二次根式的乘法与除法（知识+6个题型讲练+中考题演练+难度分层练）解析版-2024人教版八年级数学下册

专题19.2二次根式的乘法与除法

（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共43题）

【解析版】

。目录导航_

知识荟萃................................................................................2

知识点梳理01:二次根式的乘法法则....................................................2

知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用..............................................2

知识点梳理03：二次根式的除法法则....................................................2

知识点梳理04：最简二次根式的概念...................................................3

题型讲练................................................................................4

题型1:二次根式的乘法...............................................................4

题型2：二次根式的式法...............................................................5

题型3：二次根式的乘除混合运算.......................................................6

题型4:最简二次根式的判断...........................................................7

题型5：化为最简二次根式.............................................................9

题型6：已知最简二次根式求参数......................................................10

中考真题..............................................................................11

分层训练................................................................................17

基础夯实............................................................................17

培优拔高............................................................................22

♦知识莒萃

知识点梳理01:二次根式的乘法法则

1.二次根式的乘法法则：^b=Vab(a>0.Z>>0)

(二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变)

2.二次根式的乘法法则的推广

(1)7a5/b7c=7abc(a^0ri^0,c^0)

(2)a而°,=如屈°204之0),即当二次根式前面有系数时，可类比单项式

乘单项式的法则进行干算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用

1.二次根式的乘法法则的逆用

庙='「・、历9之0力20)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质)

2.二次根式的乘法法则的逆用的推广

Jabcd=&R&^/7(a>0,6>0.<r>0,^>0)

知识点梳理03：二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则

42。石20)

避Vb(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变)

2.二次根式的除法法则的推广

枢-卫-4a+b-c(a>。力>0,c>0)

【易错点拨】

(1)a20,b>0时，遍丫6才有意义；

（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数

知识点梳理04：最简二次根式的概念

1.最简二次根式的概念

（1）被开方数不含分母

（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式

2.化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数而=74x2=2-/2

或因式进行开方

若被开方数中

含有带分数，先T3寸3历3

将被开方数化

成假分数

若被开方数中炳二舟舟警

化去根号下的含有小数，先将

分母小数化成分数

若被开方数时

分式,先将分式

分母化成能转(a>0,b>0,c>0)

化为平方的形

式，再进行开方

运算

被开方数时多项式的要先因式

分解

(x20,y20)

3.分母有理化

（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式“，化去分母中

的根号。

♦题型拼练

题型1:二次根式的乘法

VHx导

【典例精讲】（2025•江苏淮安•中考真题）计算:

【答案】

【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

根据二次根式的乘法运算法则计算即可.

【规范解答】解:

故答案为：.

【变式训练1】（23-24八年级下•辽宁鞍山・月考）设6”则氏即可

以表示为（）

ab10ab

A.10CB.10abC.熊fldD.7710

【答案】D

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘法.根据二次根式的乘法运算法则求解即可.

【规范解答】解：•・・、’'=0,m=匕，

.VxV0J1=x<3xJ焉x11=ax17=n

♦♦，

故选：【）.

【变式训练21（23-24八色级下・江苏泰州•期末）计算：侬"&=.

【答案】

【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法.二次根式的乘法法则痴7%二、"记.根据二次

根式的乘法法则计算即可.

V20xy2=v'40=2V10

【规范解答】解:9

口公*忙2>/TD

故答案为：.

题型2：二次根式的除法

【典例精讲】（2025•上海浦东新-三模）已知函数""、*+2,那么"无）=

【答案】3

【思路点拨】本题考查求函数值，二次根式的运算，把"=交代入函数表达式，进行计算即

可.

f（X）=r6,

【规范解答】解：•・•、.+•

故答案为：3

【变式训练1】（24-25八年级下•安徽淮南•月考）计算屈.迎的结果是（）

2^5V6

A.B.4C.3I）.

【答案】A

【思路点拨】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键.

根据二次根式的除法法则计算即可.

【规范解答】解：屈+&=屈=2钙

故选：A.

-4V64-2^3=

［变式训练2】（24-25八年级下-天津静海•月考）计算:

【答案】i2企

【思路点拨】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则.

根据二次根式的除法法则进行计算即可.

-4、%+2H

【规范解答】解:

=(-4+2)x(乃+V3)

=-2xV2

=-2v2

故答案为：一2夜

题型3：二次根式的乘除混合运算

3亦x（-方）+3汕〉0）

【典例精讲】（24-25八年级下•上海•月考）计算：“12J7a

3一。2\万

【答案】

【思路点拨】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运

算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解.本题考查了二次根式的乘除

混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

b

-口时2N°a-0

【规氾解答】解：由题意可得，，，

••b>0

•，

*a>0

••，

.‘西x（-3荷），3g

••

=">3]•卜

]

=——y'a5b2

D

1

=_La2b\^a

b

【变式训练1]（2024•广东茂名・一模）计算：存

【答案】26

【思路点拨】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可.

【规范解答】解:

2、攵

故答案为：

【变式训练2】（24-25八年级下♦广东茂名♦月考）计算：7?.

V2

【答案】

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则.

同级运算从左向右进行计算即可.

V8-V2Xji=2xf=72

【规范解答】解：”Z,

故答案为：e.

题型4：最简二次根式的判断

【典例精讲】（24-25八年级下-云南临沧・期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是

（）

WEV32J

A.D.C.D・▼

【答案】A

【思路点拨】本题考杳了二次根式的化简，熟记”被开方数不能含有能开得尽方的因数或式

子，不能含有分母”是解题关键.

根据最简二次根式的定义求解即可.

【规范解答】解：A、“是最简二次根式，符合题意；

B、,'-7三,被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

C、0被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意：

D、B被开方数含分母，K是最简二次根式，不符合题意；

故选：A.

【变式训练1］（24-25八年级下-云南红河・期末）下到各二次根式中，属于最简二次根式

的是（）

y/6V0.2优

A.B.C.I）.

【答案】A

【思路点拨】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最茴二次根式是解题的关键；根据最简

二次根式的定义，被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断

各选项即可.

【规范解答】解：•・•最简二次根式需满足被开方数为整数且无开得尽方的因数，

对于A：4,被开方数6为整数，且无平方因数，・•・"为最简二次根式；

对于B：\被开方数含分母，不是整数，.••不是最简二次根式：

对于C：、用=2V2,被开方数含平方因数4,.••不是最简二次根式；

对于D：v,被开方数9为平方数，可开尽，，不是最简二次根式；

故选A

【变式训练2】（23-24八年级下-全国•期中）下列说法中正确的是.（填序号）

①若诟则质等于6，

②使的是正整数的最小整数〃是3；

③任是最简二次根式；

3+y/lx%

④计算日的结果是1.

【答案】②④/④②

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二

次根式的运算是解题的关踵.

利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案.

【规范解答】解：①

,v80=4v5=4«故①错误;

②g=〃x3”是正整数的最小整数,

.二〃是3,故②正确；

③2,不是最简二次根式，故③错误;

3+\."x±=3xXx=1

④ev3v13,故④正确.

故答案为：②④

题型5：化为最简二次根式

【典例精讲】（24-25八年级下•山西朔州•期末）将E化成最简二次根式的结果为

2。

【答案】

【思路点拨】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可.

【规范解答】解：氏=6^1=26

j/tavdd2H

故答案为：

【变式训练1］（24-25八年级下-福建福州•期中）下列根式是最简二次根式的是（）

RV3c.专D.小

A•D.

【答案】B

【思路点拨】本题考查最简二次根式的识别，解题的关健是掌握：被开方数的因数是整数,

字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.据此判断即可.

【规范解答】解：A.""2、Z不是最简二次根式，故此选项不符合题意;

B.H是最简二次根式，故此选项符合题意:

1=0

C."一才，不是最简二次根式，故此选项不符合题意;

D.v变二2百，不是最简二次根式，故此选项不符合题意.

故选：B.

【变式训练2】（24-25八年级下-内蒙古鄂尔多斯•月考）下列二次根式中不能再化简的二

次根式是（）

VL5JI0$D蔡

A.D.▼C.D.

【答案】D

【思路点拨】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方

数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.根据最简二次根式的定

义逐一判断即可.

【规范解答】解：As2,本选项不符合题意；

B、出-3,本选项不符合题意；

C、"=3本选项不符合题意；

由

D、丁是不能再化简的二次根式，本选项符合题意；

故选：D.

题型6：已知最简二次根式求参数

【典例精讲】（24-25八年级下-广东汕尾-期末）已知质与加是同类二次根式，则m的

最小整数值为.

【答案】3

【思路点拨】本题考查同类二次根式.根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次

根式为同类二次根式”，先将画化简为夜.场，根据被开方数相同，即可求解.

【规范解答】解：•.•屈与”是同类二次根式，

.\f5rn=\[2•V3ni

••，

•••秋的最小整数值为3,

故答案为：3.

【变式训练1】（24-25八年级下•河北承德•期末）若、’3771-6是最简二次根式，则整数相

的最小值为.

【答案】3

【思路点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的

尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可.

3m-6>0

【规范解答】解:

m>2

J3m—6tn

VV是最简二次根式，且为整数，

・•・当m=2时，，"3m皿—6°=vv'O=0,不符合题意;

=3v3m-6=V3...__

当时，，符合题意；

故答案为：3.

【变式训练2】（24-25八年级下•河北邢台・期中）请写出一个正整数”的

值：，使师*1是最简二次根式.

【答案】1（答案不唯一）

【思路点拨】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开

得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.根据最简二次根式的概念解答即可.

【规范解答】解：•・万向；是最简二次根式，

a+1=235,,

工或或等，

a=124

・•・或或等，

故答案为：1（答案不唯一）.

♦中育真题

EJABCD45=10AD=6ACIBCBD=

1.（2024•陕西西安•中考真题）如图，在中,,,,贝ij

4V132V26

C.I).

【答案】C

AC

【思路点拨】此题考查平行四边形的性质、勾股定理等如以，利用勾股定理求出，再利

0B

用勾股定理求出可得结论.

ACBD0

【规范解答】解：如图，设，交于点，

vAC1BC

9

••・^ACB=9Q°

9

AC=x/AB2-BC2=4(PF=8

••・OC=)C=4

•••OB=VBC2+OC2=V62+42=2713

•••8D=2OB=4E

故选：c.

2.（2024•全国•中考真题）下列式子是最简二次根式的是（）

A.再2D.伤

B.V•

【答案】C

【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即H,掌

握最简二次根式的定义是解题的关键.

【规范解答】解:故选项不符合题意;

1_V2

.彳，故选项不符合题意;

B、

C、“是最简二次根式，故选项符合题意;

D、我=2行，故选项不符合题意；

故选：C.

2026

（2-可°25x（y?+2）

3.(2024•山东烟台・中考真题)计算的结果为.

【答案】

【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，暴的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式

的乘法法则和¥的运算是解决问题的关键.

先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可.

=[(2-V5)X(2+V5)1202SX(2+V5)

【规范解答】解：原式LJ1＞，

=(4-5)2025X(2+V5)

9

=-1x(2+v5)

=-2-

-2-VS

故答案为：v.

_ABCDAB=3BC=4EAD

4.(2024•福建厦门•中考真题)如图，在矩形中，，.点在边上,

且ED=3,M.N分别是边血BC上的动点,且4M="P是线段CE上的动点，连接

【答案】"

【思路点拨】本题考查的是矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作

M关于CE的对称点‘/，连接P"]，可得当‘LP.N共线，且‘INIBC时，PM+PN=P7J+PN=JN

BNPMBM=PN=CN=AM=\

此时最小，证明四边形为矩形，可得’，进一步可得答案.

【规范解答】解：如图，作用关于0"的对称点‘，连接"，

当‘J.P.N共线.，且‘INLBC时，

PM+PN=PJ+PN=JN

,此时最小,

一ABCD,AB=3BC=4

•・•在矩形中,

AB=CD=34D=BC=44=4=々CD=C=90。

ED=3

9

DE=DC

.NDCE=NDEC=45cNB"=45°

,JNLBC

.^CPN=45°=QPE=NBCE

••

PN=CN

^MPE=4PE=450

由对称可得:

^MPN=90。=NB=^BNP

BNPM

・•・四边形为矩形,

BM=PN=CN=AM=\AB=；

CP=\PN」+CN>=*

故答案沏滤

5.(2024•湖南湘潭•中考真题)阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可

2

a>0b>Q(%/a-=a-2x[ab+ba+b>2>!ab

以发现：当，时，有，所以一，当且仅当

n-h

时取等号.请利用上述结论解决以下问题：

11

x>0x十-V<ox十一

(1)当时，”的最小值为_______；当时，x的最大值为;

r+3r+l€

%>0------%

⑵当时，求代数式"的最小值，并求出此时的值.

【答案】(1)2：一

(2)当时，代数式x的最小值为11,此时”的值为4

【思路点拨】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完

全平方公式和二次根式的运算是解题关键.

x>0(标一之)—x-2+-0x<0

(1)当时，则'X,由此即可得；当时,

2

（I一言=-x-2-l>0

由此即可得;

竺+3（G-但丫=%-8+竺“

（2）先将代数式变形为XX，再根据'⑺X可得

x+->8X_竺

（当且仅当”时取等号），由此即可得.

x>0（怖—之）=x-2Vx--^+-=r-2+

当时，则'㈤"X

【规范解答】（1）解:

•.（怖-/）之°

x—2+->0

X

x+->2x=-

x（当且仅当'时取等号）,

%>0*+；

・•・当时，’的最小值为2.

%<0（7—x—=~x-2V-+—=~x-2--

当时，贝卢L“grI

CV）“

—x-2c-1>c0—x=—1

（当且仅当r时取等号）,

X<0x+--2

・•・当时，'的最大值为

故答案为：2；-2

2

-/+-3-x-+-1-6=—x+.—3x+.——16=%+.——16+.3,

（2）解:

,x>0,

当时,

>0

r-8+—>0x=—

・•・X（当且仅当“时取等号），

x+1—16>一8cx=一M

J”（当且仅当“时取等号），

X+-+3>11x=-

・•・”（当且仅当”时取等号），

1（

x=-戈2=16x=4x=—4V0

由“得：一，解得或（不符合题意，舍去），

1€

Y-AX——

经检验，一是方程*的解，

♦+3r+M

%>0---------x

所以当时，代数式X的最小值为11,此时的值为4.

分足训练

♦—■■—

基础夯实

1.（24-25八年级下-陕西商洛•期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）

人优

3rV100D.瓜

A.B.

【答案】D

【思路点拨】本题考杳最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得

尽方的因数.

【规范解答】解：A.«==26，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式:

11

B.被开方数含分母，不是最简二次根式;

c.师可完全开方，不是最简二次根式；

D.6被开方数为质数，无分母和能开得尽方的因数，是最简二次根式.

故选：D.

2.（24-25八年级下-广东广州-期中）下列式子是最简二次根式的是（）

A.1B.优C.瓜D.旧

【答案】C

【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键,

最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的

因数或因式，逐一判断各选项.

n

【规范解答】解：A、2被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

B、企=">2=2我，含能开方的因数;不是最简，不符合题意；

C、V5，被开方数5为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意；

D、g=、'E=2内，含能开方的因数1不是最简，不符合题意；

故选：C.

3.（24-25八年级下-云南临沧•期末）下列运算正确的是（）

，（-2）2=-2或+=HV2xV3=V6

A・B.1✓・

42a_1

I）.2abz

【答案】C

【思路点拨】本题考直了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

和除法法则是解决问题的关键.根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法

则，逐项进行判断即可.

【规范解答】解：A.-2,故A选项不符合题意；

B.。与6不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意；

V2xV3=V6

c.,故c选项符合题意;

欠=上二

D.方方'必\故D选项不符合题意.

故选：C.

>/6x77

4.（24-25八年级下-陕西商洛・期末）计算vv的结果为.

42

【答案】V

【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则，.X而

（o>0,h>0）直接计算即可.

【规范解答】解：V‘X6=J6x7=其中"2已是最简二次根式，

故答案为：V^42

5.（24-25八年级下•福建三明•期中）若一个无理数a与'8的积是一个有理数，则a的值

可以是.（写出一个即可）

【答案】。（答案不唯一）

【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法运算.需要找到一个无理数,，使得‘与找的乘积

为有理数.由于网可化简为20,因此“应包含迎的因子，以便与,相乘后得到有理数.

【规范解答】解：取则”网=&*2企=2*&x&）=2x2=44是有理

数，满足条件.

故答案为6.

Jym^n-2J23m-2n¥2

6.（24-25八年级下-广东惠州•期中）若和都是最简二次根式，则

m=n=

，•

【答案】12

【思路点拨】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义

是解题的关键.如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因

数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.那么，这个根式叫做最简二次根式.据

此得到关于勿、〃的二元一次方程组，解之即可.

v'23m-2n+2

【规范解答】解：:和都是最简二次根式,

（m+九-2=1

.l3m-2n+2=1

vm=1

解得n=2

故答案为：1;2.

RtA4FC4=90°DEBCAC

7.（2024•广东•模拟预则）如图，在中，，，分别是，的中

AD=4BE=3AB=

■2\/5

【答案】

【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关

系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

卜+©=16①

BC=y

设"="，f由勾股定理/◎+产=9②，整理得好+产=2°,然后根据

"8不了即可求解.

AC=xBC=y

【规范解答】解:设，,

DEBCAC

，分别是的中点,

CD=?BC=\y,CE=\AC=

x2+(0=16①

©十八9②

由勾股定理得

①+同得R+犷=25

22

则厂X十+V厂=20

AB=y/x2+y2=幅=2层

故答案为：2百

1225

8.(24-25八年级下•广西南宁•期中)如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个

小正方形.

(1)则裁去的较大正方形的边长是，较小正方形的边工是

(2)求留下部分的面积.

520

【答案】⑴，

⑵留下部分的面积为

【思路点拨】本题主要考查了算术平方根.

°)根据算术平方根的定义和正方形的面积求出正方形的边长;

0)根据两个正方形的边长可知留卜矩形的长为S,宽为20,根据长方形的面积公式即可求

出结果.

»25

【规范解答】(1)解：.较大正方形的面积是

’较大正方形的功长是岳=5

较小正方形的面积是空

[-T七皿,'h1/|)vT2=2

较小正方形的边长是

52。

故答案为：，

(2)解：由0)可知裁去的较大正方形的边长为5,较小正方形的边长为20：

留下部分的面积=2x5x2、、"=“20VHO,

答：留下部分的面积为2"

2

>/504-<2+(V3-1)°-Qp

9.（24-25八年级下-湖南长沙•期末）计算:

【答案】2

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的除法，零指数事和负整数指数累，解题的关键是熟

练掌握运算法则，先计算二次根式的除法，再算零指数哥和负整数指数累，最后算加减即可.

750+72+(75-1)°-装厂

【规范解答】解:

=5+1—4

=2

V8x^+-|-4|-（>/2023）

10.（24-25八年级下•湖南长沙-期末）计算：

【答案】2

【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的乘法，负整数指数显，绝对值,

零指数基，按运算顺序应用各运算法则进行计算即可得答案.

=4+3—4—1

【规范解答】解：原式

=2

培优拔高

11.（24-25八年级下-四川泸州•期中）下列等式成立的是（）

A.3益晓得2*J得2g>T佝』。

【答案】B

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简和运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法

则和运算法则.

通过计算每个等式的左右两边，判断是否相等.

3宁=布工企

【规范解答】解：对于选项A：43，该选项不成立;

对于选项B：降卜导炉

工左边二右边,该选项成立;

对于选项C：

用_7

--H-

3,该选项不成立;

（一2百）2=4x5=20

对于选项I）：,

20^10

，该选项不成上；

故选：B.

12.（24-25八年级下-四川泸州-期中）下列是最简二次根式的是（）

A.际B.质C.£D,

【答案】D

【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式的识别,解题的关键是掌握最简二次根式的定义.

最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分

母.

【规范解答】解：A.”.该选项不是最简二次根式:

、砂=y[6y

B.,该选项不是最简二次根式;

IT_巡

C.、百一E,该选项不是最简二次根式;

I）.该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式;

故选：D.

13.（24-25八年级下-吉林・期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（）

A4口巡VFlP°^24

1f

A・D.C.D.

【答案】B

【思路点拨】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得

尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答.

【规范解答】解：A、＜22,故A不符合题意;

B、“是最简二次根式，故B符合题意;

C、、/（一1/=1,故c不符合题意；

D、.=2〃,故D不符合题意；

故选：氏

14.（24-25八年级下•湖北武汉•月考）平行四边形"8，"的面枳是12,MN分别是

,,,.,.BC,,PNLADAD=4CP=1PM=

的中点，尸是直线fl上一点且，若t，，则

幅、嵌

【答案】三或工

【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先

PN=3

根据平行四边形的面积计算公式求出；再分点尸在点。左侧和点尸在点。右侧两种

AAMF三△BMP（AAS）

情况，延长PM',DA交于R证明"'，得到AF=BP，PM=FM：求出

,”的长，讲而求出。卜的长即可得到答案。

ABCD

【规范解答】解：:四边形是平行四边形,

.BCIIADfBC=AD=4

PN1AD§干行臼边形ABCD=12

AD-PN=12

PN=3

交于凡

BP=BC-CP=3

*9

BCIIAD

9

^MBP=^MAF,=^MFA

1

AB

点必为的中点，

BM=AM

9

△AMF=BMP(AAS)

9

AF=BP=3PM=FM

，；

AD

点"为的中点，

AN=^AD=2

FN=4F+HN=5

PF=UN2+FN2=,32+52=V34

穿=手

PM=FM=22

PMDA

如图所示，当点〃在点。右侧时，延长'交于居

B

D

N

CP=1

.BP=BC+CP=5

**•;

..BCIIAD

•，

.^MBP=^MAF,^MPB=^MFA

••，

AB

•:点M为的中点，

.BM=

••，

.△AMF=BMP（AAS）

••，

AF=BP=SPM=FM

••，；

AD

丁点"为的中点，

AN=\AD=2

・2

••，

.FN=4F+AN=7

••，

.PF=、；PN2+FN2=\字+72=V58

••9

PM=FM=¥=当

.22

••:

理坦

综上所述，的长为'或丁，

v34v5€

故答案为：丁或丁。

ABCD

15.（24-25八年级卜•广东佛山•月考）如图（1）是一把折叠臬实物图，支架与交

0OD=0BMN

于点，.如图（2）是桌子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），桌面与

地面水平线平行，'，.那么展开后桌子的高度约为_

cm

【答案】

【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的

DC=30cm

性质，先求得，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，即可求解.

^BOD=ZCOA=60°OD=OB

△ODB

是等边三角形,

OD=BD=20cHi/OBD=/CDB=60B

ACIIBD

ZACO=NCDB=60°

△Mt*.八

是等边三角形,

BD=2ACBD=20cm

CO=AC=10cm

CD=CO+OD=30cm

“DB=60。CE11、"CED=90。

,,即

.^DCE=30c

DE=-CD=15cm

..RtACDECE=\CD2-DE2=15\3cm

••在中，，

・•・展开后桌子的高度约铲信

u小g、115\^3

故答案为：

16.（24-25八年级下•湖北省直辖县级单位•月考）如图，一架25nl的云梯"'斜靠在一竖

直的墙上，这时"。为24nl.如果梯子的底端向墙一侧移动了2n\那么梯子的顶端向

m

上滑动的距离是.

【答案】-24）

Rt△月OB0B

【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理可求出的

ODRtACODOCAC

长，则可求出的长，在中，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得

到答案.

【规范解答】解：由题意得，

=CD=25m,04=24m,BD=2m,^AOB=^COD=9Q°

9

Rt^AOBim3=VAB2-0A2=,252—2,=7m

在中，由勾股定理得，

OD=OB-BD=5ni

,RtACODoc=VCD2-OD2=,252-52=ioV6m

在中，

tAC=OC-OA=(10\/6-24)m

・••梯子的顶端向上滑动的距离是0°“一24小，

必抬

故答案g为n：'(10V6-24)<

ABCDRCCD

17.(24-25八年级下•四川广安•期末)如图，矩形中，点〃，内分别在边'上，

连接A",将沿"折叠，点〃恰好落在线段”上的点《处，同时将沿4"

AtFGAB=6,CE=2AD=

折叠，点6恰好落在线段上的点G处.连接，若'，则,

FG=

2"!

~~3~

【答案】10

x

【思路点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，设一，由折叠的性质可得

AE=AD=x62+(x—2)2=x2,x=10AE=AD=10_

,即可得z''，解得z故：由折叠的性质可

10

得=6,即得GE"ETG=4设"=，，可得*+(6一斤=/解得，=7

EF=DF=^=VGF2+EF2=—

即3,再由勾股定理得用3.

【规范解答】解：设'"二”，

由折叠的性质可得"JT,

,ABCD,

•••四边形是矩形，

.=^77=90°,BC=AD=xCD=AB=6

••99

••C