高中数学一轮复习：计数原理与排列组合

专题11」计数原理与排列组合

1.两个计数原理

名称完成一件事的策略完成这件事共有的方法

分类加法完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有〃？

+〃利】不同的方法

计数原理种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法

分步乘法完成一件事需要两个步骤，做第1步有，〃种不同的

N=/〃X〃种不同的方法

计数原理方法，做第2步有〃种不同的方法

2.排列与组合

名称定义

从〃个不同元素按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个不同元素中取出〃?个

排列

中取出元素的一个排列

组合个元素作为一组,叫做从〃个不同元素中取出小个元素的一个组合

3,排列数与组合数

(1)排列数：从〃个不同元素中取出加(〃匹〃)个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不

同元素中取出m个元素的排列数，用A；r表示.

(2)组合数：从〃个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个

不同元素中取出m个元素的组合数，用C；；表示.

【重要结论】

排列数、组合数的公式及性质

,n!

An—1)”？2)…加+1)—(、.

公式

A：三(〃一1)(〃一2)…(〃一〃?+「)_______n_!______

孰"A；Jw!_-~m\(ri-/n)!

0!=1，A；；=旦！

性质

c女—c〃.用-，C〃+]——CC坦n+1C„_

1.【人教A版选择性必修三习题6.1第3题P11］如图，电路中共有3个电阻与1个灯

泡，若灯泡不亮，则因电阻断路的情况共有种.

2.【人教A版选择性必修三习题6.2第5题P26】高一军训结束后，共有9人被评为国

旗队旗手，其中一班甲、乙2人、二班3人、三班4人.

(1)在某次训练中，辅导员从中选择3人(均来自不同班级)站一排检验步法，有多少种不

同的排法；

(2)某电影院邀请该9名旗手免费观看某场电影，由于学习时间紧，去几个人学生自己决

定，但其中甲、乙两人要么都去，要么都不去，一共有多少种去法？

考点归纳

考点一两个计数原理的应用

【方法储备】

利用分类加法计数原理计数时的解题流程

^¥1——“将完成这件事的方法分成若干类

计数——>求出每一类的方法数

结论|——：将每一类的方法数相加得出结果

利用分步乘法计数原理解决问题的策略

(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是

有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都

完成了，才算完成这件事.

(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连

续，逐步完成.

【典例精讲】

例1.（2025•天津市•期中考试）如图所示的一圆形花围，拟在A,B,C,D区域种植花苗，

现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花

苗，则不同的种植方法种数为（）

A.12B.18C.24D.30

例2.（2025•福建省福州市•期中考试）算盘是中国古代的一项重要发明，迄今己有2600多年

的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一

道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5,梁下四珠，上拨一珠记作数字1（

如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（）

[]1]I*工I

I；菱IGil

1位个位十位个位

图一图二

A.6B.8C.10D.15

拓展提升

练1-1（2025•福建省•联考题）项数为m的数列同｝满足ai6｛0,l｝（i=1,2,…，m）,当且仅当

ai=ai+i时=0（其中i=1,2,…,m-1,规定：a0=am,am+1=at）,称｛aj为"好数列”.在

项数为6且由e｛0,l｝（i=1,2,…,6）的所有｛a"中，随机选取一个数列，该数列是“好数列''的概

率为.

练1・2（2025•贵州省毕节市•模拟题）在如图的5x5方格中选5个方格，要求每行和每列均

恰有一个方格被选中，则共有____种选法（用数字作答），在所有符合上述要求的选法中，选

中方格中的5个数之和的最大值是.

1211121413

2121232522

3232313331

4143424440

5251535454

考点二排列问题

【方法储备】

求解排列应用问题的六种常用方法

I直接法I—他德香不祥而寿司薮面接可王讦籍”……:

I...........................................................................................

优先法I一流无妾集福豪元果金福薪卷宣:

而篇询慈花相超完藁着布二不意茶号飘

|捆加法|T他元素一起排列，同时注意捆绑元素的:

j内部排列|

沸示布瓦荷疑:宪箸意示麦根菊马元燕

插士法|T的排列，再将不相邻的元素插在前面元i

I:素排列的空当中!

定百丽_［用手荒库而盛:可先豕著康蕨存度前:超

除法处理二列后，再除以定序元素的全排列

•T.T.TT■■TTTTTTTTTTTTTTTTTTT1TTTTTTTTTTTTTTTTTTTT・・・■■・・■■■・■■・

I

I间接法|一:正旗旗关、琴和比花而3至:

【典例精讲】

例3.（2025•湖南省永州市•期末考试）甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出

第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格.甲和乙去询问成

绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最

差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（）种不同情况.

A.6B.8C.10D.12

例4.（2025•山东省临沂市・模拟题）小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自

己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种

数为（）

A.48B.32C.24D.16

例5.（2025•广东省揭阳市•月考试卷）五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一

天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（）

A.42B.72C.78D.96

【拓展提升】

练2」（2025•江苏省无锡市•月考试卷）从3名高一学生，3名高二学生中选出3人，分别负责

三项不同的任务，若这3人中至少有一名高二学生，则不同的选派方案共有（）

A.54种B.108种C.114种D.120种

练2・2（2025•安徽省合肥市•月考试卷）已知a2,为1,2,3,4,5的任意一个排

列.则满足:对于任意n€{1,2,3,4,5},都有a1+a2+…+an工na】的排列a1,a2，…，a5W（）

A.49个B.50个C.31个D.72个

练2・3（202S•重庆市•联考题）有3张红色卡牌（分别标有数字1,2,3）利3张蓝色卡牌（分别

标有数字1,2,3）,将这6张卡牌排成一排.

（1）若要求两张标有数字1的卡牌不相邻，求不同的排列方法数；（用数字作答）

（2）若要求红色的卡牌相邻，求不同的排列方法数；（用数字作答）

（3）若要求红色的卡牌不排在最左端，标有数字3的卡牌不排在最右端，求不同的排列方

考点三组合问题

法数.（用数字作答）

【方法储备】

组合问题的两类题型及求解方法

（1）“含有''或"不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元

素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这

两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类

复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

【典例精讲】

例6.（2025•江西省南昌市•模拟题）某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择

参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生

不同的选择方法有种.（用数字作答）

例7.（2025•重庆市•同步练习）某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的

田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选

法种数为（）

A.85B.86C.91D.90

【拓展提升】

练3-1（2025•新疆维吾尔自治区阿克苏地区•期中考试）（多选）现有6个小球和4个盒子,

下面的结论正确的是（）

A.若6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法

B.若6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种

C.若6个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种

D.若6个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种

练3・2（2025•湖北省•单元测试）如图所示，在排成4X4方阵的16个点中，中心位置4个点

在某圆内，其余12个点在圆外.从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶

点在圆内的三角形共有个.・・..

考点四排列与组合的综合应用

【方法储备】

分组、分配问题是排列与组合的综合问题，解题思想是先分组后分配

（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：

①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重更现象.

（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：

①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；

②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；

③有限制条件的分配问题，采用分类求解.

提醒：对于部分均分问题，若有机组元素个数相等，则分组时应除以M

【典例精讲】

例8.（2025•广东省惠州市•月考试卷）据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音

是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全''就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一

个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音

序的种数是（）

A.48B.50C.66D.78

例9.（2025•河北省•单元测试淀义：“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，比如“1005,

2013”，则所有“幸运数''的个数为（）

A.20B.56C.84D.120

【拓展提升】

练4-1（2025•湖北省孝感市•月考试卷）（多选）将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放

入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球.则下列说法正确的有（）

A.编号为1号的小球放入编号为偶数的盒子的放法数是60

B.编号为奇数的小球均放入编号为偶数的盒子的放法数是36

C恰有三个盒子的编号与放入的小球编号相同的放法数是40

D.恰有三个小球的编号比放入的盒子的编号大1的放法数是30

练4-2（2025•江苏省徐州市•模拟题）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的

传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、"武术”、"书法”、"剪纸''、"京剧''、"刺绣''

六门体验课程.

（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有

排法种数；

（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一

门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；

（3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名

教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安

排的种数.

新题放送

1.（2025•贵州省遵义市・月考试卷）如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道

路网，其中八1、人2、人3、人4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M、N处的甲

、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以

相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止.则下列说法正确的是（）

A.甲从M到达N处的方法有120种

B.甲从“必须经过人到达N处的方法有64种

C.甲、乙两人在4处相遇的概率为W

D.甲、乙两人相遇的概率为:

2.（2025•河北省•月考试卷）“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某

校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置

为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向

前进的格子数，即玩家掷出的点数为i（i=1,2,…,6）,则棋子就按顺时针方向前进‘棋

i个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点\

①处，则其不同的走法数为.（用数字作答）

3.（2025•甘肃省天水市,期末考试）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生

2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅,他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅

导等多元化课程，并组织了丰富多彩的义体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合

影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；

（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；

（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生.

【答案解析】

1.【人教A版选择性必修三习题6.1第3题Pill

解：每个电阻都有断路与通路两种状态，灯泡不亮可以分3种情况讨论：

①1个电阻断路，此时只有1种情况；

②2个电阻断路，此时有3种情况；

③3个电阻断路，此时只有1种情况.

根据分类加法计数原理，可知灯泡因电阻断路不亮的情况共有1+3+1=5(种).

故答案为5.

2.【人教A版选择性必修三习题6.2第5题P26]

解：(1)从每个班里各选一人排列共有C1C1CJA1=144种方法；

(4)方法一：把一班的甲乙两人当作1个人，这样相当于共有8个人，

这8人最少可能去0个，最多可能去8个(甲乙视为1人)，

故共有来+禺+喘+…+禺=28=256种；

方法二：把一班的甲乙两人当作1个人，

这样相当于共有8个人每个人去与不去均有两种情况，

根据乘法原理2X2X2X2X2X2X2X2=28=256种.

例L解：根据题意，分3步进行分析：

(1)对于A块，可以在3种不同颜色的花苗中任选1种，有3种情况；

(2)对于B块，可以在剩下的2种不同颜色的花苗中任选1种，有2种情况；

(3)对于C、D块,分2种情况:

若D块与B块选择的花苗颜色相同，则C块可以在其余的2种不同颜色的花苗中任选1种,

有2种情况，

若D块与B块选择的花苗颜色不相同，则C块有1种情况，D块有1种情况，此时C、D有

1种情况，

则C、D共有2+1=3种情况;

综合可得：一共有3x2x3=18种不同的种法.

故选B.

例2.解：拨动两枚算珠可分为以下三类：

(1)在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.

(2)同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.

(3)在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示2X2=4个不同整

数.

所以，根据分类加法计数原理，一共可表示2+2+4=8个不同整数.

故选：B.

练1-1.

解：由题意，因为项数为6且却W｛0,l｝(i=l,2,…,6),

所以每一项aj都有两种选择，根据分步乘法计数原理，

可构成的数列加工个数为26=64个，

由题意，若匕工为“好数列”，则意味着若aj=0,其前一项与后一项相等，

①若｛aj中没有0,则数列为｛1,1,1,1,1,1｝,不符合题意，

②若｛aj中有1个0,不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，

③若｛aj中有2个0,则｛0,1,1,0,1,1｝｛1,0,1,1,0,1｝,符合“好数歹「定义；

④若｛aj中有3个及以上0,若0相邻，根据定义，数列只能为｛0,0,0,0,0,0｝，

若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1,不符合题意，

综上，符合题意的“好数列”只有4个，

所以数列是“好数列”的概率为三=j

6416

故答案为：白

16

练1-2.解，第一步，从第一行任选一个数，共有5种不同的选法，

第二步，从第二行任选一个与第一个数不同列的数，共有4种不同的选法，

第三步，从第三行中选一个与第一，二个数不同列的数，共有3种选法，

第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，共有2种选法，

第五步，从第五行中选一个与第一、二，三，四个数不同列的数，只有1种选法，

由分步乘法计数原理可知共有5x4x3x2x1=120种不同的选法;

先按行分析，每行必选出一个数，所以所选5个数的十位数字分别为1,2,3,4,5,

再按列分析，第一、二、三、四，五列个位上的数字的最大值分别为2,3,3,5,4,

所以从第一行选13,从第二行选25,从第三行选32,从第四行选43,从第五行选53,

此时个位上的数字之和最大，

所以选中方格中的5个数之和的最大值为13+25+32+43+53=166.

故答案为:120；166.

例3.解：根据题意，甲没有获得参加市级比赛的资格而乙不是最差的，

即甲是第三或第四名，乙不是第四名，

则有2种可能：

①甲是第四名，剩下三人全排列即可，有Ag=6种情况，

②甲是第三名，乙只能为第一或第二名，剩下2人有A；=2种情况，此时有2x2=4种

情况，

综上则有6+4=10种情况，

故选C.

例4.解：1与4相邻，共有的=2种排法，

两个2之间插入1个数，共有A3=2种排法，

再把组合好的数全排列，共有A[=6种排法，

则总共有2X2x6=24种密码.

故选：C.

例5.解：根据题意甲不值第一天，乙不值第五天，

若甲排在第五天，则其余4人进行全排列，有组=24种排法，

若甲不排在第五天，则甲有3种排法，乙有3种排法，其余三人有Ag=6种排法，

3x3xA1=54种排法，

・•・24+54=78种排法.

故选C.

练2・1.解：从6人中任选3人负责三项不同的任务，共有A1种选派方法；

选出的3人中无高二学生有Ag种选派方法；

・•,若3人中至少有一名高二学生，不同的选派方案共有A1-Al=114种.

故选：C.

练2・2.解：因为1+2+3+4+5=15,

aa=

所以n=S时，4-a2+a3+4+515<5ai,

所以a1>3,且有a?<apa2+a3<2ana2+a3+a4<3a1；

当a1=5时，任意排列均满足题意，共有A：=24个，

当a1二4时，只要a2=5,其他排列均满足题意，共有3x3x2x1=18个,

当a1=3时，a?只能取1或2,所有的情况如下:

排列32145,满足题意,排列31245,满足题意,

排列32154,满足题意，排列31254,满足题意,

排列32415,满足题意，排列31425,满足题意，

排列32451,不满足题意,排列31452,不满足题意,

排列32514,不满足题意,排列31524,满足题意,

排列32541,不满足题意,排列31542,不满足题意，共7个满足题意.

综上，满足题意的排列共有24+18+7=49个.

故选：A.

练2・3.解：(1)利用插空法，

先全排列其他4张卡牌，有熊种排列方法，

再在形成的5个空隙中选择2个插入2张标有数字1的卡牌，有Ag种排列方法，

所以不同的排列方法数为=480种；

(4)利用捆绑法，将3张红色卡牌视为一个整体，与3张蓝色卡牌排列，

所以不同的排列方法数为A/Z=144种；

(5)利用间接法,

6张卡牌全排列有A3=720种，

红色的卡牌排在最左端的情况有：GAg=360种，

数字3的卡牌排在最右端的情况有：CMs=240种，

红色的卡牌排在最左端且字3的卡牌排在最右端的情况有：A1+禺©A：=120种,

所以符合要求的不同的排列方法数为720-360-240+120=240种.

例6.解：先将5名学生分成三组，每组人数有1,1,3或2,2,1两种情况，

则不同的分组方法有喈+誓,

再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有A1种,

由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有(且岁+亭渥=150种.

A2A2

故答案为：150.

例7.解：方法一（直接法）：

由题意，可分三类考虑：

第一类，男生甲入选，女生乙不入选的选法种数为G第+釐禺+虞=31;

第二类，男生甲不入选，女生乙入选的选法种数为C；髭+鬣&+以=34;

第三类，男生甲入选，女生乙入选的选法种数为第=21.

所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为31+34+21=86.

方法二（间接法）：

从5名男生利4名女生中任意选出4人，

男、女生都有的选法种数为禺-禺-第=120;

男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的选法种数为G-第=34.

所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为120-34=86,

故选B.

练3“.解：对于A,先把6个相同的小球排成一行，

然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，

故共有《=10种放法,故A错误;

对于B,恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有禺=4种选法，

第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有髭=10种方法,

由分步乘法计数原理得，共有4x10=40种放法，故B正确；

对于C,从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有C；=4种，

另外三个盒子中，小球的个数可能为：04:1:1,@3:2:1,02:2:2,

若为①，则共有《A』=15x6=90种;若为②，则共有CKKU=360种;

若为③，则共有第底立=15x6x1=90种,

所以一共有4x（90+360+90）=2160种，故C正确；

对于D,从4个不同的盒子中选两个盒子空着，有熊=6种，

另外两个盒子中，小球的个数可能为：①5:1,②4:2,@3:3,

若为①，则共有（:其）；=12种；若为②，则共有C其幼孑=30种；若为③，则共有

警A'=20种，

所以一共有6x(12+30+20)=372种，故D错误.

故选：BC.

练3-2•解:根据题意，分3种情况讨论:

①、取出的3个点都在圆内，有或=4种取法，即有4种取法；

②、在圆内取2点，圆外12点中需先排除与圆内点成一条直线的2个点，再从剩余的10个

点中取1点，有用玛o=6O种,即有60种取法；

③、在园内取1点，圆外12点中取2点(需排除圆外2个点与圆内点成一条直线的情况)，有

C1(Cf2-4)=248种，即有248种取法,

则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312个，

故答案为：312.

例8.解：①若“宫”为首音阶，“商”“知”可取24,25,35音阶，

排成的音序有「2种；

④、若“宫”为第2音阶，嘀”“角”可取13,14,15,35音阶,

排成的音序有”种；

⑤、若“宫”为第3音阶，嘀”“角”可取14,15,24,25音阶，

排成的音序有c「2种;

⑥、若“宫”为第4音阶，嘀”“角”可取13,15,25,35音阶,

排成的音序有C3+(、12种

由分类加法计数原理可知，一共有12+14+12+12=50种排法.

故选：B.

例9.解：“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，故首位最大为6,且首位不为0,

则有：若首位为6,则剩余三位均为0,共有1个“幸运数”；

若首位为5,则剩余三位为L。,。，共有玛=3个“幸运数”；

若首位为4,则剩余三位为2,0,0或1,1,0,共有禺+1=6个“幸运数”；

若首位为3,则剩余三位为3,0,0或2,1,0或1,1,1,共有玛+Ag+1=10个“幸运数”；

若首位为2,则乘I］余三位为4,0,0或3,1,0或2,2,0或2,1,1,

共有的+A升的+黑=15个“幸运数”;

若首位为1,则剩余三位为5,0,0或4,1,0或3,2,0或3,1,1或2,2,1,共有禺+Ag+Ag+C」+

C1=21个“幸运数”；

综上所述：共有1+3+6+10+15+21=56个“幸运数”.

故选：B.

练4・1.解：对于选项A,先放编号为1号的小球，有A』种方法，再放另外5个小球，有Ag

种方法，所以共有Ag+A卜360种方法，选项A不正确：

对于选项B,先放编号为奇数的小球，有A多种方法，再放另外3个小球，有Ag种方法，所以共

有“+At36种方法，选项B正确；

对于选项C,先在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有出=20种放法，用枚

举法放剩下的3个小球，共有2种放法，所以不同的放法总数是20x2=40种，故C正确；

对于选项D,先在编号为1〜5的五个盒子中任选3个，有髭=10种，不妨设选了编号为1,2,

3的3个盒子，分别放入标号为2,3,4的3个小球，则编号为4,5,6的盒子放入的小球编号

依次可以是1,5,6、6,1,5和6,5,1,共3种，所以不同的放法总数是10x3=30种，故

D正确.

练4・2解：(1)第一步，先将另外四门课排好，有A：种情况；

第三步将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有Ag种情况；

所以“京剧”和"剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有A%xAj=480种；

(4)第一步，先将甲和乙选的不同课程排好，有A煮种情况；

第二步，再将甲和乙选的相同课程排好，有禺种情况；

第三步，因为丙和甲、乙选的课程都不同，所以丙的选法有玛种情况；

因此，所有选课种数为篌xQx髭=360.

(5)①当A只任教1科时：先排A任教科目，有玛种；再从剩下5科中排B的任教科目，有玛

种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有量Ag种；所以当A只任

教1科时，共有禺禺第A'=5x5x—x3x2xl=900种；

2x1

②当A任教2科时：先选A任教的2科有篇种，

这样6科分为4组共有C弘才=—x4x3x2xl=240种，

2x1

所以，当A任教2科时，课程安排方案共有900+240