太原市2025-2026学年中考数学考前最后一卷（含答案解析）

太原市2025-2026学年中考数学考前最后一卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是()A．a+t>aB．a+t<aC．a+t≥aD．不能确定2．已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．计算的结果是（）A．a2 B．-a2 C．a4 D．-a44．已知在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，下列四个命题中真命题是（）A．若AB=CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形；B．若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形；C．若，则四边形ABCD一定是矩形；D．若AC⊥BD且AO=OD，则四边形ABCD一定是正方形．5．下列现象，能说明“线动成面”的是（）A．天空划过一道流星B．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹6．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形B．两个等腰三角形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似7．－10－4的结果是（）A．－7B．7C．－14D．138．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，连接CC′.若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是()A．32° B．64° C．77° D．87°9．计算－4－|－3|的结果是()A．－1B．－5C．1D．510．y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（）A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，点A是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的点，分别过点A向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为______．12．我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____．13．如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．14．已知线段厘米，厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于________厘米．15．如图所示，P为∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα+cosα=_____．16．某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同.求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为_______.三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？18．（8分）如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．求抛物线的解析式；抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．19．（8分）如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高．（=1.73，结果保留一位小数．）20．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．求证：△ABC∽△EBD．21．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；△A2B2C2的面积是平方单位．22．（10分）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A（2,1）.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.24．计算：解不等式组，并写出它的所有整数解．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解析】试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.t＞0，∴a＋t＞a，故选A.考点：本题考查的是不等式的基本性质点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.2、C【解析】

先将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-3x+（3-a）=1①．由于原方程只有一个实数根，因此，方程①的根有两种情况：（1）方程①有两个相等的实数根，此二等根使x（x-2）≠1；（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使x（x-2）=1，另外一根使x（x-2）≠1．针对每一种情况，分别求出a的值及对应的原方程的根．【详解】去分母，将原方程两边同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（3﹣a）=1．①方程①的根的情况有两种：（1）方程①有两个相等的实数根，即△=9﹣3×2（3﹣a）=1．解得a=．当a=时，解方程2x2﹣3x+（﹣+3）=1，得x1=x2=．（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为1或2．（i）当x=1时，代入①式得3﹣a=1，即a=3．当a=3时，解方程2x2﹣3x=1，x（2x﹣3）=1，x1=1或x2=1.4．而x1=1是增根，即这时方程①的另一个根是x=1.4．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．（ii）当x=2时，代入①式，得2×3﹣2×3+（3﹣a）=1，即a=5．当a=5时，解方程2x2﹣3x﹣2=1，x1=2，x2=﹣．x1是增根，故x=﹣为方程的唯一实根；因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，3，5共3个．故选C．考查了分式方程的解法及增根问题．由于原分式方程去分母后，得到一个含有字母的一元二次方程，所以要分情况进行讨论．理解分式方程产生增根的原因及一元二次方程解的情况从而正确进行分类是解题的关键．3、D【解析】

直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：，故选D．此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．4、C【解析】A、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是矩形，因此A中命题不一定成立；B、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是矩形，因此B中命题不一定成立；C、因为由结合AO+CO=AC=BD=BO+OD可证得AO=CO，BO=DO，由此即可证得此时四边形ABCD是矩形，因此C中命题一定成立；D、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是等腰梯形，由此D中命题不一定成立.故选C.5、B【解析】

本题是一道关于点、线、面、体的题目，回忆点、线、面、体的知识；【详解】解：∵A、天空划过一道流星说明“点动成线”，∴故本选项错误.∵B、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”，∴故本选项正确.∵C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，∴故本选项错误.∵D、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹说明“面动成体”，∴故本选项错误.故选B.本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键.点动成线、线动成面、面动成体.6、B【解析】

根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.故选B．本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．特别注意，本题是选择错误的，一定要看清楚题．7、C【解析】解：－10－4=－1．故选C．8、C【解析】试题分析：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．考点：旋转的性质．9、B【解析】

原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】原式=-2-3=-5，故选：B．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10、B【解析】由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、4﹣π【解析】

由题意可以假设A（-m，m），则-m2=-4，求出点A坐标即可解决问题.【详解】由题意可以假设A（-m，m），则-m2=-4，∴m=≠±2，∴m=2，∴S阴=S正方形-S圆=4-π，故答案为4-π．本题考查反比例函数图象上的点的特征、正方形的性质、圆的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题12、﹣1【解析】

根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．【详解】由题意函数y=1x1+bx的交换函数为y=bx1+1x．∵y=1x1+bx=，y=bx1+1x=，函数y=1x1+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，∴﹣=﹣且，解得：b=﹣1．故答案为﹣1．本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．13、【解析】

因为以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r，求得圆D与圆O的半径代入计算即可.【详解】连接OA、OD，过O点作ON⊥AE，OM⊥AF.AN=AE=1，AM=AF=2，MD=AD-AM=3∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，∴四边形OMAN是矩形∴OM=AN=1∴OA=,OD=∵以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交∴本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.14、1【解析】

根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【详解】∵线段c是线段a和线段b的比例中项，∴，解得（线段是正数，负值舍去），∴，故答案为：1．本题考查比例线段、比例中项等知识，比例中项的平方等于两条线段的乘积，熟练掌握基本概念是解题关键.15、【解析】

根据正弦和余弦的概念求解．【详解】解：∵P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（3，4），∴PB=4，OB=3，OP==5,故sinα==,cosα=,∴sinα+cosα=,故答案为此题考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是找出所求角的对应边．16、【解析】分析：设A款魔方的单价为x元，B魔方单价为y元，根据“购买两个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解．解：设A魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，根据题意得：故答案为点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）y=x1．z=﹣x+30（0≤x≤100）；（1）年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；（3）今年最多可获得毛利润1080万元【解析】

（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（1）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x的函数关系式，再利用配方法求出最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可.【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax1（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a＝，故y与x之间的关系式为y＝x1．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，10），设z＝kx＋b，则，解得：，故z与x之间的关系式为z＝﹣x＋30（0≤x≤100）；（1）W＝zx﹣y＝﹣x1＋30x﹣x1＝﹣x1＋30x＝﹣（x1﹣150x）＝﹣（x﹣75）1＋1115，∵﹣＜0，∴当x＝75时，W有最大值1115，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；（3）令y＝360，得x1＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W＝﹣（x﹣75）1＋1115的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，注意二次函数最值的求法，一般用配方法.18、（1）抛物线的解析式为；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．【解析】

（1）将A（3，0），C（0，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长．（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．【详解】解：（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得．∴抛物线的解析式为．（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得．∴直线AC的解析式为．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m，）．∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，∴点P的坐标为（m，）．∴PM=PE－ME=（）－（）=．∴PM=（0＜m＜3）．（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．∴△PCM为直角三角形．②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．19、塔CD的高度为37.9米【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．试题解析：作BE⊥CD于E．可得Rt△BED和矩形ACEB．则有CE=AB=16，AC=BE．在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°=AC．∵16+DE=DC，∴16+AC=AC，解得：AC=8+8=DE．所以塔CD的高度为（8+24）米≈37.9米，答：塔CD的高度为37.9米．20、证明见解析【解析】试题分析：先根据垂直的定义得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C．再由∠B＝∠B，根据有两个角相等的两三角形相似即可得出结论．试题解析：解：∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°．∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C．∵∠B＝∠B，∴∽．点睛：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．21、（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）1．【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：××=1平方单位．故答案为1．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理22、（1）详见解析；（2）4分.【解析】

（1）根据题意用列表法求出答案；（2）算出甲乙获胜的概率，从而求出乙胜一次的得分.【详解】（1）列表如下：由列表可得：P（数字之和为5）＝，（2）因为P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：12÷3＝4分.本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可.23、(1)B（-1.2）;(2)y=;(3)见解析.【解析】

（1）过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标；（2）根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则