高考数学常考知识点之概率与统计

概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计.

总体期望值和方差的估计.

考试要求：

（1）r解随机抽样r解分层抽样的意义，会用它们对徇单实际问题进行抽样.

（2）会用样本频率分布估计总体分布.

（3）会用样本估计总体期望值和方差.

§12.概率与统计知识要点

一、随机变量.

1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一

个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会

出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按•定次序列出，这样的随机

变量叫做离散型随机变量.若€是一个随机变量，a,b是常数.则⑦也是一个随机变量.一般地,

若,是随机变量，回是连续函数或单调函数，贝崛也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函

数也是随机变量.

设离散型睥机变量1可留取的值为:？

自取每一\~T2rz...

个值团的

概率的则

表称为随

机变量€

的概率分

布，简称

1的分布

列.

有性质①P|>0,/=1,2,•••；②〃1+〃2+…+2+…=1・

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：回即囿

可以取。〜5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个

事件恰好发生k次的概率是:回其中回

于是得到随机变量&的概率分布如下：我们称这样的随机变量;服从二项分布，记作团〜B

（n•p）,其中n,p为参数，并记胤

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某•事件是否是进行n次独立重复，且每

次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只

有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4.几何分123k

布：“团”表

示在第k次

独立重复

试验时，事

件第一次

发生，如果

把k次试验

时事件A

发生记为

0,事A不

发生记为

0,那么12.

根据相互

独立事件

的概率乘

法分式：00

于是得到

随机变量

C的概率

分布列.

4

Pqqpq2P・・・q-'p・・•

我们称&服从儿何分布,并记瓦其中团

5.⑴超儿何分布：一批产品共有N件，其中有M(M<N)件次品，今抽取团件，则其中的次

品数;是一离•散型随机变量，分布列为回.(分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中

取n-k件的取法数，如果规定团〈团时团，则k的范围可以写为k=0,1,n.)

⑵超几何分布的另一种形式:一批产品由a件次品、b件王品组成，今抽取n件(lWnWa+b),

则次品数&的分布列为团

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数自服从超几何分布.

若放回式抽取，则其中次品数团的分布列可如下求得：把⑶个产品编号，则抽取n次共有团个

可能结果，等可能:因含团个结果，故回，即团〜固［我们先为k个次品选定位置，共回种选法;然后

每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法］可以证明：当产品总数很大而抽取个

数不多时，瓦因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1.期望的含

义：一般地，

若离散型随

机变量C的

概率分布为

$

pPlPl•••Pi•••

则称席=占*+七〃2+—+儿〃“+~为£的数学期望或平均数、均值・数学期望又简称期望数学

期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量13的数学期望:（3

①当回时,回，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当胡寸,团即随机变量，与常数之和的期望等于€的期望与这个常数的和.

⑵单点分布:团其分布列为:固

③当团时，团，01

⑶两点分布；0,共分布列为；（p+q=l）即常数与

⑷二项分布:回其分布列为团〜胤（P为发生团的概率）随机变量

⑸几何分布:团其分布列为由〜区（P为发生国的概率）乘积的期

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量，的分布列望等于这

为团时，则称囿为&的方差.显然团，故回为，的根方差或

个常数与

标准差.随机变量€的方差与标准差都反映了随机变

随机变量

量;取值的稳定与波动，集中与离散的程度.团越小，

期望的乘

稳定性越高，波动越小.

积.

4.方差的性质.

S

⑴随机变量77=a^+b的方差/）（〃）=。（⑻+〃）.Pqp

（a、b均为常数）

⑵单点分布:（3其分布列为团01

⑶两点分布:团其分布列为:（p+q=1）

pqP

⑷二项分布:团

⑸几何分布:回

5.期望与方差的关系.

⑴如果（3和团都存在，则（3

⑵设；和国是互相独立的两个随机变量，则团

⑶期望与方差的转化:团（4）0（因为⑶为一常数）0.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量8,位于x轴上方，;落在任一区间团内的概率

等于它与x轴.直线团与直线团所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫&的密度曲线，以其作为

图像的函数团叫做&的密度函数，由于“团”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于L

2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量，的概率密度为：0.（团为常数，且回），称;服从参

数为13的正态分布，用团〜团表示.国的表达式可简记为以它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若13〜区则€的期望与方差分别为：0.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线工=〃对称.

③当13时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边

低”的钟形曲线.

④当（3＜团时，曲线上升；当团＞同时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x