则。是双曲线,其渐近线方程为产土产x

D.若加=（）,〃＞（）,则C是两条直线

11.若尸是双曲线C:f-y2=2上一点,Fi,尼分别为C的左、右焦点，则下列结论中

正确的是（）

A.双曲线C的虚轴长为加

B.若的面积为2

C.IPRI的最小值是2-V2

D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离是2

12.（2024.广东茂名三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线

的光学性质£/2是双曲线的左、右焦点，从B发出的光线机射在双曲线右支上

一点P,经点P反射后，反射光线的反向延长线过R;当P异于双曲线顶点时，双曲

22

线在点P处的切线平分NRP乃.若双曲线C的方程为？-9二1,则下列结论正确

916

的是（）

A.射线〃所在直线的斜率为匕则

B.当时,|P/危1=32

C.当〃过点。（7,5）时,光线由凡到P再到。所经过的路程为13

D.若点T坐标为（1,0）,直线P7与。相切，则|PF2|二12

13.（2024.广东汕头二模）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截

面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现:当圆锥轴

截面的顶角为2a时，若截面与轴所成的角为伏则截口曲线的离心率右黑.例如,

当a=p时,e=l,由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥SO中,分别为SD,SO的

中点工B,CD为底面的两条直径，旦A8JLCO/8=4SO=2.现用平面乂不过圆锥顶

点）截该圆锥，则（）

A.若MNu人则截口曲线为圆

B.若y与SO所成的角为60。，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分

C.若则截口曲线为抛物线的一部分

D.若截口曲线是离心率为心的双曲线的一部分，则O到

三、填空题

14.（2024•黑龙江哈尔滨模拟）设双曲线。：［一4二］的左焦点和右焦点分别是

立22,点P是C右支上的一点，则|PFi|十会的最小值为

15.（2024・湖南长沙一模）已知O为坐标原点,F（l,0）,F2（l,0）,00,3）,向量加二（1「2）,

动点P满足而〃肛写出一个。，使得有且只有一个点P同时满足||夕为卜

|。/2||二2〃（（）〈〃<1）,贝1］a=.

16.（2024•吉林延边统考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点

发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.

若双曲线喏-3二1（心0g>0）的左、右焦点分别为江人,从正2发出的光线经过

图2中的A.B两点反射后，分别经过点。和。，且cosNE4c则E的

离心率为.

图2

答案:

1.C由方程知。=1,〃=3,所以渐近线方程为y=±夕=±3x.故选C.

2.D〃=4-=3,°=>/42+32=5,当点P在左支时,|PK|的最小值为当点尸在

右支时,|PFi|的最小值为a+c=9,因为|PFi|=8,则点尸在双曲线的左支上，由双曲线

的定义|PF2|・|PFI|=|P尸2卜8=2°=8,解得|P尸2|=16;当|P@|=16,点P在左支

时,|P*|=8;点夕在右支时,|P*|二24;推不出|P*|=8;故为充分不必要条件.

3.D由题知°二遍，根据题意,由双曲线的定义知2a=b，又/+/=/,所以5标=5,得

到〃=1力2=4,所以双曲线的方程为x2--二1.

4

4.B由题意|PR|=21尸三|,|PFi|-1尸色|=2。,所以|尸Fi|=4〃,|PB|=2〃,cosZPFiFi

=~^=杯=^=cos30°二当，所以c=y/3a,b=y/c2-a2=或双曲线的渐近线方程

为》二土宗，即y=±V2x.

5.D因为圆Cf+V+Q+lu。的圆心为C(-4,0),半径厂二3,又因为双曲线靠一

^7=1的一条渐近线为v=^x,即版-ay=O,双曲线的左焦点(-c',0)到渐近线bx-ay=O

的距离黑二〃,由题意可知片4疝=3,可得。2“242=7,所以该双曲线的方程

vaz+bz

为片一廿=1.

79

6.A由双曲线方程—为=1(/?>()),令^—巳二。,解得产士日人,；・双曲线的渐近线

3D43DZb

22

为尸土与，又渐近线为又<7=V3,c=y/a4-b=2,e=-=-T==

aV3

2V3

3,

7.B双曲线J-^7=l(t/i>0,/2i>0),cf=Q：+*,则长轴长为2ai,焦距为2ci,尸为

aibi

双曲线右支上的动点(去顶点),Fl,22为双曲线的两个焦点，设△尸F1F2的内切圆与

PFT,PF2,FTF2分别切于M,N,0,如图所示，

则根据双曲线的定义及圆的性质可知」尸Q|-|PB|=|QM-|£2N|=|BQ|-|BQ|=2m,

又|EQ+尸20|=2CI,得旧Q|=o+0,尸2Q|=CI-S,故Q为双曲线的右顶点.

2曾2

同上分析,当双曲线方程为Y二一5=1（。＞0力＞0）时,F1,B为双曲线的两个焦点，户为

ab

双曲线右支上的动点（丰顶点），设APFiB的内切圆与PFI,PF2,FF2分别切于

MN,Q,可知。为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为2伞,右顶点坐标Q4,0）.

所以此时△PFi乃的内切圆恒过定点（6,0）.

8.A由题意可知:双曲线的渐近线方程为），=±勺,设点A*,），）,贝！］可取C（-

（立日=1

何，，恁），则m，整理得'=繇＜《解得户＞诡即c”＞能可得

匕T-市=1，

友＞2,则e=^=聋〉、Z所以该双曲线离心率的取值范围是（或,+8）.

9.A由已知得/（-2,0）,仅2,0）,由双曲线的对称性,不妨设P（x,y）在第一象限，所以

kpA=3；,kpB=y,所以kpA'kpB=-^--y=-77=芟=设直线PA的方程为

X+2X-2X+2X-2X2-4X2-44

）」&（人+2）,&＞0则直线尸6的方程为尸士（人-2）,同时令人一1,则yw-3&,yv--2所以

|MV|=3A+3，A＞0,设△P"N,△尸4B的外接圆的半径分别为门,及,由正弦定理

4K

得,2门二上匚=」^,2力=^^,所以乜=蜉=兰三当且仅

sinz.MPNsm£APBsinz.APBr2\AB\444

当弘』即女邛时，等号成立，所以与=需=©=高

10.ACD对于A,若〃2＞〃＞0,贝Invr^ny2-=1可化为早+与-=1,因为所乂

mn

AV即曲线。表示焦点在），轴上的椭圆，故A正确;对于B,若"『心0,则

加『+引2=1可化为/+产=*此时曲线C表示圆心在原点，半径为?的圆，故B不正

确;对于C,若〃2〃<0,则如?+〃)，2=1可化为%+q=1,此时曲线C表示双曲线，由

mn

〃/+炉=0可得V=±叵乂故C正确;对于D,若用二0,心0,则mx2+ny2=\可化为

、n

2一土回，此时曲线。表示平行于X轴的两条直线，故D正确.

nn

11.BC由双曲线C:/V=2,得双曲线。:?一?=1,设双曲线C的实半轴长为出

虚半轴长为〃，半焦距为c.选项A,得〃二/，故双曲线C的虚轴长为2/，故A错

误.选项B,得〃=症《=2,则尸尸2|二4,产11+叫='伍得|尸四|伊乃|=4,故

△PFiB的面积为*PFI||PF2|=2,故B正确.选项C,易知|PF】|min=。田=2-&,故C正

确.选项D,易得双曲线C的焦点坐标为(±2,()),渐近线方程为x±)，=(),所以双曲线

C的焦点到其渐近线的距离为之=或，故D错误.

V2

丫22

12.ABD因为双曲线。的方程为？-9v二1,所以“3/=4,*5,渐近线方程为

916

产士号,选项A,因为直线P乃与双曲线有两个交点，所以2£(-：,：),即A正确;选项

B,由双曲线的定义知,|PFi|-|PB|=2a=6,若〃」〃,则|「川2+|尸产2/=

|FIF2/=(2C)2=100,因为(|PF1HPF21)2=|PF1『+I尸/2|2-2|PFIHPB|,所以36=100-

2|尸尸i[・|P尸2|,解得|PR|・|P尸2|=32,即B正确;选项C,|尸尸2|+|尸。|=(|尸乃卜

2a)+|PQ=|*Q-2a=小7+5)2+(5・0)2・2x3=7,即C错误;选项D,因为P7平分N

KP尸2,由角分线定理知，霜=需,所以偿=需=券='，又因为|PR|・|PF2|=6,

IFF1I17七I\PP1\\TF2\5-12

所以||PB|-|P乃1=6,解得|PB|=12,即D正确.

13.BCD对于A选项油题意知过MN的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，

故A错误;对于B选项，平面y与SO所成的角为60°,所以尸岑因为OO=OS=2,

所以NOS叫，即。三,所以-黑=1=»,所以平面y截该圆锥得的截口曲

线为椭圆或椭圆的一部分，故B正确;对于C选项，因为SO_L平面平面

ABD,所以SO上AB,因为ABJ_CQ,COn5O=O,COSOu平面S。。,所以A8，平面

50Q,又因为SOu平面SOD,所以SOJ_AB,又SO=OD,M为S。的中点，所以5£)_L

OM43noM=0^5,0Mu平面MA8,所以SQ_L平面MAR所以平面y与SO所成

的角为/5。知=：,/05。=*所以/?=：以=*6=1^=1,故C正确;对于D选项，截口

曲线是离心率为鱼的双曲线的一部分，则鬻=喈=企，所以cos4=1,因为夕£

[(闫,所以左0,所以平面y〃OS,故平面了不经过原点O,故D正确.

14.8。=2力=V5T,c=5,|「乃|2c-a=3,