2026年高考数学解析几何试题及答案_第1页
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2026年高考数学解析几何试题及答案已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率为√3/2，且过点(2,1)。(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l过点P(0,2)，与椭圆C交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点（A、B不重合），M(x₀,y₀)为线段AB的中点，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k₁，直线l的斜率为k₂，证明：k₁·k₂为定值，并求出该定值。(1)设椭圆C的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），焦距为2c。由离心率e=c/a=√3/2，得c=(√3/2)a。又a²=b²+c²，代入得b²=a²(3/4)a²=a²/4，即b=a/2。椭圆过点(2,1)，代入方程得2²/a²+1²/(a²/4)=1，即4/a²+4/a²=1，解得a²=8，故b²=2。因此，椭圆C的标准方程为x²/8+y²/2=1。(2)设直线l的方程为y=k₂x+2（当直线斜率不存在时，l为x=0，与椭圆交于(0,±√2)，此时中点为(0,0)，但A、B不重合时中点不为原点，故斜率存在）。联立椭圆方程与直线方程：x²/8+(k₂x+2)²/2=1展开整理得：x²/8+(k₂²x²+4k₂x+4)/2=1通分后：x²+4(k₂²x²+4k₂x+4)=8即(1+4k₂²)x²+16k₂x+8=0因直线与椭圆有两个不同交点，判别式Δ=(16k₂)²4×(1+4k₂²)×8=256k₂²32(1+4k₂²)=256k₂²32128k₂²=128k₂²32>0，解得k₂²>1/4。由韦达定理，x₁+x₂=-16k₂/(1+4k₂²)，故中点M的横坐标x₀=(x₁+x₂)/2=-8k₂/(1+4k₂²)，纵坐标y₀=k₂x₀+2=k₂×(-8k₂)/(1+4k₂²)+2=(-8k₂²)/(1+4k₂²)+2=(-8k₂²+2+8k₂²)/(1+4k₂²)=2/(1+4k₂²)。直线OM的斜率k₁=y₀/x₀=[2/(1+4k₂²)]/[-8k₂/(1+4k₂²)]=2/(-8

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