河南省北湖校区2025-2026学年高二年级上册12月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二上学期12月

测试（一）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在空间直角坐标系中，已知白（1,0,2）,8（2,肛3）,C（3,4,〃+1）三点共线,贝卜〃+〃=（）

A.2B.3C.4D.5

2.曲线E+£=i与曲线」L+上-

=1（9<&<25）有共同的（)

25925-k9—k

A.长轴长B.短轴长C.离心率D.焦距

3.已知椭圆三+七甘，直线）'=依（攵*。）与椭圆交于A，8两点,K，鸟分别为椭圆

的左、右两个焦点，直线4入与椭圆交于另一个点。，则直线4。与3。的斜率乘积为（）

A.-3B.二

99

U一2D..直

39

4.已知圆G与圆G外切，切点为A（l,0）,且直线x=-l是圆G与圆G的一条公切线，则|GG|

的最小值为（）

A.1B.2C.4D.8

5.山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近

似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20米，短轴长为16米，现计划在椭圆

中心建立原点。，长轴所在直线为戈轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若在

椭圆基址的边缘某处，点（即点/>在椭圆上），搭建一个临时观测台，则点P到椭圆左焦点F.

的距离|P£|的最大值为（）

A.12B.16C.18D.20

6.设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若S6-S3=-3,S,-S6=9,则几=（）

A.12B.14C.16D.18

7.已知圆。：。+1）2+丁=/&>0）上仅有两个点到直线/：3x—4）,_i2=O的距离为］，贝"的

取值范围为（）

A.（2,4）B.（3,5）C.（4,6）D.（5,7）

8.已知双曲线力>0）的上、下焦点分别为£、F1,P是C的上支上的一

点（不在y轴上），尸鸟与x轴交于点A,VPA£的内切圆在边M上的切点为〃，若［4臼>»,

则。的离心率的取值范围是（）

二、多选题

9.给出下列命题，其中正确的是（）

A.若空间向量而=（3』,3）,3=旦正贝IJ实数2=

B.若Z//方，则存在唯一的实数/I,使得2=25

C.若空间向量2=（1,0,1）,9=（2,-1,2）,则向量）在向量•上的投影向量是（2,0,2）

D.点”（3,-2,1）关于平面.yOz对称的点的坐标是（-3,-2,-1）

10.已知等差数列｛4｝满足%>0,%+4<（）,记S”为｛4｝的前〃项和,则下列说法正确

的是（）

A.4>。B.也｝是递增数列

C.<S7D.使得S,<0的〃的最小值为14

11.如图，在正三棱柱ABC-中，侧棱长为3,加=2,空间中一点。满足

AP=xAB+（x,>'e［0,1］）,则（）

试卷第2页，共4页

A.若x=],则三棱锥P-A41c的体积为定值

B.若)，=；,则点P的轨迹长度为3

C.若x+y=l,则的最小值为处

13

3

D.若x=y,则点尸到8c的距离的最小值为5

三、填空题

12.在等差数列｛《｝中，若q+/+。3=-24,4?+《8+49=72,则&)的值为.

13.已知椭圆。的中心为原点，焦点在x轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点

4(4,2)且与椭圆相切的直线方程为.

14.已知点尸在圆河：/十)，2一4%=12上，点A为平面内一定点，点。为QW与小中垂线的

交点，则从下面3个条件任选一个，将其所选序号和对应点。的轨迹填入横线处.

①点4在圆M外；②点4在圆M内(除圆心外)：③点A与圆心M重合.

四、解答题

15.已知圆(7：(.1-1)2+()，-2)2=25,直线/：(2〃?+1)为+(机+l)y-7"?-4=0.

(1)求证：直线/恒过定点；

⑵直线/被圆。截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时〃，的值以及最短弦

长.

16.已知直线/"-)，+1=0与抛物线C：/=2p»，(〃>0)交于AB两点，|A@=8.

⑴求P;

(2)设抛物线C的焦点为尸，过点尸且与/垂直的直线与抛物线C交丁EG,求四边形AE6G

的面积.

17.在等差数列｛《｝中，6=Y，%=-3.

⑴求｛4｝通项公式及其前〃项和S〃的最小值；

(2)若数列也｝为等比数列，旦力尸为，/=如，求也｝的前〃项和人

18.如图1,在VAAC'41,AC±BC,AC=6C'=2,M,N分别是44，边上的动点

（不同于端点），.且MN〃AC,将AaMN沿MN折起到APMN的位置，得到四棱锥

P-ACNM,如图2所示，点Q是线段AC的中点.

图1图2

⑴求证：MNA.PC；

Q）若PN=2NC,当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，求平面PMC与平面WQ的夹

角的余弦值：

⑶若AM工P。,求百线PM与平面ACM所成角的正弦值的取信范闱.

22

19.已知椭圆£京+a=1（〃">°）的左、右顶点分别为A8,且园=46，椭圆E的

焦距为4.

⑴求椭圆E的标准方程；

（2）已知点M,N（M.N不在x轴上）是椭圆E上不同的两点.

①求直线AM，BM的斜率之积；

②若直线AN的斜率是直线8W的斜率的3倍，试判断直线MN是否过定点？若是，求出定

点的坐标；若不是，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二上学期12月测试（一）数学试题》参

考答案

题号12345678910

答案DDBCBAAAACACD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】由向量共线的坐标表示，列出等式求解即可.

【详解】因为八百=（1,皿D，AC=（2,4,〃-1）,

11

由题意7=二=-7

24//-I

解得〃?=2,〃=3.

故m+77=5.

故选：D.

2.D

【分析】根据椭圆和双曲线的简单性质，分别求出曲线工+《=1与曲线

259

22

‘一+二一=l(9vkv25)

25-々9-k

的长轴长、短轴长、实轴长、虚轴长、离心率和焦距，由此能求出结果.

【详解】《+£=1中:

259

长轴长=2后=10,短轴长=2囱=6,

离心率=史今=3,焦距=2/=？=8.

V255

曲线一一十一^=l(9vA<25)中;

25-A9-k

实轴长=2,25-2,虚轴长=2〃-9,

田、-2d25-k+k—94

离心率=——==一=.

2)25-kj25-k

焦品巨=2J25-k+k-9=8.

答案第1页，共15页

曲线土+二=1与曲线^^+上一=1(9<A<25)有共同的焦距.

25925-k9-k

故选：D.

3.B

【分析】利用两点连线斜率公式可表示出心。•即/)=耳二毛，根据A3在椭圆上，将两方程

芍一年

作差即可整理得到结果.

【详解】

二直线y=过原点，二可设4(％/),。(工2，力)，则8(一%,一)[),

+?2

k,k-y2-><><,>2-v.

KAD~~-22

x2-xtX2+X1毛一X}

22

2

+

9.V-1

5

2

%2

-+%

9-

5

2

.)2

_9，…加一9

故选：B.

4.C

【分析】根据已知条件分析得到点Ci与G满足抛物线定义，确定4与G在抛物线上，且线

段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解.

【详解】根据题意点G与G满足：到定点A的距离等于到直线x=-l的距离,

所以G与G在抛物线产=以上，〃=2,线段GG是抛物线产=©的焦点弦,

又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径2〃=4,所以ICC2I的最小值为4.

故选：C.

5.B

【分析】先根据题意，确定椭圆中小尻c的取值，再结合椭圆性质即可求解.

【详解】由题意得，设椭圆方程为则口。,2,=16,

所以。=10,b=8,c=所2—b2=6.

答案第2页，共15页

又点P在椭圆上，所以点尸到椭圆左焦点G的距离|P用的最大值为1ML=a+c=16.

故选：B

6.A

【分析】根据题意，由等差数列前"项和的性质，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为｛《,｝是等差数列，且56-53=〃4+%+4=-3,S「S『四+，…）=9,所以

。5=-1，4=3,所以S]2=12X生/•=6(%+4)=12.

故选：A.

7.A

【分析】先求得圆心C到直线/的距离，结合条件可得3-1<r<3+1,即可求解.

|3x(-l)-4x0-12|

【详解】由题意知C（一1,0）,C到/的距离”==3,

出2+(-4产

要使圆。上仅有2个点到:的距离为1,则3-1<"3+1,解得2vrv4,

故选：A.

8.A

【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得|人却=〃，再建立不等

关系求出离心率的范围.

【详解】设该内切圆在尸耳、Q4上的切点分别为。、E,

由切线长定理可得|的=|.叫，|叫=|P耳，|£B|=|£D|,

又|尸图一仍用=勿，|A6|=kE|,则|〃|+|A41Tp娟=%,

答案第3页，共15页

即2bM=%，解得|阴=〃,

所以孝

由|A8|>2/乙即〃>加，得

故选：A.

【点睛】方法点睛：求解帏圆或双曲线的离心率的三种方法：

①定义法：通过己知条件列出方程组，求得出。得值，根据离心率的定义求解离心率J

②齐次式法：由己知条件得出关于GC的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程

求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

9.AC

【分析】利用空间向量的对称特征可判定D,利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判

定A、B,利用投影向量的概念可判定C.

【详解】对于A,可知二=<=>/1=-!，即A正确;

-1A3

对于B,显然加=0时，/而恒成立，此时义不唯一或者不存在，故B错误:

ah

对于C,向量B在向量£上的投影向量¥办=2x0,0,1)=(2,0,2)故C正确;

对于D,易知点关于平面对称的点的坐标是(-3,-2,1),故D错误.

故选：AC

10.ACD

【分析】由题意可得%从而得出等差数列｛%｝中前7项为正，从第8项起均为

负，结合等差数列的性质和前〃项和的公式对选项进行判断即可.

【详解】由%>。，%+4<。，可得%>0,4<°，

设等差数列的公差为d,a「%=d<0,所以｛〃“｝是递减数列，B选项错误:

因为的>0,所以%=%+6d>0,”<0,所以q>0,A选项正确;

所以4,%，。3，4，%，％，〃7为正，从第8项起均为负，5„<57,故选项C正确;

所以片=空组al-。国=曳3=%2<。，

222

答案第4页，共15页

所以集＜0的〃的最小值为14,故选项D正确.

故选：ACD.

11.ACD

【分析】A：做出图像，由己知和选项找到点尸的位置，判断。到平面4AC的距离为定值，

又△AAC的面积为定值可求出：B：作图找到点。位置，判断轨迹长度即可：C：由向量共

线得到P的位置，再点到直线的距离求最小值；D：建系，川空间向量关系求出产到8c

的距离，再用二次函数的性质求出最值.

【详解】

ZA

4

对A,若工=；，分别作棱A8,人冏的中点O,E,连接。E,则。在线段OE上，易知OE〃

平面4A。，故点〃到平面AA。的距离为定值，又△AAC的面积为定值，所以三棱锥

P-A4,。的体积为定值，故A正确：

若)，=；，分别作AA，64的中点M,N,则点2的轨迹为线段MN,易知MN="=2,

故B错误；

若x+y=l,则A，P,8三点共线，即点/＞在线段A8上，易求点用到的距离为S叵，

13

故的最小值为5叵，故c正确：

13

若x=)’，则点尸在线段A片上，易证DC,两两垂直，以。为坐标原点，DB,DC,

OE所在直线分别为x,7,z轴建立空间直角坐标系，

则人-1,0,0),8(1,0,0),C(0,x/3,0),人(一1,0,3),勺(1,0,3),

所以羽=(2,0,0),Xc-(1,V5,O),5C-(-l,75,0),羽=(0,0,3),

答案第5页，共15页

Q=M而+丽)=(2.r,0,3x),

所以加=/-而=(2x-2,0,3x),

所以cos（加，胫）谓,

所以点~到8。的距离

卜（卸=啊一（1）2=42.\—=

9

4=网+一，

4

所以当X=:]时，4in=3p故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的

求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难

的试题.

12.28

【分析】由等差中项可得q+/+%=3%=-24,%+%+%=3%=72,结合等差数列通

项公式求出4和“，再求出—即可.

【详解】由题，4+。2+4=3生=-24,47+4K+49=34K=72,

七=-8,48=24,

%=%+d=-8

£718=q+17d=24，

J4=T°

"(1=2'

a20=-10+19x2=28.

故答案为：28

13.x+2y-8=0

【分析】根据条件，求出稀圆方程，设所求切线方程为），=攵（1-4）+2,联立直线与推圆方

程，利用直线与椭圆的位置关系求出3即可求解.

答案第6页，共15页

【详解】因为椭圆的焦点在X轴上，设椭圆方程为£+/=

又长轴长是短轴长的2倍，点A（4,2）在椭圆上，

a=2b

所以，164,,解得/=32万=8,

（a-b-

所以椭圆C的方程为《+£=1,

328

由题知切线斜率存在，设切线方程为）=&"-4）+2,

片+广=1

由《328一,消>得至“4二+1卜2+（-32二+16&卜+（64公—64k—16）=0,

y=k（x-4）+2

所以△=（一32攵2+164『一4（1+必2）（64/_644一16）=0,整理得至，4公+锹+1=0,

解得&二一；，故所求的直线方程为y=—：（x—4）+2,即x+2），-8=0,

故答案为：x+2y-8=0.

14.①双曲线（或②椭圆或③圆）

【分析】先把圆化简得出标准方程，由①应用双曲线的定义判断可得轨迹；由②应用槌圆及

圆的定义判断可得轨迹；

【详解】由题可得圆M：（x—2）2+），2=16,r=4.

如图①，当点4在圆”外时，连接QA,则|04|=|Q",有

期一|QM|=\QF\-\QM\=|PM|=4<|M4|,

此时点Q的轨迹是以点M,A为两焦点，实轴长为4的双曲线；

如图②，当点A在圆加底（除圆心外），连接QA,则|。4|二|。〃，有

\Q^+\QM\=\QP\+\QM\=\MP\=4>\MA\,

此时点。的轨迹是以MM两点为焦点，长轴长为4的椭圆：

当点4与圆心M重合，此时点。为尸M中点，

所以此时点。的轨迹为以M为圆心，半径为2的圆.

答案第7页，共15页

15.（1）证明见解析

（2）当/过圆心时弦长最长；当/的方程为2x—y—5=0时最短；/〃=一金；最短弦长为4万

4

【分析】（1）将直线/的方程可化为（2x+y-7»〃+（x+），-4）=0,若过定点，则与机无关，

2r+y-7=0

理解可得、八，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线，过圆心C时,

x+y-4=0

直线被圆截得的弦长最长，当直线/JLCP时，直线被圆裁得的弦长最短，据此运算求解.

【详解】（1）直线/的方程可化为（2x+y-7）m+（x+y-4）=0

2X+），-7=0.v=3

联立，解得<

x+y-4=0产1

故直线/恒过定点（3,1）

（2）当直线/过圆心。时，直线被圆截得的弦长最长

设P（3』）,C（1,2）,当直线/J.CP时，直线被圆截得的弦长最短

则直线CP的斜率为4“=旦=-<

由上心/，=一1得直线/的斜率为攵=-3=2,解得m=-3

m+\4

此时/的方程为y-1=2（x-3）,即2x—），-5二0

12-2-51

I员I心C（1,2）到直线2x-），-5=0的距离为八=旧

最短弦长=2J户-d'=4A/5

故当/过圆心时弦长最长；当/的方程为2工-），-5=0时最短：〃?=-=；最短弦长为4、后

4

16.（1）2

答案第8页，共15页

(2)32

【分析1(1)联立，：x-y+i=。和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求

得答案；

(2)求出直线”的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出|EG|,根据四边形

面积的计算可得答案.

【详解】(1)设4(4%),8(马,力)，

x-y+l=O

由<,二,可得x-2川-2〃=0,

[k=2py

易得△=4〃*+8〃>0，所以/+4=2〃,乙乙=-2〃，

则|4用=&xJ（4+xj-4吠4=2&J/+2”=8,

H|J/r+2p-8=0,因为〃>。，月f以〃=2.

（2）由题意可得抛物线C的焦点为尸（0J）,直线KG的方程为x+y-l=0.

x+y-l=0

联立<,化简可得x2+4x—4=0,MA=16+16>0,

x2=4y

设七（内,y）,G（X2，H）,则%+毛=-4,y+为=2-（玉+毛）=6,

则|EG|=y+儿+〃=8,

因为A8J.EG,所以S,即=；|A8HEG|=；X8X8=32.

17.(1)«„=3«-24,最小值为-84

(2)7；=|(y-l)

【分析】(I)根据题意，列出关于《，"的方程，代入计算，再由等差数列的前〃项和公式,

答案第9页，共15页

即可得到结果；

(2)根据题意，由等比数列的前"项和公式，代入计算，即可得到结果;

【详解】（1）设等差数列｛〃“｝的公差为d.

a.+5d=-6a,=-21

因为。6=<%=-3,所以｛,解得L,

4+6d=-3d=3

所以4=%+(n-l)J=3M-24.

(_15f_675

所以。“…〃—[”一万14•

“222

因为〃wN-，所以当〃=7或〃=8时S.取得最小值，

且最小值为57=S8=(3X8-45)X8=.4

2

(2)由(1)可得：仇=备=3,4=%I=9,

所以等比数列｛〃,｝的公比为9=)[=3，

<Z|。

所以勿=4•qM=3",所以等比数列也,｝的前〃项和7；="二上更=2=2(3*'-I).

T-qI-32''

18.(1)证明见解析

⑵李

⑶陷

【分析】(1)先证明MV_L平面PNC,从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直；

(2)先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的

法向量，从而得到两平面夹角的余弦值；

(3)先建立空间直角坐标系，并设出点“和N的坐标，通过垂直得出关系，求出平面ACM

的法向量，代入线面角的向量公式得疝第二]』=7,从而利用对勾函数单调

通-2)+(/+1)+〃-

性和正弦函数性质求解即可.

【详解】(1)在V48C中，AC1BC,MN//AC,所以MV_L8C,

所以在四棱锥P-4CNM中，MN1PN,MNINC,

又PNcNC=N,PN,NCu平面尸NC,所以MN_L平面PNC,

答案第10页，共15页

又PCu平面PNC,所以MN工PC.

(2)当四棱锥P-4CNM的体积取得最大值时，平面PMNJL平面4CNM.

又平面PMNC］平面ACNM=MV,MNLPN,PNu平面PMV,

所以PN八平面ACNM,

故以N为坐标原点，NM,NC,N"所在的直线分别为盯z轴建立空间直角坐标系,

如图所示,

则N(0,0,0),A(2,■!，())《0,0《｝c[。，*。)，M；*0,0),所以Q(l,|,0

设平面PMC的一个法向量为后=(N，y,zJ,

又PniCl=0（,-

\D

------24

町•PC=—y—Z|=0

_3]3，令4=1,解得$=1,X=2,

所以

CA/=3X,~3Jl=°

所以平面PMC的一个法向最万=(1,2,1).

设平面PMQ的一个法向量为"=(与,%,z2),

,“0=

所以

令心=1，解得/=Z2=2,所以平面PMQ的一个法向量卮=(2,1,2).

设平面PMC与平面PMQ的夹角为

M•"I_2+2+2=6

所以cos。=|cos（班,）

同•同Jl+4+lxJ4+1+43

即平面尸MC与平面PMQ为夹角的余弦值为手.

答案第II页，共15页

(3)以C为坐标原点，直线C4和CN分别为x,丁轴，过C作平面ACNM的垂线为z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示，设P(0,s,")(〃＞0),N(OJ,O)(O＜，＜2),Q(-1,0.0),

A(-2,0,0),M(/-2j,0),

又AM_LPQ,所以丽•用=T-V=0,解得s=-l,

则,则而=«-2"+1,—〃)，

2

又PM=\[2PN，所以("2『十(，十炉十(一”)2:2(2-r)?

整理得“2=3-6/,且“2=3-6/>0，/>0»得

易得平面ACM的一个法向量为n=(0,0,1),设直线PM与平面ACM所成角为P,

9=同(用M卜哪U

^l-2)2+(l+\)2+u2，

,in26=3一.=3-&=6。-2/)=6(1-21);6

则(2-/)2+(/+l)2+3-6r2/2—81+8(254)2[3+0—2川？(「2。+2+6'

令l-2/=/t«0,l),函数/(2)=/+彳+6在(0,1)上单调递减，/(A)>/(l)=16,

A

因此(1-2。+々+6>16,则Ovsin?夕解得0<疝?<迈,

1-2/84

所以直线尸M与平面ACM所成角的正弦值的取值范围是“),手).

19.(1)—+^-=1

84

(2)①-；；②MV恒过点卜&,0).

【分析】(1)根据焦距和|A卸=4拉求出.=2&和c=2,利用/=/一0.2求出b=2,得至U

椭圆方程;

答案第12页，共15页

24_看

（2）①设M（x，y）,则片=4一三，计算出/加2:豆:1；

X1-82

②设%（£,%），若直线MN的斜率为0,得到L=L=0,与M.N不在x轴上矛盾，不合

题意,若直线的斜率不为0,设MN:x=my-丘,联立椭圆方程，得到两根之和，两根

13

之积，由①知心M・心”=-万，又k*N=3kBM，所以3,w・<W=—］，列出方程，舍去不合要

求的根，求出〃=-&，所以直线MN:x=〃p-拉恒过点（一夜,0）.

【详解】（I）由|4四二4〃，得2a=4&，解得a=20，

设椭圆E的焦距为2c,由焦距为4,得2c=4,解得c=2,

又6=J7^7=2,所以椭圆E的标准方程为《+工=1；

84

（2）①由题意，得人（260）,8（2五,0）,