高考数学复习二轮讲练：圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳（原卷版）

专题12圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳

【命题规律】

1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容.一是求圆锥曲线的标准方程；二是求

椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题.多以选择、填空

题的形式考查，难度中等.

2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建

模、逻辑推理与数学运算四大核心素养.

【核心考点目录】

核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线

核心考点二：蒙日圆

核心考点三：阿基米德三角形

核心考点四：仿射变换问题

核心考点五：圆锥曲线第二定义

核心考点六：焦半径问题

核心考点七：圆锥曲线第三定义

核心考点八：定比点差法与点差法

核心考点九：切线问题

核心考点十：焦点三角形问题

核心考点十一：焦点弦问题

核心考点十二：圆锥曲线与张角问题

核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题

核心考点十四：圆锥曲线与通径问题

核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题

核心考点十六：圆锥曲线与四心问题

【真题回归】

1.（2022•天津•统考高考真题）已知抛物线凡分别是双曲线二-5=1（八0g>0）的左、右焦

a'b"

点，抛物线的准线过双曲线的左焦点£,与双曲线的渐近线交于点力，若/丹用力=2,则双曲线的标准方

程为（）

D.—-/=1

cT=i4-

2.（2022•全国•统考高考真题）设厂为抛物线C：V=4x的焦点，点力在。上，点阳3,0）,若

\AF\=\BF\f则|48|=()

A.2B.272C.3D.372

3.（2022•全国•统考高考真题）已知椭圆。工+匕叱八。）的离心率反，4,4分别为C的左、右顶

b2

ixuUXU

点，8为。的上顶点.若B4,B4=—1则C的方程为（）

4《+匚1

8.v+T=,c.%%D.y+/=l

1816

4.（多选题）（2022•全国•统考高考真题）已知。为坐标原点，点4U）在抛物线C:x2=20，（p>O）上，过

点8（0,-1）的直线交C于尸，。两点，则()

A.C的准线为y=-l8.直线与。相切

C.叩。加>|勿『D.|>|^|2

5.（多选题）（2022•全国•统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线C:必=2PHp>0）焦点F的直线

与C交于44两点，其中4在第一象限，点若|力产|=|44，则（）

A,直线的斜率为25店B.\OB\=\OF\

C.\AB\>^\OF\D.204W+N08W<180。

6.（2。22・全国•统考高考真题）已知椭圆。今/

\（a>b>0）,。的上顶点为力，两个焦点为F-

离心率为过£且垂直于46的直线与C交于力,E两点，1。用=6,则\//。£1的周长是

7.（2022•全国•统考高考真题）设点4（-2,3）国（0,a）,若直线力8关于》=a对称的直线与圆

（X+3）2+3+2）2=1有公共点，则a的取值范围是,

8.（2022•全国•统考高考真题）已知直线/与椭圆1+g=l在第一象限交于48两点，/与x轴，y轴分

03

别交于A1,N两点，且|M4|=|M?|,|MV|=2>/5,贝U/的方程为.

【方法技巧与总结】

1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲

线并写出方程.有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行

限制.

2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件.在椭圆的定义中，要求为>归耳；在双曲线的定义

中，要求2a＜归可；在抛物线的定义中，定直线不经过定点.此外，通过到定点和到定直线的距离之比为

定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线.

3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面

积，求弦长、最值和离心率等.

4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质.不

仅要能由方程研究曲线的儿何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关

系等•

【核心考点】

核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线

【典型例题】

例I.（2023•全国•高三专题练习）设双曲线工-《=1的左右两个焦点分别为耳、入，尸是双曲线上任意

16h2

一点，过耳的直线与/耳次的平分线垂直，垂足为。，则点。的轨迹曲线£的方程；历在曲线

E二,点力（8,0）,5（5,6）,则；|/也|+忸则的最小值.

例2.（2023・全国•高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧儿里得、阿基米德齐名.他发现：“平

面内到两个定点48的距离之比为定值4（4^1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，/（-2,1）,以-2,4）,点尸是满足2

的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为—：若点O为抛物线=4》上的动点，。在y轴上的射

影为，，则|户山+|尸。|+|。〃|的最小值为.

例3.（2022春・江苏镇江•高二校考期中）在平面上给定相异两点力，B,设点户在同一平面上且满足

^当人。且有曲P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故

我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线1-4=1（。＞0力＞0）,号g分别为双曲线的左、右焦点，A,

ab

〃为双曲线虚轴的上、下端点，动点产满足篙=2,面积的最大值为4.点M,N在双曲线上，且

II

关于原点O对称，。是双曲线上一点，直线。时和QN的斜率满足与“•勺N=3,则双曲线方程是

;过鸟的直线与双曲线右支交于C,。两点（其中C点在第一象限），设点M、N分别为

△。月用、△。百鸟的内心，贝的范围是.

核心考点二：蒙日圆

【典型例题】

[]

例4.（2023・全国•高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的•个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两

条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆

C:£+9=l（a>0）的蒙日圆为./+/=6,贝（）

A.1B.2C.3D.4

例5.（2023•全国•高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两

条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：

工+匕=[5>0）的离心率为;，则椭圆C的蒙日圆方程为（）

a+14/

A.x2+y2=9B.x2+y2=7C.x2+/=5D.x2+y2=4

例6.（2023春•四川乐山•高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔•蒙口（图1）是18〜19世纪法国

著名的儿何学家，他在研究圆锥由线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其

圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）.则椭圆C:三+上=1的蒙日圆的半径为（）

54

mi图2

A.3B.4C.5D.6

核心考点三：阿基米德三角形

【典型例题】

例7.（2023・高二课时练习）抛物线上任意两点A,8处的切线交于点称VP//5为“阿基米德三角

形”，当线段48经过抛物线的焦点/时，具有以下特征：

①P点必在抛物线的准线上；②PF1AB.

若经过抛物线产=4%的焦点的一条弦为44,“阿基米德三角形”为V214,且点P的纵坐标为4,则直线

力〃的方程为（）

A.x-2y-1=0B.2.x+y-2=0

C.x+2y-l=0D.2x-y-2=0

例址（2023•全国•高三专题练习）阿基米德（Archimedes,公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西

西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大

数学家.有•类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利

用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的;（即右图中

阴影部分面积等于VP48面积的g).若抛物线方程为V=2px(0>0),且直线.■卷与抛物线围成封闭图

3

A.\B.2C.-D.3

2

例9.(2023・全国•高三专题练习)阿基米德(公元前287年〜公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、

数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物

线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角

形.抛物线x'=20，(p>O)上有两个不同的点力(卬必),6(%,必)，以3为切点的抛物线的切线尸4尸6

相交于P.给出如下结论，其中正确的为()

(1)若弦48过焦点，则V/3P为直角三角形且/力。4=90°;

(2)点P的坐标是(五言，券人

(3)VPAB的边AB所在的直线方程为(内+.q)x-2py-x}x2=0；

(4)VH48的边48上的中线与)，轴平行(或重合).

A.(2)(3)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)

核心考点四：仿射变换问题

【典型例题】

22

例10.(2023・全国•高三专题练习)已知直线/与椭I员|?+三=1交于M,N两点，当心“・心\，=,

△MON面积最大，并且最大值为.记必(再,必),2(占,必)，当△MOV面积最大时，x,2+x；=

MLAUij■3-1bl

.*+*=.尸是椭圆上一点，OP=AOM”ON,当△MON面积最大时，A2+p2=.

[]

例I1.（2023•全国•高三专题练习）过椭圆工+^=1的右焦点尸的直线与椭圆交于小〃两点，则

43

面积最大值为.

*>

例12.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆/=1左顶点为A,RQ为椭圆。上两动点，直线尸0交

I（XUULAJUL&JI

力。于E,直线。。交”于。，直线OR。。的斜率分别为人人旦"2==，AD=&DF,AE「EQ

（大〃是非零实数），求+〃2=.

核心考点五：圆锥曲线第二定义

【典型例题】

例13.（2023•全国•高三专题练习）设尸为抛物线。：必=6工的焦点，过产且倾斜角为60。的直线交。于

A,8两点，贝ij|48|=（）

A.粤B.8C.12D.773

例14.（2023•全国•高三专题练习）过抛物线_/=4x焦点/的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左

到右依次为4,B,C.若益=6茄，则线段4C的中点到准线的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

例15.（2023•全国•高三专题练习）如图，过抛物线/=2外（〃>0）的焦点厂的直线交抛物线于点力，B,

交其准线/于点C,若b是4c的中点，且|4日=4,则线段48的长为（）

核心考点六：焦半径问题

【典型例题】

例16.（2023・全国•高三专题练习）已知点尸是双曲线获-5=1上的动点，耳，工为该双曲线的左右焦

点、,。为坐标原点，则埠产的最大值为（）

A.2&B.2C.V2D.娓

例17.（2023・全国•高三专题练习）已知双曲线C£-9=Q>。）的右支上的点Pg,乂）满足

|P£|=3|P&|S，入分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线C的半焦距）的取值范围是（）

A.[4x/2,+功[2,y）C.[40,y）D.[2,45/2]

例I8.（2023•全国•高三专题练习）已知点P是双曲线*■-£=1（“>0/>0）上的动点，尺,乃是左、右焦

点，o是坐标原点，若野需^的最大值为后，则双曲线的离心率为（）

A.73B.—C.-D.2

22

核心考点八：圆锥曲线第三定义

【典型例题】

例19.（江苏省南京市中华中学2022・2023学年高二下学期初数学试题）椭圆C：工+亡=1的左、右顶

43

点分别为4，4,点尸在。上且直线P4的斜率的取值范围是[-2,7],那么直线P4斜率的取值范围是

()

例20.（2023•全国•高三专题练习〕椭I员|C:《+己=1的左、右顶点分别为4，4,点尸在C上且直线

43

的斜率的取值范围是[-3-1],那么直线04斜率的取值范围是（）

44'卞&C[；'1]D,[1,1]

例21.（2023・全国•高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆二+二=1（。>方>0）的左、右焦点分别是

a~b~

6、F”过点£且斜率为4的直线与圆一+），2=/交于48两点（点6在x轴上方），线段与椭圆交

于点“，A华延长线与椭圆交于点N,且|力£|=|"例,|""|=2怛N|,则椭圆的离心率为，直

线，隼的斜率为

例22.（2023•全国•高三专题练习）设椭圆-V=1伍>8>0）长轴的两个顶点分别为A、8,点。为椭圆

上不同于A、4的任一点，若将A48C的三个内角记作A、B、C,且满足3tan/l+3lan4+lanC=0,则椭

圆的离心率为（）

C必2

A皂D.

333

核心考点八：定比点差法与点差法

[]

【典型例题】

例23.（2023•全国•高三专题练习）已知斜率为％的直线/与椭圆C:工+匕=1交于A,8两点,线段48的

43

中点为例（1,〃。（m>0）,那么k的取值范围是（）

11,1八，1八，11

A.k<—B.—<k<—C.k>二D.k<—,或左〉不

222222

2,>

例24.（2023•全国•而三专题练习）已知椭圆C:?+?=l,过点P（l，1）的直线/与椭圆。交于48两点，

若点P恰为弦力8中点，则直线/斜率是（）

.134

A.-3B.—C.—D.—

343

例25.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆「:£+卓=1仅小。）内有一定点尸（1，1）,过点P的两条直线

4，（分别与椭圆「交于力、。和8、。两点，且满足筋=为荒，胡=7茄，若4变化时，直线CQ的斜

率总为则椭圆「的离心率为

4

A.BB,7C.—D.—

2225

核心考点九：切线问题

【典型例题】

例26,（2023•全国•高三专题练习）已知过圆锥曲线工+仁=1上一点尸（.£,,以）的切线方程为

mn

型+2止=1.过椭圆《十仁=1上的点力（工-1）作椭圆的切线/,则过A点且与直线/垂直的直线方程为

n124

（）

A.x-y-3=0B.x+y-2=0

C.2x+3y-3=OD.3x-y-10=0

例27.（2023•全国•高三专题练习）已知点力（-1,0）、4（1,0）,若过A、〃两点的动抛物线的准线始终与圆

/+丁=8相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（）

儿椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线

例28.（2023•全国•高三专题练习）设。是双曲线C=1（。>0力>0）在第一象限内的动点，。为坐标

原点，双曲线。在P点处的切线的斜率为〃?，直线OP的斜率为〃，则当2+：+」-+]n〃?+ln〃取得最小值

abnin

时，双曲线C的离心率为（）

A.418.2C.6D.V2

核心考点十：焦点三角形问题

【典型例题】

例29.（2023春・河南洛阳•高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆1+1=1的左、右焦点分别

2516

为片、鸟，点尸在椭圆上，若|尸6|=6,则△分;6的面积为（）

A.8B.8&C.16D.16上

例3（）.（2023•全国•高三专题练习）椭圆两焦点分别为片（3,0）,乙（-3,0）,动点尸在椭圆上，若△夕巴用的

面积的最大值为12,则此椭圆上使得/月桃为直角的点〃有（）

4.0个B.1个C.2个O.4个

例31.（2023・全国•高三专题练习）双曲线斗-4=1的左、右焦点分别£、尸为双曲线右支上的点，

169

△P6K的内切圆与X轴相切于点C,则圆心/到y轴的距离为：）

A.1B.2C.3D.4

例32.（2023・全国•高三专题练习）已知尸（2&网在双曲线?•卡=1上，其左、右焦点分别为£、

八,三角形用的内切圆切x轴于点则的值为（）

A.2N/2-1B.2V2+IC.2>/2-2D.25/2-V5

核心考点d"一：焦点弦问题

【典型例题】

例33.（2023・全国•高三专题练习〕已知抛物线C：V=2pMp>0）的焦点?与椭圆1+1=1的右焦点重

25Io

合.斜率为4任>0）直线/经过点F,且与。的交点为413.若|/刁=3忸用，则直线」的方程是（〉

A.VJx-y-3石=0B.4>/ir-4歹一3G=0

C,3x-y-9=0D.x-3y-3=0

例34.（2023•全国•高三专题练习〕抛物线F=4X的焦点弦被焦点分成长是加和〃的两部分，则机与〃的

关系是（）

/.〃I+〃=〃〃7B.〃?+〃=4C.mn=4D.无法确定

例35.（2023春・河南南阳•高二统考期中）如图所示，片，乃是双曲线C：=b>0）的左、

右焦点，过”的直线与。的左、右两支分别交于4"两点.若|4坤|8/讣|41=3：4：5,则双曲线的离心

率为（）

[]

核心考点十二：圆锥曲线与张角问题

【典型例题】

例36.（2023•全国•高三专题练习）定义：点尸为曲线£外的一点，44为L上的两个动点，则收取最

大值时，/4P4叫点P对曲线L的张角.已知点尸为抛物线C：/=4x上的动点，设「对圆

历：（x-3>+y2=1的张角为。，则cos。的最小值为.

22

例37.（2023春•山东•高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆。：亍+方=1（。>方>0）的左、右焦点

分别为6，月，点夕在。上，直线P&与y轴交于点。，点P在线段E0上，V0PG的内切圆的圆心为

I,若△"；死为正三角形，则/£尸石=,。的离心率的取值范围是.

核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题

【典型例题】

例38.（2022春广东广州•高二校联考期中）已知椭圆C：E+E=l（a>/>0）的左、右焦点分别为片,今夕

a~b'

11Alij甲c&J

为。上不与左、右顶点重合的一点，/为鸟的内心，且3/+2怎=2/7,则。的离心率为（）

A.1B.-C.且D.史

3535

例39.（2023春•辽宁铁岭•高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线［-r=1的左右焦点分别为4、

月，P是双曲线右支上一点，/为△可工的内心，尸/交x轴于。点，若|£0|=|叫且|P/|:|/0|=2:1,

则双曲线的离心率e的值为（）

3「5

A.2B.-C,>/3D.-

例40.（2023•全国•高三专题练习〕已知椭圆。:£+.=1（。＞力＞0）的两个焦点4，巴与短轴的两个端点

鱼都在圆x2+f=i上，夕是。上除长轴端点外的任意一点，/月。鸟的平分线交。的长轴于点"，

则|必闻+也见的取值范围是（）

A.[2,V5）B.[2,V6）C.[2,⑺D.12,2码

核心考点十四：圆锥曲线与通径问题

【典型例题】

例41.（2023•全国•再三专题练习）在平面直角坐标系xQy中，以点G（4,0）,鸟（8,9）为焦点的动椭圆与双

曲线《-《=1的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为

412

例42.（2023•全国•高三专题练习）过抛物线八/=2外（〃＞0）的焦点户的直线与T交于44两点，且

赤=2序，7的准线/与x轴交于C，VC8/的面积为4&，则7的通径长为.

例43.（2023・全国•高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为

双曲线的通径，其长等于更（a、6分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）.已知双曲线C：W-V=i

aa'

（。＞0）的左、右焦点分别为S、建,若点股是双曲线C上位于第四象限的任意一点，直线/是双曲线

的经过第二、四象限的渐近线，加。，/于点Q,且卜"。|+卜”用的最小值为3,则双曲线。的通径为

核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题

【典型例题】

例44.（2023•全国•高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射

后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、8是它的焦点，长轴长

为加,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回

到点A时，小球经过的路程是（）

A.4aB.2（«-ciC.2（a+c）D.以上答案均有可能

例45,（2023•全国•高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射

光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线△的焦点分别为6，乙，经过行且与「行

垂直的光线经双曲线£反射后，与"鸟成45。角，则双曲线E的离心率为（）

[]

A.V2B.V2+1c.2V2D.2V2-I

例46.（2023・全国•高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行

于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦

点.已知抛物线C：/=4x,一条平行于x轴的光线人从点尸（8,4）射入，经过C上的点A反射后，再经C

上另一点8反射后,沿直线，2射出,则|阳=（)

B.1221八25

A.7C.»T

4T

核心考点十六:圆锥曲线与四心问题

【典型例题】

—+^-=1,过其左焦点£作直线/交椭圆r于尸，力两

例47.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆「：

43

则降（）

点，取P点关于x轴的对称点&若G点为V214的外心,川|G用

A.2R.3C.4D.以上都不对

例48.（2023•全国•高三专题练习）双曲线G：1-4=l（a＞0,/A0）的渐近线与抛物线G：/=2〃MP＞。）交

crb’

于点40,8,若抛物线。2的焦点恰为"。4的内心，则双曲线。的离心率为（）

2「V22

4A2B.旧V■----

4

例49.（2023•全国•高三专题练习）已知双曲线C：=方＞0）的左、右焦点分别是£,F”夕是

双曲线右支上一点，且也_L6巴，/和G分别是△尸片鸟的内心和重心，若/G与x轴平行，则双曲线的离

心率为（）

A.V3B.2C.3D.4

例50.（2023•全国•高三专题练习）记椭圆C：/+2/=1的左右焦点为耳，F”过鸟的直线/交椭圆于

A,B,A,8处的切线交于点P,设尸的垂心为，，则尸〃的最小值是（）

A.V2B.百c.旧D.yfb

【新题速递】

一、单选题

L（2。23春・福建泉州•高三阶段练习）己知椭圆巨卜1的左右顶点分别为4,乙圆,的方程为

(x+l『+y-目」,动点P在曲线上上运动，动点。在圆。|上运动，若△%人尸的面积为46,记

24

|P0|的最大值和最小值分别为朋和〃，则加+〃的值为（）

A.V7B.2夕C.3行D.4百

2.（2023•河南郑州•高三阶段练习）公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖眶的开立圆术.祖啮

在求球体积时，使用一个原理：“幕势既同，则积不容异”.“累”是截面积，“势”是立体的高.意思

是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之

间的两个立体，被任•平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积

相等.上述原理在中国被称为祖睢原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理.已知将双曲线。:工-口=1与

82

3.（2023・广西南宁•南宁二中校考一模）设£、乙是双曲线片=1的左、右两个焦点，。为坐标原

810

点，点尸在C上且阴=；|胡-蜀，则VPK。的面积为（）

A.5B.8C.10D.12

4.（2023・全国•高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已如点加（2,0）,N（-1,0）,动点0（x，刃满

足12Ml=2|0N|,过点（-3,1）的直线与动点。的轨迹交于A,8两点，记点。的轨迹的对称中心为C,则当

VjBC面积取最大值时，直线48的方程是（）

A.y=x+4B.y=-x+4

C.y=2x+4D.y=—2x+4

5.（2023春・北京大兴•高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于

特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直

角坐标系中，曲线。：/+/=忖一帆就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：

①曲线C围成的图形的面积是2+兀：

②曲线C上的任意两点间的距离不超过2：

③若尸（〃?,〃）是曲线。上任意一点，则+的最小值是1.

其中正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

[]

6.（2023春•重庆•高三统考阶段练习）已知点P为抛物线V=2px（P>°）上一动点，点。为圆

C:（x+l）2+（y-4>=1上一动点，点/为抛物线的焦点，点。钊y轴的距离为/若夕。+”的最小值为

2,则〃=（）

A.P=~8.〃=1C.P=2D.p=4

7.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，片,8是双曲线C：4-4=1（。>0,b>0）的左、右焦

Q，b~

点，。的右支上存在一点8满足夕BF、与C的左支的交点A满足sm，篦=图,则双曲线C

sxnZ.AF.B

的离心率为（）

A.3B.2百C.yf\3D.V15

8.（2023・北京•高三专题练习）在平面直角坐标系中，44是直线工+^二”上的两点，且14M=10.若对于

任意点尸（cos0,sin0）（OW0v2兀），存在44使//P8=90°成立，则机的最大值为（）

43后B.4N/2C.5>/2D.6立

9.（2023・全国•高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与2所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个

椭圆.著名数学家。。〃加〃〃创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱

内，使它们分别位于。的上方和下方，并且与圆柱面和。均相切.给出下列三个结论：

①两个球与a的切点是所得椭圆的两个焦点;

②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；

③当圆柱的轴与。所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①B.（2X3）C.①@D.①③

1（）.（2023春•内蒙古赤峰•高三统考阶段练习）已知圆0:/+/=4和圆M:./+/+4x—2y+l=0相交于

A,B两点,下列说法中错误的是（）.

A.圆O与圆M有两条公切线

B.圆。与圆M关于直线力4对称

C.