2026年福建省质检（数学）参考答案

页数学参考答案及评分细则第页（共28页）PAGE2026届高中毕业班适应性练习（四月）数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、单项选择题题号12345678答案ACDCCBCD二、多项选择题题号91011答案ADBCDACD三、填空题 12． 13． 14．四、解答题15.本小题主要考查函数的奇偶性、函数的零点、三角恒等变换、等差数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力等，考查函数与方程思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性.满分13分.解法一：（1）因为为奇函数，所以， 1分即恒成立.得恒成立， 2分所以恒成立， 3分所以恒成立， 4分所以， 5分解得. 6分（2）因为，所以，令，则， 8分所以或， 10分解得或， 11分令，，则，所以， 12分所以． 13分解法二：（1）因为为上的奇函数，所以， 2分所以， 3分解得， 4分经检验，是奇函数，所以. 6分（2）因为，所以， 7分令，则， 9分所以， 10分所以或，解得或或， 11分令，，，则，所以，所以． 13分解法三：（1）同解法一． 6分 （2）因为，所以，因为， 所以是的一个周期， 7分当时，令，则， 9分解得， 10分所以在区间的零点之和为． 11分令，则是以为首项，为公差的等差数列， 12分所以 ． 13分16.本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考 查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体 现基础性．满分15分．解法一：（1）函数的定义域为，． 2分 当时，因为，所以， 3分又， 4分 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 7分（2）(i)当时，不符合题意，舍去； 9分 (ii)当时，显然成立； 11分(iii)当时，令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增． 13分所以，解得． 14分综上所述，的取值范围为． 15分解法二：（1）同解法一． 7分 （2）由已知，得． (i)当时，可得． 8分 因为，所以， 9分又因为时，，所以； 10分 (ii)当时，恒成立，所以； 11分 (iii)当时，可得． 令，， 12分 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 13分 所以，所以． 14分 综上所述，的取值范围为． 15分17.本小题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系、三点共线等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分．解法一：（1）当轴时，，所以， 1分所以， 3分从而，， 5分故的方程为． 6分（2）设，，， 7分则，即． 8分又，所以，，，. 10分因为，，所以，， 12分两式相加、减，得，， 13分又因为，，， 14分所以，故三点共线. 15分解法二：（1）当轴时，， 所以或， 1分 所以①， 2分 又②， 4分 由①②，解得，， 5分故的方程为． 6分（2）设，则，即． 7分(=1\*romani)当直线，斜率均存在时，，，所以直线，， 9分由得， 10分由得， 11分所以，，因为，所以，故三点共线. 12分(=2\*romanii)当直线或斜率不存在时，根据对称性，不妨设斜率不存在，且，此时点，，，故直线，从而，则，，所以三点共线. 14分综上，三点共线. 15分18.本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能 力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据分 析、数学建模等核心素养等.体现基础性，应用性.满分17分.解：（1）由题可知，， 1分化简可得， 2分当时，，则，即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为. 4分（2）（=1\*romani）设事件“一次性购买个文创盲盒”（），事件“顾客为幸运客户”， 5分则，，，.依题意，得，， 6分因为每个盲盒是否为封面款相互独立，所以，， 8分又由题意知，，且两两互斥， 9分所以， 11分由（1）得，，代入化简可得，所以，. 12分（=2\*romanii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，依题意，得， 13分且，两两互斥，所以， 14分由（=1\*romani）得，，所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为， 16分由题意，可得，解得，又因为，所以. 17分19.本小题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成角，二面角，平面轨迹方程等基础知识； 考查运算求解能力，直观想象能力，逻辑推理能力等；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与 转化思想等；考查数学运算，逻辑推理，直观想象等核心素养．体现综合性和创新性．满分17分．解法一：（1）因为平面，,所以，． 1分不妨设，且，因为，所以，，，所以，所以为△的最大内角． 2分由余弦定理，得， 3分所以，所以△是锐角三角形． 4分（2）（i）因为，在上，且，由对称性知在同一个轨迹上，且轨迹关于对称，故以为原点，分别为轴和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设，，因为，所以．因为是线段上靠近的三等分点，故，即， 5分故，，，依题意得，化简得， 6分且，即，故，又点不在直线上，故，同理，，且， 7分故在坐标平面中，是双曲线右支上的动点，且在轴的两侧，如图．因为的两条渐近线分别为和，它们的夹角为，所以． 8分因为平面平面，，，所以是二面角的平面角，所以二面角为锐角． 9分（=2\*romanii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形． 10分证明如下：若△为锐角三角形，有，，，可令，，，则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形． 11分由（i）知，，所以，又因为，，所以，故． 12分因为，所以分别是直线与所成的角，即，不妨设，则，且，所以，， 13分且．作于，因为平面，平面，平面，所以，又，所以．因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，所以，即直线过， 14分所以，所以， 15分这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线过点，，，求的最小值．如图，不妨设点在第四象限，则，．因为都在双曲线的右支，故，即，所以，又，，故解得即， 16分所以，当，即时，等号成立．故的最小值为． 17分 解法二：（1）因为平面，，所以，． 1分又因为，故可以为原点，分别为轴，轴和轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 2分设，所以，在中，，所以为锐角，，所以为锐角，，所以为锐角，所以是锐角三角形． 4分（2）（=1\*romani）同解法一． 9分（=2\*romanii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形． 10分证明如下：若△为锐角三角形，有，，，可令，，，则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形． 11分作于，因为平面，平面，平面，所以，又，所以．因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，所以，即直线过． 12分在平面直角坐标系中，设直线的方程为，联立得，依题意，有且因为，所以．因为，所以， 13分，同理，不妨设，则必有．因为，因为且，所以，代入上式得到 14分，所以，又因为，所以． 15分因为，所以分别是直线与所成的角，即，因为，所以，所以，所以， 16分，当，即时，等号成立．故的最小值为． 17分解法三：（1）因为平面，，所以，． 1分又因为，所以在中，，所以为锐角， 2分，所以为锐角， 3分，所以为锐角，所以是锐角三角形． 4分（2）（=1\*romani）同解法一． 9分（=2\*romanii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形． 10分证明如下：若△为锐角三角形，有，，，可令，，，则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形． 11分由（i）知，，所以，又因为，，所以，故． 12分因为，所以分别是直线与所成的角，即，不妨设，则，且，所以，， 13分且．作于，因为平面，平面，平面，所以，又，所以．因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，所